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- 2021-06-16 发布
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1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
知识点一 直线与圆的位置关系
设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),
圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),设d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
______
______
相切
______
______
相离
______
______
答案
d0 d=r Δ=0 d>r Δ<0
1.圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是( )
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.相交过圆心 D.相离
解析:由题意知圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离d==<.且2×1+(-2)-5≠0,因此该直线与圆相交但不过圆心.
答案:B
2.(必修②P132A组第5题改编)直线l:3x-y-6=0与圆x2+y2-2x-4y=0相交于A,B两点,则|AB|=________.
解析:由x2+y2-2x-4y=0,得(x-1)2+(y-2)2=5,所以该圆的圆心坐标为(1,2),半径r=,又圆心(1,2)到直线3x-y-6=0的距离为d==,由2=r2-d2,得|AB|2=4=10,即|AB|=.
答案:
3.(2016·新课标全国卷Ⅰ)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为________.
解析:圆C的方程可化为x2+(y-a)2=a2+2,可得圆心的坐标为C(0,a),半径r=,所以圆心到直线x-y+2a=0的距离为=,所以()2+()2=()2,解得a2=2.所以圆C的半径为2,所以圆C的面积为4π.
答案:4π
知识点二 圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r(r1>0),
圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r(r2>0).
方法
位置关系
几何法:圆心距d与r1,r2的关系
代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况
相离
__________
______
相外切
__________
__________
相交
__________
__________
________________
相内切
__________
__________
__________
内含
__________
__________
______
答案
d>r1+r2 无解 d=r1+r2 一组实数解 |r1-r2|0)截直线x+y=0所得线段的长度是2.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
解析:由题知圆M:x2+(y-a)2=a2,圆心(0,a)到直线x+y=0的距离d=,所以2=2,解得a=2.圆M,圆N的圆心距|MN|=,两圆半径之差为1,故两圆相交.
答案:B
5.(必修②P133A组第9题改编)圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在的直线方程为________.
解析:由得4x-4y+8=0,即x-y+2=0.
答案:x-y+2=0
热点一 直线与圆的位置关系
【例1】 (1)直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
(2)若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点,则b的取值范围是( )
A.b∈(-1,1] B.b=-
C.b=± D.b∈(-1,1]或b=-
【解析】 (1)方法1:由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离d=<1<,故直线l与圆相交.
方法2:直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,所以直线l与圆相交.
(2)由x=知,曲线表示半圆(如图),让直线y=x+b
在图形中运动,可知当-13.
∴(a+b)2>9,即a+b>3或a+b<-3.
又圆心(a,b)到直线x+y-1=0的距离
d=>1,
∴直线x+y-1=0与圆(x-a)2+(y-b)2=1相离.
【总结反思】
(1)处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断,一般不采用代数法.
(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.
若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2,则a=________.
解析:方程x2+y2+2ay-6=0与x2+y2=4.
两式相减得:2ay=2,则y=.
由已知条件=,即a=1.
答案:1
1.直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合,“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的.
2.求过一点的圆的切线方程时,首先要判断此点是否在圆上,然后设出切线方程.注意:斜率不存在的情形.
3.圆的弦长的常用求法
(1)几何法:求圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,则2=r2-d2;
(2)代数方法:运用根与系数的关系及弦长公式:|AB|=|x1-x2|=.
直线与圆的最值与范围问题
【例】 (1)设点P是函数y=-图象上的任意一点,点Q坐标为(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最小值为________.
(2)已知m>0,n>0,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是______________.
【解析】 (1)函数y=-的图象表示圆(x-1)2+y2=4的下半圆.令点Q的坐标为(x,y),则得y=-3,即x-2y-6=0,如图所示.
由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d==>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y2=4相离,因此|PQ|的最小值是-2.
(2)因为m>0,n>0,直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1.所以=1,即|m+n|=.两边平方并整理得mn=m+n+1.
由基本不等式mn≤2可得m+n+1≤2,(m+n)2-4(m+n)-4≥0,解得m+n≥2+2.
【答案】 (1)-2 (2)[2+2,+∞)
解题策略:
规律
解读
适合题型
几何法
充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解
所求最值有明显的几何特征,如距离、斜率等
代数法
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等,利用基本不等式求最值是比较常用的方法
所求最值通过转化可建立函数关系式
已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,且垂足为M(1,),则四边形ABCD面积的最大值为( )
A.5 B.10
C.15 D.20
解析:
如图,作OP⊥AC于点P,OQ⊥BD于点Q,则OP2+OQ2=OM2=3,于是AC2+BD2=4(4-OP2)+4(4-OQ2)=20.又AC2+BD2≥2AC·BD,则AC·BD≤10,所以S四边形ABCD=AC·BD≤×10=5,当且仅当AC=BD=时等号成立.故四边形ABCD面积的最大值为5.
答案:A