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- 2021-06-16 发布
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第三章 导数及其应用
____第18课__导数的概念与几何意义____
1. 了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,瞬时加速度,光滑曲线切线的斜率等);了解导函数的概念.
2. 了解平均变化率,瞬时变化率与导数的关系,理解函数在一点处导数的定义和导数的几何意义.
1. 阅读:选修11第67~79页.
2. 解悟:①理解教材第68页的例3和第69页的例4,并能说明例3中区间的选择对平均变化率的影响,例4中一次函数在给定区间上的平均变化率有什么特点?②教材第71页的例1你会做吗?如果将问题变为:已知f(x)=x2,求曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率,又该怎么求?
3. 践习:在教材空白处,完成教材第70页练习第5题,第73页练习第5题,第76页练习第4题,第77~78页习题第4、11题.
基础诊断
1. 如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=__2__.
解析:由图象可知,f(5)=-5+8=3,f′(5)为函数y=f(x)的图象在点P处的切线的斜率,所以f′(5)=-1,所以f(5)+f′(5)=3-1=2.
2. 曲线y=在点处的切线方程为__x-4y+1=0__.
解析:因为y=,所以y′=,所以当x=1时,y′=,所以在点处的切线方程为y-=(x-1),即x-4y+1=0,故所求的切线方程为x-4y+1=0.
3. 曲线y=x2上切线倾斜角为的点的坐标为____.
解析:因为y=x2,所以y′=2x.因为曲线y=x2上切线的倾斜角为,所以切线的斜率为1,所以2x=1,即x=,y=x2=,所以所求点的坐标为.
4. (1) 曲线y=x+sinx在点(0,0)处的切线方程是__2x-y=0__;
解析:由题意可得点(0,0)在曲线y=x+sinx上,y′=1+cosx,当x=0时,y′=1+cos0=2,所以过点(0,0)的切线的斜率为2,所以切线方程为y-0=2(x-0),即2x-y=0.
(2) 已知函数f(x)=x3-3x,若过点A(0,16)且与曲线y=f(x)相切的切线方程为y=ax+16,则实数a的值是__9__.
解析:由题意知,点A(0,16)不在函数f(x)=x3-3x的图象上,所以设切点的坐标为(x0,x-3x0).因为f′(x)=3x2-3,所以f(x)=x3-2x在点(x0,x-3x0)处的切线方程为y-(x-3x0)=(3x-3)(x-x0),把点A(0,16)代入得16-x+3x0=(3x-3)(0-x0),解得x0=-2,所以所求的切线方程为y=9x+16,所以a的值为9.
范例导航
考向❶ 会利用定义法求导数
例1 已知函数y=f(x)=2x2+1.
(1) 求函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=1,Δx=时,平均变化率的值;
(2) 利用导数的定义求函数y=f(x)在x=1处的导数.
解析:(1) 函数y=f(x)=2x2+1在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为==4x0+2Δx,
当x0=1,Δx=时,平均变化率的值为5.
(2) x=1时,平均变化率为4+2Δx,则当Δx→0时,4+2Δx→4,所以函数y=f(x)在x=1处的导数为4.
利用导数的定义求函数f(x)=在x=1处的导数.
解析:由题意得,====
-.
当Δx无限趋近于0时,1+Δx无限趋近于1,
所以函数f(x)在x=1处的导数为-.
考向❷ 导数几何意义的综合应用
例2 已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).
(1) 若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求实数a,b的值;
(2) 若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求实数a的取值范围.
解析: 根据题意可求得f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).
(1) 由题意得
解得b=0,a=-3或a=1.
(2) 因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程f′(x)=3x2+2(1-a)x-a·(a+2)=0有两个不相等的实数根,
所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,
即4a2+4a+1>0,
故a≠-,即实数a的取值范围为(-∞,-)∪(-,+∞).
若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是__(-∞,0)__.
解析:因为f′(x)=2ax+(x>0),又因为曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线,所以f′(x)=2ax+=0有正解,即a=-.因为-<0,所以a<0,故实数a的取值范围是(-∞,0).
考向❸ 求曲线的切线方程问题
例3 已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.
(1) 求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2) 求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.
解析:(1) 因为f′(x)=3x2-8x+5,
所以f′(2)=1.又f(2)=-2,
所以曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y+2=x-2,即x-y-4=0.
(2) 设切点坐标为(x0,x-4x+5x0-4),
因为f′(x0)=3x-8x0+5,
所以切线方程为y-(-2)=(3x-8x0+5)(x-2).
又切线过点(x0,x-4x+5x0-4),
所以x-4x+5x0-4-(-2)=(3x-8x0+5)·(x0-2),解得x0=2或x0=1,
所以经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.
自测反馈
1. 设P为函数f(x)=图象上的任意一点,且f(x)在点P处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围为____.
解析:由题意得,f′(x)=(3x2+)≥,当且仅当3x2=时取等号,所以过函数f(x)=图象上的任意一点P的切线的斜率k≥,即tanα≥,≤α<,所以α的取值范围为.
2. 已知P,Q为抛物线x2=2y上的两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过点P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为__-4__.
解析:由题意得,点P(4,8),Q(-2,2),因为x2=2y,所以y=,所以y′=x,所以切线AP的方程为y-8=4(x-4),即y=4x-8,切线AQ的方程为y-2=-2(x+2),即y=-2x-2,联立方程组解得故点A的纵坐标为-4.
3. 若物体位移s(m)关于时间t(s)的关系式为s(t)=3t2-2t,则当t=3 s时,该物体的速度为__16__m/s,加速度为__6__m/s2.
解析:由题意得,s′(t)=6t-2,当t=3时,s′=3×6-2=16,所以当t=3s时,该物体的速度为16m/s;s″(t)=6,所以加速度为6m/s2.
4. 若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,则a=__4__.
解析:设切点为(x0,3x0+1),由题意得,y′=3ax2,所以3ax=3,即a=.又因为点(x0,3x0+1)在曲线y=ax3上,所以3x0+1=ax,即3x0+1=x0,解得x0=-,所以a=4.
1. 导数的几何意义:导数f′(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率.
2. 函数在某点处(或过某点)的切线,与该点的位置有关,曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点,可以有多个,或者无穷多,求切线问题的突破口是找切点.
3. 你还有哪些体悟,写下来: