河南省顶级名校2019-2020学年高二上学期10月阶段性检测数学（文）试题 17页

‎2018级高二年级10月阶段性检测 数学试题（文科）‎ 一．选择题 ‎1.若实数，，，满足，，则下列不等式成立的是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式性质依次判断每个选项正误得到答案.‎ ‎【详解】实数，，，满足，‎ 则，A正确 取， B选项不满足，排除 取，C选项不满足，排除 取，D选项不满足，排除 故选：A ‎【点睛】本题考查了不等式的性质，利用特殊值法可以快速得到答案.‎ ‎2.设等差数列的前项和为，且．则过点的直线斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：∵数列为等差数列，设其公差为，∵，∴，即；∴过点的直线斜率，故选：B．‎ 考点：等差数列的性质．‎ ‎3.已知函数的最小正周期为，则（ ）‎ A. 1 B. C. -1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题设知：，所以，‎ 所以，，故选A.‎ 考点：三角函数的概念与性质.‎ ‎4.若不等式的解集是R，则的范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：将问题转化为不等式在上恒成立解决，解题时注意对的取值要分类讨论．‎ 详解：由题意得不等式在上恒成立．‎ ‎①当时，不等式为，不等式恒成立．符合题意．‎ ‎② 当时，由不等式恒成立得，解得．‎ 综上，‎ 所以实数的范围是．‎ 故选A．‎ 点睛：不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，‎ ‎；当时，．‎ ‎5.设，，是与的等比中项，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. 4 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：是与的等比中项，，，当且仅当时，等号成立，即的最小值是．故选B．‎ 考点：1、正弦定理；2、和差角公式．‎ ‎【思路点睛】先根据等比中项的概念得出，再将转化为，最后利用基本不等式求的最值．利用基本不等式求最值时，要注意①各项皆为正数，②和或积为定值，③注意等号成立的条件．可概括为：一“正”，二“定”，三“相等”．本题主要考查基本不等式求最值，考查转化与化归思想，特别要注意的灵活运用，属于基础题．‎ ‎6.已知三角形中，，，连接并取线段的中点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，线段的中点为，，，故选B.‎ ‎7.已知数列{an}的通项公式为an＝则数列{an}中的最大项为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解法一　an＋1－an＝(n＋1) n＋1－nn＝·n，‎ 当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an；‎ 当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；‎ 当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1a4>a5>…>an，‎ 所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故选A.‎ 解法二　＝＝，‎ 令>1，解得n<2；令＝1，解得n＝2；令<1，解得n>2.又an>0，‎ 故a1a4>a5>…>an，‎ 所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故选A.‎ ‎8.若满足，且的最大值为6，则的值为（）‎ A. -1 B. -7 C. 1 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出确定的可行域，由图象可知当时，可行域不存在；当时，与题意不符；当时，通过可行域可知当过时，取得最大值；将点坐标代入可构造出关于的方程，解方程求得结果.‎ ‎【详解】由可得可行域如下图阴影部分所示：‎ 则 若，则可行域不存在，不符合题意 若，则只有一个可行解，此时不合题意 当时，可行域如下图阴影部分所示：‎ 可知当过点时，取得最大值 又 ，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查线性规划中，根据最优解补全约束条件的问题；关键是能够排除含变量的条件得到区域，再根据含变量的条件确定最终的可行域，通过最优解的位置构造方程求得结果.‎ ‎9.设函数则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 当时，；‎ 令 两式相加，得,则所求值为201.‎ 考点：倒序相加法.‎ ‎10.设各项均不为零等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，且S10＝0，则使不等式成立的正整数n的最小值是（　　）‎ A. 9 B. 10 C. 11 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由S10＝0及等差数列的前项和公式、等差数列的下标和性质可得：，可得：，由可推得，利用的单调性即可得解。‎ ‎【详解】解：在等差数列{an}中，由S10＝0，得，‎ 则．‎ 又∵，可知数列{an}递增数列，则．‎ 又．‎ ‎∴当n＝10时，0，‎ 当n＝11时，，‎ ‎∴使不等式成立的正整数n的最小值是11．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和公式、等差数列的下标和性质，还考查了转化能力及数列的单调性应用，属于中档题。‎ ‎11.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么 的值为（ ）‎ A. 41 B. 45 C. 369 D. 321‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出，由此利用等差数列求和公式能求出结果．‎ ‎【详解】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的前项和公式，本题解题的关键是应用等差数列的性质来解题．‎ ‎12.若直线通过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 依题意可得，点在单位圆上，所以直线与单位圆有交点，则圆心即原点到直线的距离，即，故选D 二、填空题 ‎13.已知是单位向量，且，若，则与夹角的正弦值是________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的模，再利用平面向量的夹角公式求解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 由向量的夹角公式得与夹角的余弦为，‎ 所以夹角的正弦值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查向量数量积的计算和模的计算，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14.已知等差数列的前项和是，如果，则=________。‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．‎ ‎【详解】等差数列的前项和是，，，‎ ‎，‎ 解得，，‎ ‎．‎ 故答案为：40．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎15.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在等式两边同时除以得到，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，由题意得出，解出该不等式即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】，，且，在等式两边同时除以得，‎ 由基本不等式得，‎ 当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，‎ 由于不等式恒成立，则，即，‎ 解得，因此，实数的取值范围是，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式处理不等式恒成立问题，同时也考查了一元二次不等式的解法，在利用基本不等式求最值时，要创造出定值条件，并对代数式进行配凑，考查化归与转化数学思想，属于中等题.‎ ‎16.设当时,函数取得最大值,则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式得到，化简得到，代入式子得到答案.‎ ‎【详解】，其中 ‎ 当时，有最大值，即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数求值，意在考查学生的计算能力.‎ 三、解答题 ‎17.已知等差数列，，为其前项的和，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项的和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先解方程组得再求出数列的通项公式；（2）由（1）可知，再利用等比数列的前n项和公式求数列的前项的和.‎ ‎【详解】（1）依题意 解得 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 所以，所以数列是首项为，公比为9的等比数列，‎ ‎.‎ 所以数列的前项的和为.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法，考查等比数列的判断和等比数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.‎ ‎18.已知圆的圆心为，且直线与圆相切，设直线的方程为，若点在直线上，过点作圆的切线，切点为.‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）若，试求点的坐标；‎ ‎（3）若点的坐标为，过点作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) (2) 或.（3）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出圆M的半径，再求圆的标准方程得解；（2）设，由题分析得到，解方程求出m的值即得解；（3）对直线CD的斜率分两种情况讨论，利用圆心到直线的距离为求出k的值得解.‎ ‎【详解】（1）由题得圆的半径为，‎ 所以圆M的标准方程为.‎ ‎（2）∵点在直线上，可设，又，‎ 由题可知，∴，∴，‎ 解之得：，，故所求点的坐标为或.‎ ‎（3）斜率不存在时，直线的方程为：，此时直线与圆相离，所以舍去；‎ 斜率存在时，设直线的方程为：，‎ 由题知圆心到直线的距离为，即，解得或，‎ 故所求直线的方程为：或.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求法，考查直线和圆的位置关系和直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎19.在平行四边形中，，分别是，上的点且，，与交于点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若平行四边形的面积为21，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据向量共线基本定理，可用表示，再根据平面向量基本定理列出方程组求得向量模的比值。‎ ‎（2）根据三角形面积的比例关系，得到高的比值。进而通过给出的三角形面积求出△BOC的面积。‎ 详解：‎ ‎（1）设，，据题意可得 ‎，从而有 .‎ 由，，三点共线，则存在实数，使得 ，即 ，由平面向量基本定理，解得，从而就有.‎ ‎（2）由（1）可知，所以∴ .‎ 点睛：本题考查了向量在平面几何中的综合应用，向量共线基本定理、向量共面基本定理是解决问题的关键，属于中档题。‎ ‎20.已知递增等比数列，，且，，成等差数列，设数列的前 项和为，点在抛物线上．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用等差数列等比数列公式和计算得到答案.‎ ‎（2），利用错位相减法得到,得到，代入计算得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）由即 可得或．‎ 因为数列为递增等比数列，所以，．‎ 故是首项为1，公比为3的等比数列．所以．‎ 由点在抛物线上，所以 ‎ ‎ 验证当时，也成立 故 ‎（2）因为 所以，‎ ‎．‎ 两式相减有 ‎．‎ 所以，．‎ ‎ ‎ 故数列单调递增，又 ‎ 若恒成立，则．‎ 解得：，所以，实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了数列的通项公式，通项与前N项和的关系，错位相减法，数列的恒成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力和对数列公式方法的灵活运用.‎ ‎21.已知集合P＝，函数的定义域为Q.‎ ‎（Ⅰ）若PQ ，求实数的范围；‎ ‎（Ⅱ）若方程在内有解，求实数的范围.‎ ‎【答案】 (1) （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题得不等式在上有解，即有解，求出即得解. （Ⅱ）由题得在有解，即求的值域得解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）P＝，PQ，不等式在上有解，由得，而， ‎ ‎（Ⅱ） 在有解，即求值域，‎ 设 ‎【点睛】（1）本题主要考查集合的运算，考查不等式的有解问题和方程的有解问题，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2), ‎ ‎ ‎