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- 2021-06-16 发布
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临川一中2019-2020学年度上学期期中考试高一年级数学试卷
一、选择题
1.设全集,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
全集,,,
.
故选B.
2.若指数函数在上递减,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数的性质得到关于的不等式,解出即可.
【详解】解:由题意得: ,
解得:,
故选:A.
【点睛】本题考查指数函数单调性,是一道基础题.
3.已知,则( ).
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
,
则.
故选:.
4.下列函数中,在其定义域内与函数有相同的奇偶性和单调性的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据常见函数单调性和奇偶性判断即可.
【详解】解:函数在上递增,是奇函数,
对于A,在定义域无单调性,是奇函数,不符合题意;
对于B,是非奇非偶函数,不符合题意;
对于C,是偶函数,不符合题意;
对于D,在定义域上递增,是奇函数,符合题意;
故选:D.
【点睛】本题考查了函数的单调性,奇偶性问题,是一道基础题.
5.在映射中,,且,则与中的元素对应的中的元素为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意,令,解出即可.
【详解】解:由题意,
解得:,
故选:C.
【点睛】本题考查了映射的定义,属于基础题.
6.已知函数对任意不相等的实数都满,若,,,则的大小关系( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意,利用可得函数的单调性,进而分析的大小,借助单调性,可得答案.
【详解】解:
当时,有,
即对任意,有,
所以函数在其定义域内为增函数,
,
,
∴,
故选:D.
【点睛】本题考查函数单调性的判定与应用,关键是应用判定函数的单调性,是基础题.
7.已知函数(且)的图像恒过定点,点在幂函数的图像上,则( )
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数的图象与性质,求出定点的坐标,再利用待定系数法求出幂函数,从而求出的值.
【详解】解:函数中,令,解得,
此时,所以定点;
设幂函数,
则,解得;
所以,
所以,
.
故选:D.
【点睛】本题考查用待定系数法求幂函数解析式,以及指数函数的性质,是基础题.
8.根据表中的数据,可以断定方程的一个根所在的区间是( )
0
1
2
3
1
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令,求出选项中的端点函数值,从而由零点的存在性定理判断根的位置.
【详解】解:令,
由上表可知,
则,
,
,
,
.
故,
故选:D.
【点睛】本题考查零点存在性定理,若连续函数在某区间端点上对应的函数值异号,则在该区间上必有零点,属于基础题.
9.函数的定义域为,值域为,则的取值范围是
A. [0,4] B. [4,6] C. [2,6] D. [2,4]
【答案】D
【解析】
【分析】
因为函数的图象开口朝上,由 ,结合二次函数的图象和性质可得的取值范围.
【详解】函数的图象是开口朝上,
且以直线为对称轴的抛物线,
故,
函数的定义域为,值域为,
所以,
即的取值范围是,故选D.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质,以及函数的定义域与值域,意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力.
10.关于的不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分离参数后,构造函数求出值域可得.
【详解】解:对任意恒成立
,令
所以对任意恒成立等价于对任意恒成立,
,
∴.
故选:B.
【点睛】本题考查了函数恒成立问题,可以通过分离参数转化最值问题,而且还可以避免分类讨论,属中档题.
11.已知函数,若直线与函数的图象有三个交点,它们的横坐标分别为,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将去掉绝对值,写为分段函数的形式,做出的图像,同时做出直线的图像,当直线与函数的图象有三个交点的时候,利用图像的对称性可得结果.
【详解】解:,
其图像如图:
设函数的图象与直线的交点对应横坐标分别为,
则,,
所以,
故选:D.
【点睛】本题考查了分段函数的图象的作法及函数图象的性质的应用,属中档题.
12.函数的定义域为,若满足如下两个条件:(1)在内是单调函数;(2)存在,使得在上的值域为,那么就称函数为“希望函数”,若函数是“希望函数”,则的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“希望函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解.
【详解】因为函数是“希望函数”,
所以在上的值域为,且函数是单调递增的.
所以 即
有2个不等的正实数根,
且两根之积等于
解得,故选A.
【点睛】本题主要考查了函数的值域,单调性,二次方程根的问题,属于难题.
二.填空题
13.函数的定义域为________。
【答案】
【解析】
【分析】
根据对数的真数大于零,分式的分母不为零,列不等式求解即可.
【详解】解:由已知得,解得且,
函数的定义域为,
故答案为:.
【点睛】本题考查函数的定义域的求法,是基础题.
14.已知定义在上的奇函数满足,若,则实数的取值范围是________。
【答案】
【解析】
【分析】
先判断函数的单调性,然后再根据函数的单调性和奇偶性,“脱”掉,得到关于的不等式,解出不等式即可.
【详解】解:∵函数,是增函数,
又是奇函数,且其图像具有连续性,
是上增函数.
由,
于是,
解得或,
故答案为:.
【点睛】本题属于函数性质的综合应用,学生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力,是中档题.
15.以下说法中正确的是________。(写出所有正确的序号)
①若函数的定义域为,则函数的定义域为;
②函数的单调递减区间是;
③方程 的解是;
④若任意,且,则;
【答案】①③
【解析】
【分析】
根据抽象函数定义域的求法,可判断①;
由函数单调区间的表示法判断②;
解出方程可判断③;
根据已知得到,进而可判断④.
【详解】①若函数的定义域为,则,得,
即函数的定义域为,故正确;
②函数的单调递减区间是和,不能并起来,故错误;
③方程,得,解得,故正确;
④若,则,则,
,故错误.
故答案为:①③
【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了抽象函数定义域的求法,函数单调区间的表示,指数对数方程以及,抽象函数函数值的求和,是中档题.
16.已知函数,若关于的方程有8个不同根,则实数的取值范围是______________.
【答案】
【解析】
试题分析:函数的图像如图所示,因为,所以关于的方程在上有2个根.令,则方程在
上有2个不同的正解,所以,解得.
考点:1、分段函数;2、函数的图象;3、方程的根.
【方法点睛】方程解的个数问题解法:研究程的实根常将参数移到一边转化为值域问题.当研究程的实根个数问题,即方程的实数根个数问题时,也常要进行参变分离,得到的形式,然后借助数形结合(几何法)思想求解;也可将方程化为形如,常常是一边的函数图像是确定的,另一边的图像是动的,找到符合题意的临界值,然后总结答案即可.
三、解答题
17.计算:
(1)
(2)
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)利用幂指数运算性质来计算即可;
(2)利用对数的运算性质来计算即可.
【详解】解:(1)原式;
(2)原式
【点睛】本题考查指数对数的运算,是基础题.
18.已知集合,函数的定义域为,
(1)当时,求,,
(2)若求实数的取值范围.
【答案】(1);
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据题意,由可得,再由交并补的定义可得,;
(2)根据题意,分析可得,进而分2种情况讨论:当时和当时,列不等式分别求出的取值范围,进而对其求并集可得答案.
【详解】解:根据题意,当时, ,,
则 ,
又或,
则;
根据题意,若,则,
分2种情况讨论:
当时,有,解得:;
当时,若有,必有 ,解得:,
综上可得:的取值范围是:.
【点睛】本题考查集合间关系的判断,涉及集合间的混合运算,(2)中注意可能为空集的情况,是基础题.
19.已知函数是定义域在上的奇函数,且.
(1)求实数值;
(2)判断函数的单调性,并用定义证明;
(3)解不等式:.
【答案】(1);(2)增函数,证明见解析;(3)
【解析】
【分析】
(1)利用,,列方程组求解即可;
(2)先观察出函数的单调性,然后利用单调性的定义进行证明即可;
(3)利用的单调性和奇偶性,将不等式中的“脱”去,得到关于的不等式,解不等式即可.
【详解】解:由题意可知定义域在上的奇函数可得,又,
即:,解得:
即实数,;
由
所以函数在上为增函数,
证明:在上任,,且,
则
因为,所以,即
函数在上为增函数.
不等式
等价转化为:
又定义域在上的奇函数,
,
又函数是上的增函数,
由解得:
所以原不等式的解集为.
【点睛】本题考查抽象函数性质的证明与应用,注意:1.定义在上的奇函数必有;2. 函数在上为增函数,则由可得,本题综合性较强,是中档题.
20.某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共吨,如果在市场上直接销售,每吨可获利万元;如果进行精加工后销售,每吨可获利万元,但需另外支付一定的加工费,总的加工(万元)与精加工的蔬菜量(吨)有如下关系:设该农业合作社将(吨)蔬菜进行精加工后销售,其余在市场上直接销售,所得总利润(扣除加工费)为(万元).
(1)写出关于的函数表达式;
(2)当精加工蔬菜多少吨时,总利润最大,并求出最大利润.
【答案】(1);(2)精加工吨时,总利润最大为万元.
【解析】
【分析】
(1)利用已知条件求出函数的解析式;
(2)利用二次函数的性质,转化求解函数的最值.
【详解】解:(1)由题意知,当0≤x≤8时,
y=0.6x+0.2(14-x)-x2=-x2+x+,
当8<x≤14时,
y=0.6x+0.2(14-x)-=x+2,
即y=
(2)当0≤x≤8时,y=-x2+x+=-(x-4)2+,
所以 当x=4时,ymax=. 当8<x≤14时,y=x+2,
所以当x=14时,ymax=.因为 >,所以当x=4时,ymax=.
答:当精加工蔬菜4吨时,总利润最大,最大利润为万元.
【点睛】本题考查实际问题的应用,二次函数的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力.
21.若为定义域上的单调函数,且存在区间(其中,使得当时, 的取值范围恰为,则称函数是上的“优美函数”.
函数是否为“优美函数”?若是,求出的值;若不是,请说明理由.
若为“优美函数”,求实数的取值范围.
若函数为“优美函数”,求实数的取值范围.
【答案】(1)是“优美函数”,过程见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
(1)由已知条件中“优美函数”的定义,说明函数在区间的值域是,又由函数的单调性,得到关于的方程,解出即可;
(2)由题意知,函数为“优美函数”,等价于方程有两实根,利用判别式和韦达定理列不等式,解不等式可得的范围;
(3)函数为“优美函数”,可得,消去,可得间的关系,再代入原方程组,可得两个结构一摸一样的方程,将方程组的问题化归为一个二次方程有两正根的问题,利用判别式和韦达定理列不等式,解不等式可得的范围.
【详解】解:因为函数在区间上单调递增,且值域为,
,
,
,
所以是“优美函数”,此时,;
因为函数为递增函数,
要使在定义域区间上存在,使得的值域,
则只需有两个不等的实根,
由得在有两个不等的实根,设为,
,
解得;
因为函数在上单调递减,
由题意得,两式相减,
得,
可得
将上式代入方程组得,
是方程的两根,
令在上有两个不同的实根,设为,
解得.
【点睛】本题考查的知识点是函数单调性和函数的值域,根据新定义构造出满足条件的方程(组)或不等式(组),将新定义转化为熟悉的数学模型是解答本题的关键,其中将方程组化归为二次方程是第(3)问的关键,本题难度较大.
22.已知函数是偶函数,且,.
(1)当时,求函数的值域;
(2)设R,求函数的最小值;
(3)对(2)中的,若不等式对于任意的恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】
【分析】
(1)由函数是偶函数,可得,即可求出,进而可求出与的表达式,再由时,函数和都是单调递增函数,可知函数在上单调递增,从而可求出的值域;
(2),令,由(1)知,则,然后利用二次函数的单调性可求得的最小值;
(3)当时,,则,整理得,由于,则对于任意的恒成立,只需令大于在上的最大值,求解即可.
【详解】(1)因为函数是偶函数,所以,解得.
故,.
当时,函数和都是单调递增函数,
故函数在上单调递增,
,,
所以当时,函数的值域是.
(2),
令,由(1)知,则,
因为二次函数开口向上,对称轴为,
故时,在上单调递增,最小值为;
时,在上单调递减,在上单调递增,最小值为;
时,在上单调递减,最小值为8.
故函数的最小值.
(3)当时,,
则即,整理得,
因为,所以对于任意的恒成立,
令,
只需令大于在上的最大值即可.
在上任取,且,则,,
则,
当时,,则,即,故在上单调递增;
当时,,则,即,故在上单调递减;
所以函数在上的最大值为,
故.
所以实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性,考查了函数的单调性,考查了函数的最小值的求法,考查了不等式恒成立问题,属于难题.