【数学】2021届一轮复习人教A版内切球、外接球问题学案 3页

处理球的“内切”“外接”问题 一、球与棱柱的组合体问题：‎ ‎1正方体的内切球：‎ 设正方体的棱长为，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。‎ ‎（1）截面图为正方形的内切圆，得；‎ ‎（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。‎ 图3‎ 图4‎ 图5‎ （3） 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。‎ ‎2.在球面上有四个点、、、.如果、、两两互相垂直，且,求这个球的表面积是______.‎ ‎【构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题 正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。】‎ ‎3.已知底面边长为正三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，求球与球的体积之比与表面积之比。‎ 分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。‎ 图6‎ 解：如图6，由题意得两球心、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为，则，正三棱柱的高为，由中，得 ‎，‎ ‎，‎ 图1‎ 二 棱锥的内切、外接球问题 ‎4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ ‎ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。‎ 解：如图1所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为．由图形的对称性知，点也是外接球的球心．设内切球半径为，外接球半径为．‎ 在中，，即，得，得 ‎【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 ( 为正四面体的高)，且外接球的半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。‎ ‎5.正三棱锥，底面边长为3，侧棱长为2，则其外接球和内切球的半径是多少 ‎6. 正四棱锥，底面边长为2，侧棱长为3，则其外接球和内切球的半径是多少 练习：‎ ‎1.（球内接正四面体问题）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，‎ 则此球的表面积为 ‎ ‎2. （球内接长方体问题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 。‎ ‎3．设是球面上的四点,且两两互相垂直,若,‎ 则球心到截面的距离是 .‎ ‎4.（球内接正三棱锥问题）在正三棱锥中，侧棱，侧棱，‎ 则此正三棱锥的外接球的表面积为 ‎ ‎5.（球内接棱柱问题） 若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，‎ 则此球的体积为 ．‎ ‎6.（正三棱柱内切球、外接球问题）一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的6个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为 。‎ ‎7.（球内接正四棱锥问题）半径为 的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥．则四棱锥的体积为 ． ‎ ‎8.（正三棱锥球内切问题） 正三棱锥的高为3，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．则球的表面积与体积分别为 ． ‎ ‎9. 三棱锥的两条棱,其余各棱长均为，求三棱锥的内切球半径.‎ 说明：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径．这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决．‎ ‎1 ；2 ；3 ；4 ；5 ；6 ；7 ；8 ‎ ‎9 ‎