甘肃省甘南藏族自治州合作第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文）试题 13页

合作一中2018-2019学年第二学期期中考试试卷 高二数学（文科）‎ 一、选择题（每题5分，共计12小题，满分60分）‎ ‎1.（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，故选C.‎ ‎2.全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合运算的概念判断．‎ ‎【详解】图中阴影部分用集合表示为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，掌握集合运算的文氏图表示是解题关键．‎ ‎3.已知，是第四象限的角，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式、同角的三角函数基本关系式即可得出．‎ ‎【详解】由，得，‎ 而，且是第四象限角，‎ 所以.‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式、同角的三角函数基本关系式，熟练掌握同角的三角函数基本关系式、诱导公式是解题的关键，属于基础题．‎ ‎4.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数奇偶性，再判断单调性．‎ ‎【详解】四个选项中只有两个函数是奇函数，是周期函数有增有减，只有在定义域内是增函数．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性定义和单调性定义是解题关键．‎ ‎5.圆上的点到直线的最大距离为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心坐标的圆的半径，再求得圆心到直线的距离，此距离加上半径即为所求最大值．‎ ‎【详解】圆标准方程是，圆心为，半径为，‎ 圆心到直线的距离为，‎ 所以圆上的点到直线的距离的最大值为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查点到直线的距离，掌握点到直线距离公式是解题关键．圆上的点到直线的距离或到定点距离的最值问题一般转化为圆心到直线或定点的距离．由这个距离加上或减去半径可得．‎ ‎6.一位母亲记录了儿子3-9岁的身高，数据如下表.由此建立的身高与年龄的回归模型为用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ）.‎ 年龄/岁 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 身高/cm ‎94.8‎ ‎104.2‎ ‎108.7‎ ‎117.8‎ ‎124.3‎ ‎130.8‎ A. 身高一定是 B. 身高在以上 C. 身高一定是左右 D. 身高一定是以下 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把代入回归方程求得，然后作答．‎ ‎【详解】由题意时，．‎ 因此这个孩子在10岁时身高估计为145.83，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查回归直线方程，掌握回归直线的概念是解题关键．由回归方程求出的值只能是估计值，不是确定值．实际值比这个估计值可能大也可能小，也可能相等．‎ ‎7.三棱锥中，，，两两垂直，且，则该三棱锥的体积为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据体积公式计算，可以为顶点，为底面进行计算．‎ ‎【详解】由题意．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查求棱锥的体积公式，求三棱锥体积时可以换底，以使高易得．‎ ‎8.若直线过，两点，则直线的倾斜角为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两点坐标求出直线斜率，再得倾斜角．‎ ‎【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查求直线的倾斜角，解题时可先求得直线的斜率，由斜率与倾斜角的关系得倾斜角，如果斜率不存在，则倾斜角为．‎ ‎9.具有线性相关关系的变量，的一组数据如表所示.若根据表中数据得出与的回归直线方程为则的值是（ ）.‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎-1‎ ‎1‎ m ‎8‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，把坐标代入回归直线方程可得，‎ 详解】由题意，，‎ 所以，解得．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查回归直线方程，解题关键是掌握回归直线的性质：回归直线一定过数据中心点．‎ ‎10.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由 有 ，化为普通方程为 ，圆心坐标为 ，化为极坐标系中的点坐标为 ，选C．‎ ‎11.若直线：与直线：互相垂直，则的值是（ ）‎ A. -3 B. ‎1 ‎C. 0或 D. 1或-3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入两直线垂直的公式得，求.‎ ‎【详解】若两直线垂直，则，‎ 即，‎ 解得：或.‎ 故选D ‎【点睛】本题考查根据两直线垂直求参数的取值范围，属于简单题型，若给出两直线的斜率，则，若直线是一般式表示，则代入公式.‎ ‎12.在极坐标系中，由三条直线，，围成的图形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出直线与直线交点的极坐标，直线与直线交点的极坐标，然后利用三角形的面积公式可得出结果.‎ ‎【详解】设直线与直线交点的极坐标，则，得.‎ 设直线与直线交点极坐标，‎ 则，即，得.‎ 因此，三条直线所围成的三角形的面积为，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标系中三角形面积的计算，主要确定出交点的极坐标，并利用三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ 二、填空题（每题5分，共计4小题，满分20分）‎ ‎13.在平面直角坐标系中，曲线（为参数）的普通方程为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：联立消可得,故填.‎ ‎14.等差数列的前10项和为25，前20项和为100，则它的前30项和为_________.‎ ‎【答案】225‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列前项和的性质计算．‎ ‎【详解】由题意仍然成等差数列，即成等差数列，‎ 所以，．‎ 故答案：225．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前项和，掌握等差数列前项和性质是解题关键．即等差数列的前项和为，则成等差数列．‎ ‎15.掷两枚骰子，出现点数之和为3的概率是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解：点数和为3，有两种情况（1,2）和（2,1），而所有的情况有36种，则概率为 ‎16.在两个变量与回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的如下，①模型一的为0.98，②模型二的为0.80，③模型三的为0.50，④模型四的为0.25，其中拟合效果最好的模型是________.‎ ‎【答案】模型一 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据相关指数与拟合效果的关系判断．‎ ‎【详解】用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，‎ 故答案为：模型一．‎ ‎【点睛】本题考查相关指数的概念，相关指数越大，模型的拟合效果越好，‎ 的范围是．‎ 二、解答题（第17题满分10分，第18-22每题12分，共6小题，满分70分）‎ ‎17.用综合法证明：如果，则.‎ ‎【答案】见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由基本不等式，可得，再根据对数函数的单调性得，利用对数的运算性质，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，当时，有，‎ 根据对数函数的单调性，可得，‎ ‎∴，∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了综合法的证明，其中解答中熟练应用基本不等式和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．‎ ‎(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．‎ ‎【答案】（1），；（2）相交.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(Ⅰ)由点在直线上,可得 所以直线的方程可化为 从而直线的直角坐标方程为 ‎ ‎(Ⅱ)由已知得圆的直角坐标方程为 所以圆心为,半径 以为圆心到直线的距离,所以直线与圆相交 ‎19.在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：（1）由，利用正弦定理可得，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得；从而可得结果；（2）由余弦定理可得可得 ， 所以.‎ 详解： (1)∵‎ ‎∴‎ ‎ ∴‎ ‎（2）∵‎ ‎∴ ∴‎ 点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎20.已知向量.‎ ‎（1）当，且时，求的值；‎ ‎（2）当，且时，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由垂直得两向量的数量积为0可求得，平方后可得；‎ ‎（2）由向量共线的坐标运算得出的关系式，再由“‎1”‎的代换，弦化切后可求解．‎ ‎【详解】（1）当，且时，，，‎ ‎∴，∴．‎ ‎（2）当，且时，，即．‎ ‎∴，解得．‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直与平行的坐标表示，考查同角间的三角函数关系，二倍角公式．在已知关于的齐次式中掌握利用弦化切后求得或代入的值求值．本题解法告诉我们对于的二次式可以用“‎1”‎的代换转化不的二次齐次式，然后再变形求解．‎ ‎21.某市为调查在校中学生每天放学后的自学时间的情况，在该市的所有中学生中随机抽取了名学生进行了调查，现将日均自学时间小于小时的学生称为“自学不足”者.根据调查结果统计后，得到如下不完整的列联表，已知在这名学生中随机抽取名，抽到“自学不足”者的概率为.‎ 非自学不足 自学不足 合计 配有智能手机 没有智能手机 合计 ‎（1）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（2）能否有的把握认为“自学不足”与“配有智能手机”有关？‎ 参考公式及数据：，其中.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）有的把握认为“自学不足”与“配有智能手机”有关．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抽到“自学不足”者的概率为求出“自学不足”者的人数，从而可得列联表．‎ ‎（2）由（1）计算比较后可得结论．‎ ‎【详解】（1）由题意“自学不足”者的人数为，列联表如下：‎ 非自学不足 自学不足 合计 配有智能手机 ‎30‎ ‎60‎ 没有智能手机 ‎50‎ ‎60‎ 合计 ‎80‎ ‎40‎ ‎（2）由（1）得，‎ 所以有的把握认为“自学不足”与“配有智能手机”有关．‎ ‎【点睛】本题考查列联表，考查独立性检验，按照公式计算，与所给数据比较即可得结论．‎ ‎22.一家商场为了确定营销策略，进行了投入促销费用x和商场实际销售额y的试验，得到如下四组数据．‎ 投入促销费用x(万元) ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ 商场实际营销额y(万元) ‎ ‎100 ‎ ‎200 ‎ ‎300 ‎ ‎400 ‎ ‎(1)在下面的直角坐标系中，画出上述数据的散点图，并据此判断两个变量是否具有较好的线性相关性；‎ ‎(2)求出x，y之间的回归直线方程＝x＋；‎ ‎(3)若该商场计划营销额不低于600万元，则至少要投入多少万元的促销费用？‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)＝70x－30 .(3)9万元 ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)如图所示，从散点图上可以看出两个变量具有较好的线性相关性．‎ ‎(2)因为x＝＝4，y＝＝250，‎ 则=4+1+1+4=10，‎ ‎(xi－x)(yi－y)＝(－2)×(－150)＋(－1)×(－50)＋1×50＋2×150＝700，‎ 所以＝＝＝70，‎ ‎＝y－x＝250－70×4＝－30.‎ 故所求的回归直线方程为＝70x－30.‎ ‎(3)由题意得70x－30≥600，即x≥＝9，所以若该商场计划营销额不低于600万元，则至少要投入9万元的促销费用．‎