【数学】2019届一轮复习人教B版排列组合和概率（理）学案 18页

‎ ‎ 热点五 排列组合和概率客观题（理）‎ ‎【名师精讲指南篇】‎ ‎【高考真题再现】‎ ‎1.【2014全国卷1理】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎2【2014全国卷2理】某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）‎ A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45‎ ‎【答案】A ‎【解析】此题为条件概率,,故选A.‎ ‎3.【2015全国卷1理】投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试,已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为（）.‎ A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312‎ ‎【答案】A ‎【解析】 根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为．故选A．‎ ‎4.【2016全国卷2理】如图所示,小明从街道的处出发,先到处与小红会合,再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）.‎ A.24 B.18‎ C.12 D.9‎ ‎【答案】B ‎【解析】从的最短路径有种走法,从的最短路径有种走法,由乘法原理知,共种走法.故选B．‎ ‎5.【2016全国卷3理】定义“规范数列”如下：共有项,其中项为,项为,且对任意,中的个数不少于的个数.若,则不同的“规范数列”共有（ ）.‎ A.个 B.个 C.个 D.个 ‎【答案】C ‎【解析】依题意,由“规范01数列”,得第一项为0,第项为1,当时,只需确定中间的6个元素即可,且知中间的6个元素有3个“0”和3个“1”.‎ 分类讨论：①若0后接00,如图所示.‎ 后面四个空位可以随意安排3个1和1个0,则有种排法；‎ ‎②若0后接01如图所示.‎ 后面四个空位可以排的数字为2个“0”和2个“1”,只有一种情形不符合题意,即01后面紧接11,除此外其它的情形故满足要求,因此排法有种排法；‎ ‎③若0后接10,如图所示.‎ 在10后若接0,则后面有种排法,在10后若接1,即0 1 0 1 0 ‎ ‎ 1,第五个数字一定接0,另外两个位置0,1可以随意排,‎ 有中排法,则满足题意的排法有种.故选C.‎ ‎6.【2016全国卷1理】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车, 小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎7.【2016全国卷2理】从区间随机抽取2n个数,,…,,,,…,,构成n个数对,,…,,其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ ）.‎ A. B. C.·华.资*源 库 iyuan u D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得：在如图所示方格中,而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中,由几何概型概率计算公式知,所以.故选C．‎ ‎【热点深度剖析】‎ 从这三年高考来看,对这一热点的考查,主要考查分类计数原理、分步计数原理,排列组合,‎ 等可能事件的概率,古典概型,几何概型,条件概率,相互独立事件的概率、互斥事件的概率． 2014年高考题主要考查古典概型,利用排列组合知识求古典概型的概率及条件概率概率的计算,属于基础题．2015年考查相互独立事件的概率；2016年考查了沉寂多年的单纯的排列组合问题及多年没有考查的几何概型.高考对这一部分知识的考查单独的考题会以选择题、填空题的形式出现,一般在试卷的靠前部分,属于中低难度的题目,难度较低,分清事件是什么事件是解题的关键；排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小,属于高考题中的中低档题目；从高考试题的形式来看,排列组合和概率往往结合在一起考查,且以概率为主,单纯考察排列组合的试题较少,试题难度不大,为中低档题,预测2017年高考,全国卷1考查排列组合问题,全国卷3考查几何概型的可能性较大,另外古典概型、条件概型也不容忽视．‎ ‎【重点知识整合】‎ ‎1.排列数中、组合数中.‎ ‎(1)排列数公式 ‎ ‎； ‎ ‎(2)组合数公式 ‎；规定,.‎ ‎(3)排列数、组合数的性质：①；②；③；④；⑤；⑥.‎ ‎2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立的,一次的且每次得出的是最后的结果,只需一种方法就能完成这件事）,分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果,任何一步都不能独立地完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事,各步是关联的）,有序排列,无序组合．‎ ‎3.解排列组合问题的方法有：‎ ‎（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置）‎ ‎（2）间接法（对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉）‎ ‎（3）相邻问题捆绑法 ‎（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列,最后再“松绑”,将特殊元素在这些位置上全排列）中/华-资*源 库 ‎（4）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排好没有限制元条件的元素,然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）‎ ‎（5）多排问题单排法 ‎（6）多元问题分类法 ‎（7）有序问题组合法 ‎（8）选取问题先选后排法 ‎（9）至多至少问题间接法 ‎（10）相同元素分组可采用隔板法 ‎4、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成n组问题别忘除以n！‎ ‎5．随机事件的概率,其中当时称为必然事件；当时称为不可能事件P(A)=0； ‎ ‎6.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=.理解这里m、ｎ的意义.‎ ‎7、互斥事件：（A、B互斥,即事件A、B不可能同时发生）.计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B).‎ ‎8、对立事件：（A、B对立,即事件A、B不可能同时发生,但A、B中必然有一个发生）.计算公式是：P（A）+ P(B)＝１；P()=1－P(A)；‎ ‎9、独立事件：（事件A、B的发生相互独立,互不影响）P(A•B)＝P(A) • P(B) .提醒：（1）如果事件A、B独立,那么事件A与、与及事件与也都是独立事件；（2）如果事件A、B相互独立,那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P（AB）＝1－P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互独立,那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－P（）＝1－P()P().‎ ‎10、独立事件重复试验：事件A在n次独立重复试验中恰好发生了次的概率(是二项展开式的第 +1项),其中为在一次独立重复试验中事件A发生的概率.‎ 提醒：（1）探求一个事件发生的概率,关键是分清事件的性质.在求解过程中 常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理,把所求的事件：转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率,转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有 次发生的概率,但要注意公式的使用条件.（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件,反之,事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：①先设事件A=“…”, B=“…”；②列式计算；③作答.中/华-资*源 库 ‎11.古典概型：‎ 满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型：‎ ‎(1)有限性：在一次试验中,可能出现的不同的基本事件只有有限个；‎ ‎(2)等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的．‎ 古典概型中事件的概率计算如果一次试验的等可能基本事件共有n个,随机事件A包含了其中m个等可能基本事件,那么事件A发生的概率为P(A)＝.‎ ‎12．几何概型 区域A为区域Ω的一个子区域,如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位置和形状无关,则称这样的概率模型为几何概率模型．几何概型的概率P(A)＝,其中μA表示构成事件A的区域长度(面积或体积)．μΩ表示试验的全部结果所构成区域的长度(面积或体积)．‎ ‎13、解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”：‎ ① 求概率的步骤是：第一步,确定事件性质 即所给的问题归结为四类事件中的某一种.‎ 第二步,判断事件的运算 即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.‎ 第三步,运用公式求解 第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复.‎ ‎【应试技巧点拨】‎ ‎1.求排列应用题的主要方法：‎ ‎(1)对无限制条件的问题——直接法；‎ ‎(2)对有限制条件的问题,对于不同题型可采取直接法或间接法,具体如下：‎ ‎①每个元素都有附加条件——列表法或树图法；‎ ‎②有特殊元素或特殊位置——优先排列法；‎ ‎③有相邻元素(相邻排列)——捆绑法；‎ ‎④有不相邻元素(间隔排列)——插空法；‎ ‎2.组合问题常有以下两类题型变化：‎ ‎(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足；“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取．‎ ‎(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理．‎ ‎3.解排列、组合的综合应用问题,要按照“先选后排”的原则进行,即一般是先将符合要求的元素取出(组合),再对取出的元素进行排列,常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法、图形分析法．要根据实际问题探索分类、分步的技巧,做到层次清楚,条理分明．‎ ‎4.事件A的概率的计算方法,关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一,本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三,事件A是什么？它包含的基本事件有多少．回答好这三个方面的问题,解题才不会出错．‎ ‎5．几何概型的两个特点：一是无限性,即在一次试验中,基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性,即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此,用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的,同属于“比例解法”．即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占的总面积(总体积、长度)”之比来表示．‎ ‎6.求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件,然后用概率公式求解．一个复杂事件若正面情况比较多,反面情况较少,则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解．注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中,试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中,事件发生的概率相同．‎ 牢记公式,,并深刻理解其含义．‎ ‎7．解答条件概率问题时应注意的问题 ‎(1)正确理解事件之间的关系是解答此类题目的关键．‎ ‎(2)在求时,要判断事件与事件之间的关系,以便采用不同的方法求．其中,若,则),从而.‎ ‎8.解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路 ‎(1)明确随机变量可能取哪些值．‎ ‎(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．‎ ‎(3)根据分布列和期望、方差公式求解．‎ 注意　解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律,以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．‎ ‎【考场经验分享】‎ ‎1．切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步进行．分类时要做到不重不漏．对于复杂的计数问题,可以分类、分步综合应用．‎ ‎2．解决排列、组合问题可遵循“先组合后排列”的原则,区分排列、组合问题主要是判断“有序”和“无序”,更重要的是弄清怎样的算法有序,怎样的算法无序,关键是在计算中体现“有序”和“无序”．‎ ‎3．要能够写出所有符合条件的排列或组合,尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符,使复杂问题简单化,这样既可以加深对问题的理解,检验算法的正确与否,又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．‎ ‎4.几何概型求解时应注意：‎ ‎(1)对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式计算事件的概率,关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况,选取合适的参数,建立适当的坐标系,在此基础上,将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点,使得全体结果构成一个可度量区域．‎ ‎(2)由概率的几何定义可知,在几何概型中,“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比,而与该区域的位置与形状无关．‎ ‎5.如果题设条件比较复杂,且备选答案数字较小,靠考虑穷举法求解,如果试题难度较大并和其他知识联系到一起,感觉不易求解,一般不要花费过多的时间,可通过排除法模糊确定,一般可考虑去掉数字最大与最小的答案 本部分内容的基础是概率,高考试题中无论是以古典概型为背景的分布列,还是以独立重复试验为背景的分布列,都要求计算概率．解此类问题的一个难点是正确的理解题意,需特别注意．‎ ‎【名题精选练兵篇】‎ ‎1．【2017届广东省梅州市高三下学期一检（3月）】集装箱有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球,从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是4的倍数,则获奖.若有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】获奖的概率为 ,记获奖的人数为 , ,所以4人中恰好有3人获奖的概率为 ,故选B.‎ ‎4．【2017届重庆市高三学业质量调研抽测（第一次）】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮,有人送来米2000石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得300粒内夹谷36粒,则这批米内夹谷约为（ ）‎ A. 1760石 B. 200石 C. 300石 D. 240石 ‎【答案】D ‎【解析】由题意,由统计知识可知,通样本的特征数来估计整体数据的特征,所以,故选D.‎ ‎3．【2017届安徽省江南十校高三3月联考】质地均匀的正四面体表明分别印有0,1,2,3四个数字,某同学随机的抛掷次正四面体2次,若正四面体与地面重合的表面数字分别记为,且两次结果相互独立,互不影响.记为事件,则事件发生的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎4．【北京市海淀区2017届高三3月适应性考试（零模）】已知, ,若向区域上随机投一点,则点落入区域的概率是（ ）‎ A. B. C. D. WWW. iyuan u ‎ ‎【答案】D ‎【解析】做出可行域如图,其中,根据几何概型知,故选D．‎ ‎5．【江西省百校联盟2017届高三2月联考】已知为奇函数,当时,,其中,则的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎6．【2017河北唐山市高三第一次模拟】甲、乙等4人在微信群中每人抢到一个红包,金额为三个1元,一个5元,则甲、乙的红包金额不相等的概率为（）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】甲乙等四人在微信中每人抢到一个红包金额为三个一元,一个五元,基本事件总数为 ,甲乙的红包金额不相等包含的基本事件有：甲乙的红包金额分别为 .所以甲乙的红包金额不相等的概率为 .故选C.‎ ‎7．【广东省广州市2017届高三3月综合测试（一）】五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为 A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】根据题意没有相邻的两个人站起来包括两种情况：5人都不站起来,或由2人中间隔一人站起来,故没有相邻的两个人站起来的概率为 ,选C ‎8．【2017届河南省安阳市高三第一次模拟】三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红（朱）色及黄色,其面积称为朱实、黄实,利用勾股股勾朱实黄实弦实,化简,得勾股弦．设勾股形中勾股比为,若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计）,则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）‎ A. 866 B. 500 C. 300 D. 134‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,大正方形的边长为2,中间小正形的边长为,则所求黄色图形内的图钉数大约为,故选D.‎ ‎9．【河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）】如图所示,使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰,表示估计的结果,刚图中空白框内应填入（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】CWWW. iyuan u ‎ ‎【解析】由题意得 ,选C.‎ ‎10．【湖北省七市（州）2017届高三第一次联合调考（3月联考）】从数字1,2,3 ,4,5中,随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数,其各位 数字之和等于12的概率为 A. B. C. D. ‎【答案】A ‎11．【安徽省宿州市2017届高三第一次教学质量检测（期末）】在中,,,‎ ,一只小蚂蚁从的内切圆的圆心处开始随机爬行,当蚂蚁（在三角形内部）与各边距离不低于个单位时其行动是安全的,则这只小蚂蚁在内任意行动时安全的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由勾股定理可知是直角三角形,如图,因,内切圆的半径为,则,故,所以蚂蚁在图中阴影部分内行动是安全的,由于两内切圆的半径之比是,故两直角三角形的面积之比是,即所求概率为,应选答案A. ‎ ‎12．【广东省梅州市2017届高三下学期一检（3月）】甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.若从这6名教师中任选2名,选出的2名教师来自同一学校的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】从教师中任选2名教师的种数有,则其中来自同一学校的可能种数有,故所求事件的概率是,应选答案D.‎ ‎13．【河南省焦作市2017届高三下学期第二次模拟】在区间上任选两个数和,则 的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】由题意得所求概率为 ,选C.‎ ‎14.【2016江西省赣中南五校第一次考试】不等式组表示的点集记为M,不等式组表示的点集记为N,在M中任取一点P,则P∈N的概率为 A. B. C. 中·华.资*源 库 iyuan u D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】列出相应的区域如下所示：‎ ‎ ‎ 区域M是正方形区域,区域N是阴影区域,,所以P∈N的概率为；故选B．‎ ‎15.【2015年河北省“五个一名校联盟”二模】在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数,记为a,b,则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵表示焦点在x轴上且离心率小于,∴a＞b＞0,a＜2b,‎ 它对应的平面区域如图中阴影部分所示：‎ 则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为 P==1﹣=,故选B．‎ ‎16.【2016河南新乡许昌平顶山二调】某校高二年级有5个文 班,每班派2名学生参加年级学生会选举,从中选出4名学生 进入学生会,则这4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率为___________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率为.‎ ‎【名师原创测试篇】‎ ‎1．甲乙和其他名同学合影留念,站成两排三列,且甲乙两人不在同一排也不在同一列,则这名同学的站队方法有（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】C ‎【解析】排法为选C.‎ ‎2．在区间上随机取一个数,使直线与圆相交的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】由直线与圆相交可得圆心到直线的距离,即或,也即,故所求概率,应选答案C.‎ ‎3. 如图,设抛物线的顶点为,与轴正半轴的交点为,设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为,随机往内投一点,则点落在内的概率是( )‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎4.如图所示,在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x,y).则以x,y,1为边长能构成锐角三角形的概率为 .‎ ‎【答案】1－ ‎【解析】首先由x＋y>1得构成三角形的点P在△ABC内,若构成锐角三角形,则最大边1所对的角α必是锐角,cosα＝＞0,x2＋y2＞1,即点P在以原点为圆心,1为半径的圆外.∴点P在边AB,BC及圆弧AC围成的区域内.∴其概率为：＝1－.‎ ‎5.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,,,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为____________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】加工出来的零件是次品的对立事件为零件是正品,由对立事件公式得加工出来的零件的次品率P＝1－××＝.故填.‎ ‎6.甲袋中有2个白球和4个红球,乙袋中有1个白球和2个红球.现在随机地从甲袋中取出一球放入乙袋,然后从乙袋中随机地取出一球,则取出的球是白球的概率是________.‎ ‎【答案】