福建省泉州市晋江市南侨中学2019-2020学年高二上学期11月月考数学试题 19页

‎2019年秋季南侨中学高二年段第一阶段考试 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.过点，的直线的倾斜角为(　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：利用两点间的斜率公式，求得直线的斜率，进而求解直线的倾斜角．‎ 详解：设过两点的直线的倾斜角为，‎ 由直线的斜率公式可得，即，‎ 所以，故选B．‎ 点睛：本题主要考查了直线的倾斜角与斜率，其中熟记公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎2.若直线在轴、轴上的截距分别是-2和3，则，的值分别为（ ）‎ A. 3，2 B. -3，-2 C. -3，2 D. 3，-2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：将代入直线方程即可求解．‎ 详解：由题意，得，‎ 解得．‎ 点睛：本题考查直线的方程等知识，意在考查学生的基本计算能力和数学转化能力．‎ ‎3.已知空间向量，若与垂直，则等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵=（1，n，2），=（﹣2，1，2），‎ ‎∴2﹣=（4，2n﹣1，2），‎ ‎∵2﹣与垂直，‎ ‎∴（2﹣）•=0，‎ ‎∴﹣8+2n﹣1+4=0，‎ 解得，n=，‎ ‎∴=（1，，2）‎ ‎∴||==．‎ 故选：D．‎ ‎4.若直线经过第一、二、三象限，则系数满足的条件为( )‎ A. 同号 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】因为直线 经过第一、二、三象限，所以斜率 ，在 轴上的截距 ，两式相乘可得故选B.‎ ‎5.经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ）‎ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照截距为零和不为零分类讨论即可求出．‎ ‎【详解】(1)当截距为零时，即直线经过原点，可得直线方程为：；‎ ‎(2)当截距不为零时，设直线方程为：，因为直线经过点，‎ 所以有，，解得．综上可知，这样的直线有2条．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线的截距式方程的应用，解题需注意截距式方程的使用条件，意在考查学生分类讨论思想和数学运算能力．‎ ‎6.已知分别是四面体的棱的中点，点在线段上，且，，则=（ 　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图所示： ‎ 本题选择C选项.‎ ‎7.设A，B是轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为，则直线PB的方程是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点P在直线PA上可以求出其纵坐标，然后根据|PA|=|PB|可知，点A，B关于直线 对称，即可求出点B的坐标，由点的坐标即可求出直线PB的方程．‎ ‎【详解】因为点P在直线PA上，所以，解得，即点的坐标为，‎ 又|PA|=|PB|，点A，B关于直线对称，点的坐标为，所以点的坐标为 ‎，，所以PB：，即．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查轴对称、中点公式的应用以及直线方程的求法．‎ ‎8.若直线与互相垂直，则实数（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意得 ，当 时直线方程为不成立，舍去，选A.‎ ‎9.在平面直角坐标系xoy中，已知直线l上的一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为( )‎ A. －2 B. － C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先设出直线l上的一点，进而求得移动变换之后点，根据点在直线上，利用两点斜率坐标公式求得斜率，从而求得结果.‎ ‎【详解】根据题意，设点是直线l上一点，‎ 将点向右平移2个单位后再向下平移4个单位得到点，‎ 由已知有：点仍在该直线上，‎ 所以直线的斜率，‎ 所以直线l的斜率为，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关直线的斜率问题，涉及到的知识点有平移变换，两点斜率坐标公式，属于简单题目.‎ ‎10.已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据与的夹角为钝角，所以且与不共线，列出不等式组，即可解出．‎ ‎【详解】由题知，且与不共线，即 ，‎ 解得且．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角问题，解题关键是向量夹角大小与数量积符号之间的等价转化．‎ 二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分. 在每小题给出的四个选项中，至少有两个项是符合题目要求的，只选一个正确的项给2分，多选算零分. ）‎ ‎11.已知向量，则与共线的单位向量（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量数乘的概念，可知单位向量的求法， ，即可求出．‎ ‎【详解】设与共线的单位向量为，所以，因而，得到．‎ 故，而，所以或．‎ 故选：AC．‎ ‎【点睛】本题主要考查单位向量的求法以及共线向量定理的应用．‎ ‎12.下列说法正确的是（ ）‎ A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程能表示平行轴的直线 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 经过两点，的直线方程 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线方程的使用条件，逐项判断即可得出．‎ ‎【详解】对于A，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程表示，所以A不正确；‎ 对于B，当时，平行于轴的直线方程形式为，所以B正确；‎ 对于C，若直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，不能用 表示，所以C不正确；‎ 对于D，设点是经过两点，的直线上的任意一点，根据 可得，所以D正确．‎ 故选：BD．‎ ‎【点睛】本题主要考查各种形式的直线方程的适用范围．‎ 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.设，，且三点共线，则__________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三点共线，所以，由向量平行的坐标表示列出方程，求解即可．‎ ‎【详解】根据三点共线，所以，而，，‎ 即有，解得．‎ 故答案为：6．‎ ‎【点睛】本题主要考查三点共线的证明和应用，常用证明方式有：利用向量平行、利用斜率相等．‎ ‎14.若，且共面，则_________‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量不共线，以它们为基底，利用空间向量基本定理，可知存在实数使得 ‎，即可解出．‎ ‎【详解】因为向量不共线，且共面，所以存在实数使得，即有 ‎，解得．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】本题主要考查空间向量基本定理的应用以及向量的运算．‎ ‎15.三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】如图设设棱长为1，则，因为底面边长和侧棱长都相等，且所以，所以，，，设异面直线的夹角为，所以.‎ ‎16.若直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 若直线与直线的交点位于第一象限，如图所示：‎ 则两直线的交点应在线段上（不包含点）, 当交点为时，直线的倾斜角为，当交点为时，斜率，直线的倾斜角为 ‎∴直线的倾斜角的取值范围是。‎ 故答案为 四、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.已知平面内两点 ‎ ‎（1）求线段的垂直平分线方程. ‎ ‎（2）直线过点，且两点到直线的距离相等，求直线的方程；‎ ‎【答案】(1)；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出线段的中点坐标，再利用直线与直线AB垂直，斜率之积为－1，求出直线的斜率，由点斜式即可写出线段的垂直平分线的方程；‎ ‎（2）按照点与直线的位置，分类讨论，若两点在直线同侧，则直线；若两点在直线两侧，则直线过线段中点，即可求出．‎ ‎【详解】（1）因为AB的中点坐标为，∵‎ ‎∴的垂直平分线斜率为，所以由点斜式，‎ 得的中垂线方程为 ‎（2）当时，由点斜式得 当过中点时，由两点式得 所以，直线的方程为或 ‎【点睛】本题主要考查直线方程的求法以及直线与直线的位置关系的应用，意在考查学生的运算能力．‎ ‎18.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，‎ ‎（Ⅰ）求证：平面BCD；‎ ‎（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析 （Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（Ⅰ）要证明平面BCD，需要证明，，证明时主要是利用已知条件中的线段长度满足勾股定理和等腰三角形三线合一的性质（Ⅱ）中由已知条件空间直角坐标系容易建立，因此可采用空间向量求解，以为坐标原点，以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，‎ 求出平面的法向量和斜线的方向向量，代入公式计算 试题解析：（Ⅰ）证明：为的中点，，‎ ‎,，，，‎ 又，，‎ ‎，均在平面内，平面 ‎（Ⅱ）方法一：以为坐标原点，以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则，‎ 设为平面的法向量，则，‎ 取，‎ ‎，则点到平面的距离为 方法二：设点在上，且，连，‎ 为的中点，‎ 平面，平面，‎ 平面，平面 平面，平面平面，且交线为 过点作于点，则平面 分别为的中点，则平面，平面，‎ 平面，点到平面的距离即，‎ 故点到平面的距离为 考点：1.线面垂直的判定；2.点到面的距离 ‎19.已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.‎ ‎（1）求平行四边形的顶点的坐标；‎ ‎（2）在中，求边上的高所在直线方程；‎ ‎（3）求四边形面积.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）20‎ ‎【解析】‎ 试题分析：首先根据平行四边形对边平行且相等，得出向量相等的条件，根据向量的坐标运算，得出向量相等的条件要求，求出点的坐标，求高线方程采用点斜式，利用垂直关系求斜率，球平行四边形的面积可利用两条平行线间的距离也可利用两点间的距离求边长，再根据余弦定理求角，再利用三角形面积公式求面积.‎ 试题解析：‎ ‎（1）方法（一）：设，，‎ ‎，∴，，即.‎ 法二：中点为，‎ 该点也为中点，设，则可得；‎ ‎（2）∵，∴边上的高的斜率为，‎ ‎∴边上的高所在的直线方程为：；‎ ‎（3）法一：：，‎ ‎∴到的距离为，‎ 又，∴四边形面积为.‎ 法二：∵，，‎ ‎∴由余弦定理得 ‎∴‎ ‎∴四边形的面积为。‎ ‎【点睛】利用坐标法解题是解析几何的一大特点，借助向量工具特别是向量的坐标运算是解析几何与向量联系的纽带，首先根据平行四边形对边平行且相等，得出向量相等的条件，根据向量的坐标运算，得出向量相等的条件要求，求出点的坐标，求高线方程采用点斜式，利用垂直关系求斜率，球平行四边形的面积可利用两条平行线间的距离也可利用两点间的距离求边长，再根据余弦定理求角，再利用三角形面积公式求面积.‎ ‎20.如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，. ‎ ‎（1）求直线与平面所成的角的大小；‎ ‎（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题目条件建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量公式即可求出；‎ ‎（2）分别求出平面与平面的法向量，再利用二面角的向量公式即可求出．‎ ‎【详解】取中点，连，，则，，‎ 又平面平面，则平面.‎ 以为原点，直线、、为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图.‎ ‎，则各点坐标分别，，，，，‎ ‎（1）设直线与平面所成的角为.‎ 因，平面的法向量为，则有 ‎，所以.‎ ‎（2），.设平面的法向量为，‎ 由得.解得，，‎ 取，又平面的法向量为，则 设所求二面角为，则.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用向量法计算立体几何中的线面角和二面角，意在考查学生的直观想象和数学运算能力．‎ ‎21.已知过点的直线与直线垂直. ‎ ‎（1） 若，且点在函数的图象上，求直线的一般式方程；‎ ‎（2）若点在直线上，判断直线是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）过定点，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据点在函数的图象上，求出点的坐标，再利用直线与直线垂直求出直线的斜率，由点斜式方程即可求出直线的一般式方程；‎ ‎（2）根据点在直线上，找到 之间的关系，消元转化为，则有，即可解出定点坐标．‎ ‎【详解】（1）点在函数的图象上，，即点 由，得，即直线的斜率为，‎ 又直线与直线垂直，则直线的斜率满足：，即，‎ 所以直线的方程为，一般式方程为：．‎ ‎（2）点在直线上，所以，即，‎ 代入中，整理得，‎ 由，解得，‎ 故直线必经过定点，其坐标为.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与直线的位置关系应用、直线方程的求法以及过定点的直线系中的定点求法．‎ ‎22.如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值；‎ ‎（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.首先要建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线面平行只需求出平面的法向量，计算直线对应的向量与法向量的数量积为0，求二面角只需求出两个半平面对应的法向量，借助法向量的夹角求二面角，利用向量的夹角公式，求出异面直线所成角的余弦值，利用已知条件，求出的值.‎ 试题解析：如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.‎ ‎（1）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，‎ 则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.‎ 因为平面BDE，所以MN//平面BDE.‎ ‎（2）解：易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量，则，因为，，所以.不妨设，可得.‎ 因此有，于是.‎ 所以，二面角C—EM—N的正弦值为.‎ ‎（3）解：依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，‎ ‎.由已知，得，整理得，解得，或.‎ 所以，线段AH的长为或.‎ ‎【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角 ‎【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易.‎ ‎ ‎ ‎ ‎