吉林省白城市洮北区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题 18页

白城一中 2019-2020 学年度下学期期期中考试 高二数学（理） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求。） 1.抛物线 的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 即 , ,焦点在 轴负半轴上，所以焦点坐标为 . 故选 C. 2.下列命题中为真命题的是(　　) A. 命题“若 ，则 ”的逆命题 B. 命题“ ，则 ”的否命题 C. 命题“若 ，则 ”的否命题 D. 命题“若 ，则 ”的逆否命题 【答案】A 【解析】 命题“若 ,则 ”的逆命题为“若 ,则 ” ，所以为真 命 题 ； 命 题 “ 若 , 则 ” 的 否 命 题 为 “ 若 , 则 ”，因 为 -2 , 但 ，所以为假命题；命题“若 ,则 ”的否命题为“若 ,则 ”，因为当 时 ，所以为假命题；命题“若 ,则 ” 为假命题，所以其逆否命题为假命题，因此选 A 3.已知直线 l 与平面 α 垂直，直线 l 的一个方向向量为 ＝(1，－3，z)，向量 ＝(3，－ 2,1)与平面 α 平行，则 z 等于（ ） A. 3 B. 6 C. －9 D. 9 21 2y x= − 1(0, )8 1( )8 ,0− 1(0, )2 − 1( ,0)2 − 21 2y x= − 2 2yx = − 1p = y 10, 2  −   x y> x y> 1x > 2 1x > 1x = 2 2 0x x+ − = 2 0x > 1x > x y> x y> x y> x y> x y y> ≥因为 1x > 2 1x > 1x ≤ 2 1x ≤ 1≤ ( )22 1− > 1x = 2 2 0x x+ − = 1x ≠ 2 2 0x x+ − ≠ 2x = − 2 2 0x x+ − = 2 0x > 1x > u v 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得 ，可得 ，即可得出 ． 【详解】由题意可得 ， ， 解得 ． 故选： ． 【点睛】本题考查了线面位置关系、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题． 4.已知 ，那么命题 的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解 : p：x2－x<0 的充要条件为 0 > 1 4 2 0x y± = 2 0x y± = 3 0x y± = 【答案】C 【解析】 试题分析：因为双曲线 一个焦点到一条渐近线的距离为 所以 因 此 因 为 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 所以该双曲线的渐近线方程是 . 考点：双曲线的渐近线方程 7.过点 P(2,2)作抛物线 的弦 AB,恰好被 P 平分，则弦 AB 所在的直线方程是（ ） A. x-y=0 B. 2x-y-2=0 C. x+y-4=0 D. x+2y-6=0 【答案】A 【解析】 【分析】 先设出直线方程，再联立直线方程与抛物线方程整理可得 ， 的横坐标与直线的斜率之间 的关系式，结合弦 恰好是以 为中点，以及中点坐标公式即可求出直线的斜率，进而求出 直线方程． 【详解】由题得直线存在斜率， 设 ， ， ， ，弦 所在直线方程为： ， 即 ， 联立 ，消去 整理得 ． 不满足题意， 当 时， 由题得 且 ， 弦 恰好是以 为中点， ． 的 3 0x y± = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > ,b 2 , 2 .4 cb c b= = 3 .a b= 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > ,by xa = ± 3 0x y± = 2y 4x= A B AB P 1(A x 1)y 2(B x 2 )y AB (2 2)y k x− = − 2 2y kx k= + − 2 2 2 4 y kx k y x = + −  = y 2 2 2[2 (2 2 ) 4] (2 2 ) 0k x k k x k+ − − + − = 0k = 0k ≠ 2 2 2[2 (2 2 ) 4] 4 (2 2 ) 0k k k k∆ = − − − × − > 1 2 2 2 (2 2 ) 4k kx x k − −+ = −  AB P 2 2 (2 2 ) 4 4k k k − −∴− = 解得 ．满足 所以直线方程为 ， 故选： ． 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键在于利用中点坐标公式 以及韦达定理得到关于直线的斜率的等式，是中档题． 8.直三棱柱 ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E 为 BB′的中点，异面直线 CE 与 所成角的余弦值是（ ） A. B. C. - D. 【答案】D 【解析】 【分析】 以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求 出异面直线 与 所成角的余弦值． 【详解】直三棱柱 中， ， ， 为 的中点． 以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系， 设 ，则 ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，0， ， 设异面直线 与 所成角为 ， 则 ． 异面直线 与 所成角的余弦值为 ． 故选： ． 1k = 2 2 2[2 (2 2 ) 4] 4 (2 2 ) 0k k k k∆ = − − − × − > y x= A C A′ 5 5 5 5 − 10 10 10 10 C CA x CB y CC′ z CE C A′ ABC A B C− ′ ′ ′ AC BC AA= = ′ 90ACB∠ = ° E BB′ C CA x CB y CC′ z 2AC BC AA= = ′ = (0C 0) (0E 1) (0C′ 2) (2A 0) (0CE = 1) (2C A′ = 2)− CE C A′ θ | | 2 10cos 10| | | | 5 8 CE C A CE C A θ ′= = = ′       ∴ CE C A′ 10 10 D 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9.已知双曲线 (a>0，b>0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的直线 l 与双 曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ） A. B. (1,2), C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值 小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围． 【详解】已知双曲线 的右焦点为 ， 若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ， ，离心率 ， ， 故选： ． 【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件． 10.在椭圆 上有一点 P，F1、F2 是椭圆的左、右焦点，△F1PF2 为直角三角形，这样 2 2 2 2 1x y a b − = [2, )+∞ (2, )+∞ (1,2] F 3 π 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > F F 3 π b a ∴ 3b a 2 2 2 2 4a be a +=  2e∴  A 2 2 14 2 x y+ = 的点 P 有（ ） A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个 【答案】C 【解析】 【分析】 由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点 对 、 张开的角 最大，可得 ．当 轴或 轴时，也满足题意．即可得出． 【详解】由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点 对 、 张开的角 最大， ， ， ，此时 ．这样的点 P 有两个； 当 轴或 轴时，也满足题意．这样的点 P 有 4 个； 因此△ 为直角三角形，则这样的点 有 6 个． 故选：C． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题． 11.设 F1，F2 是双曲线 的两个焦点，P 在双曲线上，当△F1PF2 的面积为 时， 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 求得双曲线的焦点坐标，利用△ 的面积为 ，确定 的坐标，运用两点的距离公式， 即可求得结论． 【详解】双曲线 的两个焦点坐标为 ， 设 的坐标为 ，则 △ 的面积为 ， (0, 2)iB ± 1F 2F θ 90θ = ° 1PF x⊥ 2PF x⊥ (0, 2)iB ± 1F 2F θ 2b = 2a = 2c = 90θ = ° 1PF x⊥ 2PF x⊥ 1 2F PF P 2 2 13 x y− = 3 1 2PF PF 1 2F PF 3 P 2 2 13 x y− = 1( 2,0)F − 2 (2,0)F P ( , )x y  1 2F PF 3 ， ，代入双曲线方程解得 ，不妨取 ， ， ， 故选： ． 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查两点的距离公式，确定 的坐标是关键，是中档 题． 12.椭圆 C： （a＞b＞0）的左右焦点为 F1，F2，过 F2 作 x 轴的垂线与 C 交于 A，B 两点，F1A 与 y 轴相交于点 D，若 BD⊥F1A，则椭圆 C 的离心率等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可得 ， 的坐标，且知点 为 的中点，再由 ，利用斜率之积等于 列式求解． 【详解】由题意可得， ， ， 则点 为 的中点， ， 由 ，得 ， 即 ，整理得 ， ， ∴ 解得 ． 故选： ． ∴ 1 4 | | 32 y× × = 3| | 2y∴ = 21| | 2x = 21( 2P 3)2 2 2 2 2 1 2 21 3 21 3| || | ( 2) ( ) ( 2) ( ) 10 2 21 10 2 21 42 2 2 2PF PF∴ = + + − + = + − =  C P 2 2 2 2 1x y a b + = 1 3 3 1 2 3 3 A B D 1F A 1BD F A⊥ 1− 2 ( , )bA c a 2 ( , )bB c a − D 1F A 2 (0, )2 bD a ∴ 1BD F A⊥ 1 1BD F Ak k = − 2 2 2 2 12 b b b a a a c c − − = − 23 2b ac= ∴ 2 23( ) 2a c ac− = 23 +2 3 0e e − = 3 3e = D 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，考查两直线垂直与斜率的关系，是中档题． 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 13.已知点 是抛物线 上的一个动点，则 到点 的距离与 到该抛物线准线的 距离之和的最小值为__________． 【答案】 . 【解析】 分析：先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得 ，再求出 的值即可. 详解：依题设 P 在抛物线准线的投影为 ，抛物线的焦点为 F，则 ， 依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为 ， 则点 P 到点 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和， . 故答案为： . 点睛：本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数 形结合等数学思想. 14.命题“∃x0∈R, ”为假命题，则实数 a 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题得“ x0∈R, ”为真命题，根据二次函数的图象和性质得到关于 的 不等式，解不等式即得解. 【详解】由题得“ x0∈R, ”为真命题, 所以 ， P 2 2y x= P ( )0,2 P 17 2 d PF PA AF= + ≥ | |AF 'P 1 ,02F      PP PF′ = ( )0,2A 2 21 1722 2d PF PA AF  = + ≥ = + =   17 2 2 0 04 1 0− + 由 整理得 3x2-10x+3=0，所以 x1=3，x2= ，（x1＞x2） ∴由抛物线的定义知 = = ， 故答案为 3。 考点：本题主要考查抛物线的定义，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系。 点评：中档题，涉及直线与抛物线的位置关系，由于曲线方程已确定，所以通过解方程组， 得到点的坐标，利用抛物线的定义，得到线段长度得解。 三、解答题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17.设命题 p：实数 x 满足 ，其中 ；命题 q：实数 x 满足 若 ，且 为真，求实数 x 的取值范围． 若 是 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 若 ，分别求出 p，q 成立的等价条件，利用 为真，求实数 x 的取值范围； 利用 是 的充分不必要条件，即 q 是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 【详解】由 得 ，其中 ， 得 ， ，则 p： ， ． 由 解得 ． 即 q： ． 若 ，则 p： ， 若 为真，则 p，q 同时为真， 1 3 1 2 1 1 x x + + 3 1 31 13 + = + 2 2x 4ax 3a 0− + < a 0> x 3 0x 2 − ≤− ( )1 a 1= p q∧ ( )2 p¬ q¬ ( )2,3 1 2a< ≤ ( )1 1a = p q∧ ( )2 p￢ q￢ 2 2x 4ax 3a 0− + < ( )( )x a x 3a 0− − < a 0> a x 3a< < a 0> a x 3a< < a 0> x 3 0x 2 − ≤− 2 x 3< ≤ 2 x 3< ≤ ( )1 a 1= 1 x 3< < p q∧ 即 ，解得 ， 实数 x 的取值范围 ． 若 是 的充分不必要条件，即 q 是 p 的充分不必要条件， ，即 ， 解得 ． 【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将 是 的充分不必要条件，转化为 q 是 p 的充分不必要条件是解决本题的关键． 18.已知双曲线与椭圆 有相同焦点，且经过点(4 6)． (1)求双曲线方程； (2)若双曲线的左，右焦点分别是 F1，F2，试问在双曲线上是否存在点 P，使得|PF1|＝5|PF2|. 请说明理由. 【答案】（1） ；（2）不存在 【解析】 【分析】 （1）由题得 ，解方程组即得双曲线方程；（2）假设在双曲线上存在点 P，使 得|PF1|＝5|PF2|，则点 P 只能在右支上．先求出|PF1|＝5，|PF2|＝1，分析得到此种情况不存 在. 【详解】(1)椭圆 的焦点在 x 轴上，且 ，即焦点为(±4,0)， 于是可设双曲线方程为 ， 则有 解得 a2＝4，b2＝12， , { 2 x 3 1 x 3 < ≤ < < 2 x 3< < ∴ ( )2,3 ( )2 p￢ q￢ { 3 3 2 a a > ∴ ≤ { 1 2 a a > ≤ 1 2a< ≤ p￢ q￢ 2 2 125 9 x y+ = 2 2 14 12 x y− = 2 2 2 2 16 16 36 1 a b a b  + = − = 2 2 125 9 x y+ = 25 9 4= − =c 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 2 2 16 16 36 1 a b a b  + = − = 故双曲线方程为 . (2)假设在双曲线上存在点 P，使得|PF1|＝5|PF2|，则点 P 只能在右支上．由于在双曲线 中，由双曲线定义知，|PF1|-5|PF2|＝2a＝4，于是得|PF1|＝5，|PF2|＝1. 但当点 P 在双曲线右支上时，点 P 到左焦点 F1 的距离的最小值应为 a＋c＝6， 故不可能有|PF1|＝5，即在双曲线上不存在点 P，使得|PF1|＝5|PF2| 【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程的求法，考查双曲线的定义和简单几何性质，意在 考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19.已知定点 A(a,0)，其中 0 5 33 a< < 9 273 5 5a< < 2 min| | 6 9 1PA a a= − + = 20. 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥平面 ABCD,PC=2,在四边形 ABCD 中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上,PB=4PM,PB 与平面 ABCD 成 30°的角. 求证:(1)CM∥平面 PAD. (2)平面 PAB⊥平面 PAD. 【答案】见解析 【解析】 建立空间直角坐标系.(1)可证明 与平面 PAD 法向量垂直;也可将 分解为平面 PAD 内的 两个向量的线性组合,利用共面向量定理证明. (2)取 AP 中点 E,利用向量证明 BE⊥平面 PAD 即可. 【证明】由题意可知: 以 C 为坐标原点,CB 所在直线为 x 轴,CD 所在直线为 y 轴,CP 所在直线为 z 轴建立如图所示的 空间直角坐标系 Cxyz. ∵PC⊥平面 ABCD, ∴∠PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∴∠PBC=30°. ∵PC=2,∴BC=2 ,PB=4. ∴D(0,1,0),B(2 ,0,0), A(2 ,4,0),P(0,0,2),M( ,0, ), ∴ =(0,-1,2), =(2 ,3,0), =( ,0, ). 的 (1)方法一:令 n=(x,y,z)为平面 PAD 的一个法向量,则 即 ∴ 令 y=2,得 n=(- ,2,1). ∵n· =- × +2×0+1× =0, ∴n⊥ .又 CM⊄平面 PAD, ∴CM∥平面 PAD. 方法二:∵ =(0,1,-2), =(2 ,4,-2), 假设 ∥平面 PAD, 则存在 x0,y0 使 =x0 +y0 ,则 方程组的解为 ∴ =- + . 由共面向量定理知 与 , 共面,故假设成立. 又∵CM⊄平面 PAD ∴CM∥平面 PAD. (2)取 AP 的中点 E,连接 BE,则 E( ,2,1), =(- ,2,1). 易知 PB=AB,∴BE⊥PA. 又∵ · =(- ,2,1)·(2 ,3,0)=0, ∴ ⊥ ,∴BE⊥DA.又 PA∩DA=A, ∴BE⊥平面 PAD. 又∵BE⊂平面 PAB, ∴平面 PAB⊥平面 PAD. , DP· =0,{ DA· =0, n n   DP· =0,{ DA· =0, n n   21.已知动圆 恒过点 ，且与直线 ： 相切. （1）求动圆圆心 的轨迹 的方程； （2）探究在曲线 上，是否存在异于原点的两点 ， ，当 时， 直线 恒过定点？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）轨迹方程为 ；（2）直线 过定点 . 【解析】 (1)因为动圆 M,过点 F 且与直线 相切, 所以圆心 M 到 F 的距离等于到直线 的距 离.根据抛物线的定义可以确定点 M 的轨迹是抛物线，易求其方程. （II）本小题属于存在性命题，先假设存在 A,B 在 上, 直线 AB 的方程: ,即 AB 的方程为 ,然后根据 ,∴AB 的方程为 ,从而可确定其所过定点. 解：(1) 因为动圆 M,过点 F 且与直线 相切, 所以圆心 M 到 F 的距离等于到直线 的距离. …………2 分 所以,点 M 的轨迹是以 F 为焦点, 为准线的抛物线,且 , , ……4 分 所以所求的轨迹方程为 ……………6 分 (2) 假设存在 A,B 在 上, …………7 分 ∴直线 AB 的方程: , …………9 分 即 AB 的方程为: , …………10 分 即 …………11 分 又∵ ∴AB 的方程为 ，…………12 分 令 ,得 ，所以,无论 为何值,直线 AB 过定点(4,0) …………14 分 M (1,0)F l 1x = − M C C 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 16y y = − AB 2 4y x= AB (4,0) (1,0) : 1l x = − l 2 4y x= 2 1 1 1 2 1 ( )y yy y x xx x −− = −− 2 2 1 2 1 1 2 1( ) 4y y y y y y x y+ − − = − 1 2 16y y = − 1 2( ) (16 4 ) 0y y y x+ + − = (1,0) : 1l x = − l l 12 p = 2p = 2 4y x= 2 4y x= 2 1 1 1 2 1 ( )y yy y x xx x −− = −− 2 1 1 1 2 4 ( )4 yy y xy y − = −+ 2 2 1 2 1 1 2 1( ) 4y y y y y y x y+ − − = − 1 2 16y y = − 1 2( ) (16 4 ) 0y y y x+ + − = 0y = 4x = 1 2,y y 22.已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 P ，过它的左、右焦点 分别作直线 l1 和 12.l1 交椭圆于 A.两点，l2 交椭圆于 C,D 两点， 且 (1)求椭圆的标准方程. (2)求四边形 ACBD 的面积 S 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）由题得关于 的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程;（2）当 与 中有一条直 线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为 0，求出此时四边形的面积；若 与 的斜率都存在， 设 的斜率为 ，则 的斜率为 ．求出 ，再利 用基本不等式求 S 的取值范围. 【详解】（1）由 得 ，所以 ， 将点 P 的坐标代入椭圆方程得 ， 故所求椭圆方程为 . （2）当 与 中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为 0， 此时四边形的面积为 ， 若 与 的斜率都存在，设 的斜率为 ，则 的斜率为 ． 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2 31, 2      1 2,F F 1 2l l⊥ 2 2 14 3 x y+ = 288 ,649S  ∈   , ,a b c 1l 21 1l 21 1l k 21 1 k − 1 | | | |2S AB CD= ⋅ ( ) ( ) ( ) 22 2 2 72 1 4 3 3 4 k k k + = + ⋅ + 1 2 c a = 2a c= 2 2 2 24 , 3= =a c b c 2 1c = 2 2 14 3 x y+ = 1l 21 6S = 1l 21 1l k 21 1 k − 直线 的方程为 ，设 ， ，联立 ， 消去 整理得， ， ， ， 同理得 ， 所以 ， 令 ， ， (当且仅当 t=1 时取到等号) 综上可知，四边形 面积的 . 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查利用基本不等式求最值，考查直线和椭圆 的位置关系和面积的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 1l ( 1)y k x= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 ( 1) 14 3 y k x x y = + + = y ( )2 2 2 24 3 8 4 12 0+k x k x k+ + − = 2 1 2 2 8- 4 3 kx x k + = + 2 1 2 2 4 12 4 3 −⋅ = + kx x k 2 1 2 2 12 1 4 3 +− = + kx x k ( )2 2 1 2 2 12 1 | | 1 4 3 + = + − = + k AB k x x k ( )2 2 12 1 | | 3 4 + = + k CD k ( ) ( ) ( ) 22 2 2 72 11 | | | |2 4 3 3 4 + = ⋅ = + ⋅ + k S AB CD k k 2 (0, )= ∈ +∞k t ( )22 2 6 12 25 12 672(1 ) 6 6 2886 612(4 3) (3 4) 12 25 12 49 4912 25 + + −+= = = − ≥ − =+ ⋅ + + + + + t t ttS t t t t t t ACBD 288 ,649S  ∈  