2018届二轮复习基本不等式学案（江苏专用） 7页

‎【热身训练】‎ ‎1．已知实数x，y满足xy＝1，且x>2y>0，则的最小值为________．‎ 解析：＝＝x－2y＋≥4，当且仅当x－2y＝2时，等号成立．‎ ‎2. 已知a>0，b>0，且＋＝1，则a＋2b的最小值是________．‎ 解析：令2a＋b＝x，b＋1＝y，有＋＝1，x>0，y>0，所以 a＋2b＝－＝(x＋3y)－＝－≥(4＋2)－＝＋，当且仅当x＝y时，取等号．‎ ‎3. 已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为________．‎ ‎4. 已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2 ＋b2＋c2＝1，则a的最大值为________．‎ 解析：由题意知，利用不等式(x＋y)2≤2(x2＋y2)得到a2≤2(1－a2)，解得a2≤，那么实数a的最大值为.‎ ‎【热点追踪】‎ 基本不等式是高中数学的一个重要知识点，在全国各地的高考考纲中都属于C级(熟练掌握)要求，高考经常考查利用基本不等式求变量或者代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点．试题既能考查基本不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，还能考查运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的应用能力等数学素养.‎ ‎（一）用基本不等式求代数式最值问题 例1. (2017·苏锡常镇二模)已知a，b均为正数，且ab－a－2b＝0，求－＋b2－的最小值．‎ 解析：－＋b2－＝－1，下面只要求a2＋4b2的最小值即可：因为a＋2b＝ab≥2，所以ab≥8，当且仅当a＝2b＝4时取等；又a2＋4b2≥2(a·2b)≥32，当且仅当a＝2b＝4时取等，则－1≥7.[ : ]‎ 另解1　－＋b2－＝－1＝－1＝－1＝－1；因为a＋2b＝ab≥2，得ab≥8，当且仅当a＝2b＝4时取等，所以－1≥7.‎ 另解2　又ab－a－2b＝0，有a＝.‎ 那么a2＋4b2＝4b2＋＝4＝4＝4≥4(22＋2·2)＝32.‎ 说明　也可用c2＋＋2≥2＋2·2＝6.‎ 另解3　因为ab－a－2b＝0，有＋＝1，则a2＋4b2＝(a2＋4b2)2≥4ab·＝32.‎ 另解4　因为ab－a－2b＝0，则＋＝1；‎ 则a2＋4b2＝(a2＋4b2)＝＋＋＋＋8≥32.‎ 另解5　因为ab－a－2b＝0，令a＝m＋n，b＝m－n，有m2－n2＝4m，n2＝m2－4m≥0得m≥4.‎ 则a2＋4b2＝2(m2＋n2)＝2(2m2－4m)＝4(m－1)2－4≥4(4－1)2－4＝32.‎ 另解7　因为ab－a－2b＝0，则＋＝1，设a＝，b＝；‎ 那么a2＋4b2＝＋ ‎＝4 ‎＝4 ‎＝4≥32.‎ 说明　也可利用幂平均不等式得到如下结果：‎ ＋＝4≥4＝32.学 ‎ 变式1　若x>0，y>0，且x2＋y2＝1，则＋的最小值是________．‎ 解析：＋＝＋≥2＝≥＝2.‎ 变式2　(2017·苏北四市高三期中)已知正数a，b满足＋＝－5，求ab的最小值． ‎ ‎（二）与三角函数有关的最值问题 例2. (2017·江苏四校联考)在△ABC中，若＋＝3，则sin A的最大值为________．‎ 解析：由题意tan A＝3，则 ‎＝＝＝3，‎ 即a2＝3bccos A＝，有b2＋c2＝a2.‎ 又cos A＝＝≥，‎ 那么有sin2 A≤，得sin A的最大值为.‎ 另解1　由题意tan A＝3，则 ＝ ‎＝＝3，即a2＝3bccos A＝，有b2＋c2＝a2.又cos A＝＝≥，那么有sin2 A≤，得sin A的最大值为.学 ‎ 另解2　由题意tan A·＝3，tan A＝－.令x＝tan Btan C，y＝tan B＋tan C，则＝－，即y2＝3x(x－1)．又由不等式可知y2≥4x，得x≤0或x≥‎ eq f(7,3).那么，tan A＝，即tan2 A＝＝≤.又cos2 A＝≥，那么有sin2 A≤，得sin A的最大值为.‎ 另解3　由题意＋＝，tan C＝－，‎ 消去tan C后有tan2 B(tan2 A－3)－3tan Atan B＋tan2A＝0，‎ 由判别式Δ＝9tan2 A－4tan2 A (tan2 A－3)≥0得tan2 A≤，‎ 又cos2 A＝≥，那么有sin2 A≤，得sin A的最大值为.‎ 变式1　在△ABC中，∠C＝90°，点M满足B＝3M，求sin∠BAM的最大值．‎ 解析：令MB＝3k，MC＝k，AC＝h，那么AM＝，AB＝，那么cos∠BAM＝ ‎＝＝，其中t＝，‎ 又＝＝≥，那么sin∠BAM≤.‎ 变式2　在△ABC中，tan2＋tan2＋tan2的最小值为________．‎ ‎（三）三角形中的最值问题 例3. 在Rt△ABC中，已知它的周长为10，求该三角形面积的最大值．‎ 解析：设C＝90°，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，则c(1＋sin A＋cos A)＝10.‎ 有S＝ab＝c2sin Acos A＝；‎ 令t＝1＋sin A＋cos A，其中t∈(2,1＋ ]．‎ 则有S＝＝25≤25(3－2)，‎ 当t＝1＋，即A＝45°时，取最大值．‎ 另解　设C＝90°，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，‎ 那么a＋b＋c＝a＋b＋＝10；‎ 又当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 故10≥2＋，解得ab≤50(3－2)，‎ 当且仅当a＝b＝5(2－)时，等号成立；则S≤25(3－2)．学 …… ‎ 变式1　等腰三角形ABC的腰BC上的中线长为2，则三角形ABC的周长的最大值为________．‎ 解析：设AC＝BC＝2x，AB＝y，由中线公式可知：2(4x2＋y2)＝4x2＋42，则8x2＋2y2＝4x2 ＋16，化简得y2＝8－2x2.令x＝2cos θ，y＝2sin θ，则周长C＝4x＋y＝8cos θ＋2sin θ＝6＝6sin (θ＋φ)≤6.当且仅当sin θ＝cos φ＝，cos θ＝sin φ＝，即x＝，y＝时，等号成立．‎ 变式2　设a，b，c为直角三角形的三边长，其中c为斜边长，求使得≥k成立的最大k值．‎ 解析：设a＝c cos θ，b＝csin θ，则＝，记为f (θ)；‎ 则有f (θ)＝，令t＝sin θ＋cos θ∈(1，)，即sin θ＋cos θ＝；‎ 那么f (t)＝＝＝＝－t.‎ 观察易知函数y＝f (t)为(1， ]上的减函数，那么f (t)≥f ()＝＋2.‎ ‎ ‎ ‎【乘热打铁】‎ ‎1．已知x>0，y>0，且满足x＋＋＋＝10，则2x＋y的最大值为________．‎ 解析：设t＝2x＋y，则＋＋＝10，即有＋＝10－，‎ 那么(2x＋y)＝t≥(＋2)2＝18， ‎ 即(t－18)(t－2)≤0，得到2≤t≤18，当且仅当x＝3，y＝12取到最大值．‎ ‎2．(2017·江苏卷)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：函数f(x)的定义域为R，且f (－x)＝－x3＋2x＋－ex＝－f(x)，则f(x)为奇函数；又f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2≥0，可知f(x)为增函数；那么f (a－1)＋f (2a2)≤0可化为f (2a2)≤f (1－a)，有2a2≤1－a，解得－1≤a≤.‎ ‎3．若实数a，b满足a＝＋2，则a的最大值是________．‎ 解析：设x＝，y＝(x，y≥0)，即a＝＝x＋2y，‎ 有a＝≤＝20.‎ ‎4．已知a>b，二次三项式ax2＋2x＋b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02＋2x0＋b＝0成立，则的最小值为________．‎