2018届二轮复习（文）数学思想领航三、分类与整合思想学案（全国通用） 5页

三、分类与整合思想 ‎　　分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.‎ 方法一　公式、定理分类整合法 模型解法 公式、定理分类整合法即利用数学中的基本公式、定理对研究对象进行分类，然后分别对每类问题进行解决的方法．此方法多适用于公式、定理自身需要分类讨论的情况．破解此类题的关键点：‎ ‎①分类转化，结合已知所涉及的知识点，找到合理的分类标准．‎ ‎②依次求解，对每个分类所对应的问题，逐次求解．‎ ‎③汇总结论，汇总分类结果，得结论．‎ 典例1　设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0 (n＝1,2,3，…)，则q的取值范围是________．‎ 解析　由{an}是等比数列，Sn>0，‎ 可得a1＝S1>0，q≠0，当q＝1时，Sn＝na1>0.‎ 当q≠1时，Sn＝>0，‎ 即>0(n＝1,2,3，…)，‎ 则有 ①‎ 或 ②‎ 由①得－11.‎ 故q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．‎ 答案　(－1,0)∪(0，＋∞)‎ 思维升华　公式、定理的分类整合法的分类一般比较固定，由定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．‎ ‎跟踪演练1　Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4，S3，S5成等差数列，则{an}的公比为(　　)‎ A. B．2 C．－ D．－2‎ 答案　D 解析　设{an}的公比为q(q≠0)，由等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4，S3，S5成等差数列，得2S3＝S4＋S5.‎ 当q＝1时，S4＝4a1，S3＝3a1，S5＝5a1，‎ 此时2S3≠S4＋S5，不满足题意；‎ 当q≠1时，有＝＋，‎ 即q2＋q－2＝0，‎ 解得q＝－2或q＝1(舍去)．‎ 方法二　位置关系的分类整合法 模型解法 对于几何中位置关系的分类讨论问题常采用分类整合法，这种方法适用于解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系，以及几何图形中点、线、面的位置关系的研究．破解此类题的关键点：‎ ‎①确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定．‎ ‎②分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类．‎ ‎③得出结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理．‎ 典例2　在约束条件下，当3≤s≤5时，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是(　　)‎ A．[6,15] B．[7,15]‎ C．[6,8] D．[7,8]‎ 解析　由可得 由图，可得A(2,0)，‎ B(4－s,2s－4)，C(0，s)，C′(0,4)．‎ ‎①当3≤s<4时，不等式组所表示的可行域是四边形OABC及其内部，此时，z＝3x＋2y在点B处取得最大值，且zmax＝3(4－s)＋2(2s－4)＝s＋4，由3≤s<4，得7≤zmax<8.‎ ‎②当4≤s≤5时，不等式组所表示的可行域是△OAC′及其内部，此时z＝3x＋2y在点C′处取得最大值，且zmax＝8.‎ 综上可知，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是[7,8]，故选D.‎ 答案　D 思维升华　(1)在解析几何位置关系的研究中，不能仅仅关注直线与圆锥曲线的位置关系中的相交、相离和相切三种情况，还要注意焦点在不同位置时的关系的探究．‎ ‎(2)在几何图形的相关问题中，要充分发挥空间想象能力，将所有可能出现的关系“一网打尽”．如本题随着s取值的变化，目标函数值是会随着变化的，如果考虑不全，就会得出错误结论．‎ 跟踪演练2　抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为________．‎ 答案　4‎ 解析　当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在．事实上，F(p，0)，若设P(x，y)，则|FO|＝p，|FP|＝，‎ 若＝p，则有x2－2px＋y2＝0，‎ 又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，‎ 当x＝0时，不构成三角形．当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾．∴符合要求的点P有4个．‎ 方法三　含参问题的分类整合法 模型解法 含参问题的分类整合法是分类讨论问题中最重要、最常见也是最复杂的一种方法，在解决问题中一般根据参数的取值范围进行分类．此模型适用于某些含有参数的问题，如含参的方程、不等式等，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的方法进行求解或证明，因此要分类讨论．破解此类题的关键点：‎ ‎①确定范围，确定需要分类问题中参数的取值范围．‎ ‎②确定分类标准，这些分类标准都是在解题过程中根据解决问题的需要确定的，注意有些参数可能出现多级分类，要做到不重不漏．‎ ‎③分类解决问题，对分类出来的各相应问题分别进行求解．‎ ‎④得出结论，将所得到的结论进行汇总，得出正确结论．‎ 典例3　函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)‎ C．(－∞，0) D．(0，＋∞)‎ ‎解析　方法一　当a＝0时，f(x)＝4x－3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f(2)，满足题意．‎ 当a≠0时，函数f(x)＝ax2＋4x－3＝a2－3－，其对称轴为x＝－.‎ 当a>0时，f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f(2)，满足题意．‎ 当a<0时，只有当－≥2，即－1≤a<0时，f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f(2)，满足题意．‎ 综上，当a≥－1时，函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)．‎ 故选B.‎ 方法二　由f(x)＝ax2＋4x－3，得f′(x)＝2ax＋4，‎ 要使函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)，‎ 需使f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上为单调递增函数，则f′(x)＝2ax＋4≥0在[0,2]上恒成立，‎ 当x＝0时成立，当x≠0时，由x∈(0,2]，得a≥－，‎ 因为－在(0,2]上的最大值为－1，所以a≥－1.‎ 综上，当a≥－1时，函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)．故选B.‎ 答案　B 思维升华　对于含参问题的分类讨论主要有以下三种类型：(1)概念型，即问题所涉及的数学概念是分类进行定义的，如|a|的定义分a>0，a＝0，a<0三种情况．‎ ‎(2)性质型，即问题中涉及的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制、或者是分类给出的，如等比数列的前n项和公式，分q＝1和q≠1两种情况．‎ ‎(3)含参型，求解含有参数的问题时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论．另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都需要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性．‎ 跟踪演练3　已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且F2到直线x－y－9＝0的距离等于椭圆的短轴长．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若圆P的圆心为P(0，t)(t>0)，且经过F1，F2两点，Q是椭圆C上的动点且在圆P外，过Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为时，求t的值．‎ 解　(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 依题意可得2b＝＝4，‎ 所以b＝2，又c＝1，所以a2＝b2＋c2＝5，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设Q(x，y)，‎ 圆P的方程为x2＋(y－t)2＝t2＋1，‎ 连接PM，因为QM为圆P的切线，‎ 所以PM⊥QM，‎ 所以|QM|＝ ‎＝ ‎＝ .‎ ‎①若－4t≤－2，即t≥时，‎ 当y＝－2时，|QM|取得最大值，‎ 且|QM|max＝＝，‎ 解得t＝<(舍去)．‎ ‎②若－4t>－2，即0