2018届二轮复习（理）专题一　函数与导数、不等式第3讲学案（全国通用） 15页

第 3 讲　不等式 高考定位　1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值 及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.在解答题中，特 别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解， 难度较大. 真 题 感 悟 1.(2017·全国Ⅱ卷)设 x，y 满足约束条件{2x＋3y－3 ≤ 0， 2x－3y＋3 ≥ 0， y＋3 ≥ 0， 则 z＝2x＋y 的最小值 是(　　) A.－15 B.－9 C.1 D.9 解析　可行域如图阴影部分所示，当直线 y＝－2x＋z 经过 点 A(－6，－3)时，所求最小值为－15. 答案　A 2.(2016·山东卷)若变量 x，y 满足 {x＋y ≤ 2， 2x－3y ≤ 9， x ≥ 0， 则 x2＋y2 的最大值是(　　) A.4 B.9 C.10 D.12 解析　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示： x2＋y2 表示区域内点到原点距离的平方，由{x＋y＝2， 2x－3y＝9得 A(3， －1). 由图形知，(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10. 答案　C 3.(2017·天津卷)若 a，b∈R，ab>0，则a4＋4b4＋1 ab 的最小值为________. 解析　∵a，b∈R，ab>0，∴a4＋4b4＋1 ab ≥4a2b2＋1 ab ＝4ab＋ 1 ab≥2 4ab· 1 ab＝4， 当且仅当{a2＝2b2， 4ab＝ 1 ab，即{a2＝ 2 2 ， b2＝ 2 4 时取得等号. 答案　4 4.(2017·全国Ⅲ卷)设函数 f(x)＝ {x＋1，x ≤ 0， 2x，x > 0， 则满足 f(x)＋f (x－1 2)>1 的 x 的 取值范围是________. 解析　当 x≤0 时，f(x)＋f (x－1 2)＝(x＋1)＋(x－1 2 ＋1)， 原不等式化为 2x＋3 2>1，解得－1 41，该式恒成立， 当 x> 1 2时，f(x)＋f (x－1 2)＝2x＋2x－1 2， 又 x> 1 2时，2x＋2x－1 2>2 1 2 ＋20＝1＋ 2>1 恒成立， 综上可知，不等式的解集为(－1 4，＋∞). 答案　(－1 4，＋∞) 考 点 整 合 1.不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法. 一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果 a 与 ax2＋bx＋ c 同号，则其解集在两根之外；如果 a 与 ax2＋bx＋c 异号，则其解集在两根之间. (2)简单分式不等式的解法. ①f（x） g（x）>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0). ②f（x） g（x）≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. (3)指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解. 2.几个不等式 (1)a2＋b2≥2ab(取等号的条件是当且仅当 a＝b). (2)ab≤(a＋b 2 ) 2 (a，b∈R). (3) a2＋b2 2 ≥a＋b 2 ≥ ab≥ 2ab a＋b(a>0，b>0). (4)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当 a＝b 时等号成立). 3.利用基本不等式求最值 (1)如果 x>0，y>0，xy＝p(定值)，当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 p(简记为：积定， 和有最小值). (2)如果 x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当 x＝y 时，xy 有最大值 1 4s2(简记为：和定， 积有最大值). 4.简单的线性规划问题 解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结 合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定 要准确，整点问题要验证解决. 热点一　不等式的性质及解法 【例 1】 (1)已知函数 f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增， 则 f(2－x)>0 的解集为(　　) A.{x|x>2 或 x<－2} B.{x|－24} D.{x|00. f(2－x)>0 即 ax(x－4)>0，解得 x<0 或 x>4. (2)f′(x)＝3x2－2＋ex＋ 1 ex≥3x2－2＋2 ex· 1 ex＝3x2≥0 且 f′(x)不恒为 0，所以 f(x)为 单调递增函数. 又 f(－x)＝－x3＋2x＋e－x－ex＝－(x3－2x＋ex－ 1 ex)＝－f(x)， 故 f(x)为奇函数， 由 f(a－1)＋f(2a2)≤0，得 f(2a2)≤f(1－a)， ∴2a2≤1－a，解之得－1≤a≤1 2， 故实数 a 的取值范围是[－1， 1 2]. 答案　(1)C　(2)[－1， 1 2] 探究提高　1.解一元二次不等式：先化为一般形式 ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相 应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集. 2.(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化. (2)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论. 【训练 1】 (1)若不等式 x2－ax＋1≥0 对于一切 a∈[－2，2]恒成立，则 x 的取值 范围是________. (2) 已 知 不 等 式 2 x－1 ≥1 5|a2 － a| 对 于 x∈[2 ， 6] 恒 成 立 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 ________. 解析　(1)因为 a∈[－2，2]，可把原式看作关于 a 的一次函数，即 g(a)＝－xa＋x2 ＋1≥0， 由题意可知{g（－2）＝x2＋2x＋1 ≥ 0， g（2）＝x2－2x＋1 ≥ 0， 解之得 x∈R. (2)设 y＝ 2 x－1 ，y′＝－ 2 （x－1）2<0， 故 y＝ 2 x－1 在 x∈[2，6]上单调递减，则 ymin＝ 2 6－1 ＝2 5， 故不等式 2 x－1 ≥1 5|a2－a|对于 x∈[2，6]恒成立等价于 1 5|a2－a|≤2 5恒成立，化简得{a2－a－2 ≤ 0， a2－a＋2 ≥ 0， 解得－1≤a≤2，故 a 的取值范围是[－1，2]. 答案　(1)R　(2)[－1，2] 热点二　基本不等式及其应用 【例 2】 (1)(2017·山东卷)若直线x a＋y b＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则 2a＋b 的最 小值为________. (2)(2016·江苏卷改编)已知函数 f(x)＝2 x＋(1 2 ) x ，若对于任意 x∈R，不等式 f(2x)≥mf(x)－6 恒成立，则实数 m 的最大值为________. 解析　(1)∵直线x a＋y b＝1(a>0，b>0)过点(1，2)， ∴1 a＋2 b＝1(a>0，且 b>0)， 则 2a＋b＝(2a＋b)(1 a＋2 b) ＝4＋b a＋4a b ≥4＋2 b a· 4a b ＝8. 当且仅当b a＝4a b ，即 a＝2，b＝4 时上式等号成立. 因此 2a＋b 的最小值为 8. (2)由条件知 f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2. ∵f(2x)≥mf(x)－6 对于 x∈R 恒成立，且 f(x)>0， ∴m≤（f（x））2＋4 f（x） 对于 x∈R 恒成立. 又（f（x））2＋4 f（x） ＝f(x)＋ 4 f（x）≥2 f（x）· 4 f（x）＝4，且（f（0））2＋4 f（0） ＝4， ∴m≤4，故实数 m 的最大值为 4. 答案　(1)8　(2)4 探究提高　1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原 则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定 值，等号能够取得. 2.特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合 函数的单调性求解. (2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错. 【训练 2】 (1)已知向量 a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且 a∥b，若 x，y 均为正数， 则3 x＋2 y的最小值是(　　) A. 5 3 B. 8 3 C.8 D.24 (2)若实数 a，b 满足1 a＋2 b＝ ab，则 ab 的最小值为(　　) A. 2 B.2 C.2 2 D.4 解析　(1)∵a∥b，∴3(y－1)＋2x＝0， 即 2x＋3y＝3.∵x＞0，y＞0， ∴3 x＋2 y＝(3 x＋2 y)·1 3(2x＋3y) ＝1 3(6＋6＋9y x ＋4x y )≥1 3(12＋2×6)＝8. 当且仅当 3y＝2x 时取等号. (2)依题意知 a>0，b>0，则1 a＋2 b≥2 2 ab＝2 2 ab， 当且仅当1 a＝2 b，即 b＝2a 时，“＝”成立. ∵1 a＋2 b＝ ab， ∴ ab≥2 2 ab ，即 ab≥2 2， ∴ab 的最小值为 2 2. 答案　(1)C　(2)C 热点三　简单的线性规划问题 命题角度 1　已知线性约束条件，求线性目标函数最值 【例 3－1】 (1)(2017·天津卷)设变量 x，y 满足约束条件{2x＋y ≥ 0， x＋2y－2 ≥ 0， x ≤ 0， y ≤ 3， 则目标 函数 z＝x＋y 的最大值为(　　) A. 2 3 B.1 C. 3 2 D.3 (2)(2017·全国Ⅰ卷)设 x，y 满足约束条件{x＋2y ≤ 1， 2x＋y ≥ －1， x－y ≤ 0， 则 z＝3x－2y 的最小值 为________. 解析　(1)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部 分所示，由 z＝x＋y 得 y＝－x＋z，作出直线 y＝－x，平 移使之经过可行域，观察可知，最优解在 B(0，3)处取得， 故 zmax＝0＋3＝3，选项 D 符合. (2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示， 由 z＝3x－2y 得 y＝3 2x－z 2，求 z 的最小值，即求直线 y＝3 2x－z 2的纵截距的最大值， 当直线 y＝3 2x－z 2过图中点 A 时，纵截距最大，由{2x＋y＝－1， x＋2y＝1 解得 A 点坐标为 (－1，1)，此时 z＝3×(－1)－2×1＝－5. 答案　(1)D　(2)－5 命题角度 2　求非线性目标函数的最值 【例 3－2】 (2017·汉中模拟)已知实数 x，y 满足{2x－y－4 ≥ 0， x－2y－2 ≤ 0， y ≤ 6， 则 z＝y＋1 x＋2 的 取值范围是________. 解析　作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示， 联立{2x－y－4＝0， x－2y－2＝0，得 A(2，0). 联立{y＝6， 2x－y－4＝0，得点 B(5，6). z＝y＋1 x＋2 的几何意义为可行域内的动点与定点 P(－2，－1)连线的斜率， ∵kPA＝1 4，kPB＝1，∴z＝y＋1 x＋2 的取值范围为[1 4，1]. 答案　[1 4，1] 命题角度 3　线性规划中参数问题 【例 3－3】 (2017·池州模拟)已知 x，y 满足约束条件{x－y－2 ≤ 0， ax＋y ≥ 4， x－2y＋3 ≥ 0， 目标函数 z＝2x－3y 的最大值是 2，则实数 a＝(　　) A. 1 2 B.1 C. 3 2 D.4 解析　作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示， ∵目标函数 z＝2x－3y 的最大值是 2， 由图象知 z＝2x－3y 经过平面区域的 A 时目标函数取得最大值 2. 由{x－y－2＝0， 2x－3y＝2， 解得 A(4，2)， 同时 A(4，2)也在直线 ax＋y－4＝0 上， ∴4a＝2，则 a＝1 2. 答案　A 探究提高　1.线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意 的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与 约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最 大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 2.对于线性规划中的参数问题，需注意： (1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利 用斜率这一特征加以转化. (2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变 动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参 数范围，使得这样的最优解在该区域内即可. 【训练 3】 (1)(2017·山东卷)已知 x，y 满足约束条件{x－y＋3 ≤ 0， 3x＋y＋5 ≤ 0， x＋3 ≥ 0， 则 z＝x＋ 2y 的最大值是(　　) A.0 B.2 C.5 D.6 (2)(2017·新乡模拟)若实数 x，y 满足{2x－y＋2 ≥ 0， 2x＋y－6 ≤ 0， 0 ≤ y ≤ 3， 且 z＝mx－y(m<2)的最小值 为－5 2，则 m 等于(　　) A. 5 4 B.－5 6 C.1 D. 1 3 解析　(1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所 示，故目标函数 z＝x＋2y 经过点 C(－3，4)时取最大值 zmax＝－3＋2×4＝5. (2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示， z ＝ mx － y(m<2) 的 最 小 值 为 － 5 2， 可 知 目 标 函 数 的 最 优 解 过 点 A ， 由 {y＝3， 2x－y＋2＝0，解得 A(1 2，3)， ∴－5 2＝m 2－3，解得 m＝1. 答案　(1)C　(2)C 1.多次使用基本不等式的注意事项 当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取 等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出 等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法. 2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解” 的作用，但往往需先变换形式才能应用. 3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形 结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定 要准确，整点问题要验证解决. 4.解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作 用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元 法等).在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关 知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律， 逐步提高自己的逻辑推理能力. 一、选择题 1.(2016·全国Ⅲ卷)已知 a＝2 4 3，b＝3 2 3，c＝25 1 3，则(　　) A.b 0， x＋m < 0， y－m > 0 表示的平面区域内 存在点 P(x0，y0)，满足 x0－2y0＝2，求实数 m 的取值范围. 解　先根据约束条件{2x－y＋1 > 0， x＋m < 0， y－m > 0 画出可行域(图略)， 要使可行域存在，必有 m<－2m＋1，要求可行域包含直线 y＝1 2x－1 上的点，只 要边界点(－m，1－2m)在直线 y＝1 2x－1 的上方，且(－m，m)在直线 y＝1 2x－1 的 下方， 故得不等式组{m < －2m＋1， 1－2m > －1 2m－1， m < －1 2m－1， 解之得 m<－2 3. 故实数 m 的取值范围是(－∞，－2 3). 10.已知函数 f(x)＝ 2x x2＋6. (1)若 f(x)＞k 的解集为{x|x＜－3，或 x＞－2}，求 k 的值； (2)对任意 x＞0，f(x)≤t 恒成立，求 t 的取值范围. 解　(1)f(x)＞k⇔kx2－2x＋6k＜0. 由已知{x|x＜－3，或 x＞－2}是其解集，得 kx2－2x＋6k＝0 的两根是－3，－2. 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2 k，即 k＝－2 5. (2)因为 x＞0，f(x)＝ 2x x2＋6 ＝ 2 x＋6 x ≤ 2 2 6＝ 6 6 ，当且仅当 x＝ 6时取等号. 由已知 f(x)≤t 对任意 x＞0 恒成立， 故 t≥ 6 6 ，即 t 的取值范围是[ 6 6 ，＋∞). 11.(2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放 广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收 视人次如下表所示： 连续剧播放 时长(分钟) 广告播放 时长(分钟) 收视人次(万) 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播 放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍. 分别用 x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数. (1)用 x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解　(1)由已知，x，y 满足的数学关系式为{70x＋60y ≤ 600， 5x＋5y ≥ 30， x ≤ 2y， x ≥ 0， y ≥ 0， 即{7x＋6y ≤ 60， x＋y ≥ 6， x－2y ≤ 0， x ≥ 0， y ≥ 0， 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分： (2)设总收视人次为 z 万，则目标函数为 z＝60x＋25y. 考虑 z＝60x＋25y，将它变形为 y＝－12 5 x＋ z 25，这是斜率为－12 5 ，随 z 变化的一 族平行直线， z 25为直线在 y 轴上的截距，当 z 25取得最大值时，z 的值最大. 又因为 x，y 满足约束条件，所以由图 2 可知，当直线 z＝60x＋25y 经过可行域 上的点 M 时，截距 z 25最大，即 z 最大. 解方程组{7x＋6y＝60， x－2y＝0， 得点 M 的坐标为(6，3). 所以，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多.