【数学】江苏省泰州市2020届高三第二次模拟考试（5月） 16页

江苏省泰州市2020届高三第二次模拟考试（5月）‎ 参考公式：‎ 锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为高．‎ 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1. 已知集合A＝{1，2}，B＝{2，4，8}，则A∪B＝________．‎ ‎2. 若实数x，y满足x＋yi＝－1＋(x－y)i(i是虚数单位)，则xy＝________．‎ ‎3. 如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频数为 ‎________．‎ ‎　　　　　　　　　　‎ ‎4. 根据如图所示的伪代码，可得输出S的值为________．‎ ‎　I←1‎ While I<5‎ ‎　I←I＋2‎ ‎　S←I＋3‎ End While Print S ‎5. 若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则该双曲线的离心率为________．‎ ‎6. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x，y，则|x－y|＝1的概率是________．‎ ‎7. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离是它到y轴距离的3倍，则点P的横坐标为________．‎ ‎8.‎ ‎ 我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是________里．‎ ‎9. 若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，f(1)＝1，则f(6)＋f(7)＋f(8) 的值为 ‎________．‎ ‎10. 将半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面．若圆锥的体积为9π，则R＝________．‎ ‎11. 若函数f(x)＝只有一个零点，则实数a的取值范围是________．‎ ‎12. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在圆O：x2＋y2＝4上，且满足x1x2＋y1y2＝－2，则x1＋x2＋y1＋y2的最小值是________．‎ ‎13. 在锐角三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．若＝3，＝λ，且·＝2·＝6，||＝1，则实数λ的值为________．‎ ‎14. 在△ABC中，点D在边BC上，且满足AD＝BD，3tan2B－2tan A＋3＝0，则的取值范围是________．‎ 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15. (本小题满分14分)‎ 如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AB＝AC，点D，E，F分別是AB，AC，BC的中点．求证：‎ ‎(1) BC∥平面PDE；‎ ‎(2) 平面PAF⊥平面PDE.‎ ‎16. (本小题满分14分)‎ 已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x－，x∈R.‎ ‎(1) 求函数f(x)的最大值，并写出相应的x的取值集合；‎ ‎(2) 若f(α)＝，α∈(－，)，求sin 2α的值．‎ ‎17. (本小题满分14分)‎ 某温泉度假村拟以泉眼C为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图，M，N是圆C上关于直径AB对称的两点，以A为圆心，AC为半径的圆与圆C的弦AM，AN分别交于点D，E，其中四边形AEBD为温泉区，Ⅰ、Ⅱ区域为池外休息区，Ⅲ、Ⅳ区域为池内休息区，设∠MAB＝θ.‎ ‎(1) 当θ＝时，求池内休息区的总面积(Ⅲ和Ⅳ两个部分面积的和)；‎ ‎(2) 当池内休息区的总面积最大时，求AM的长．‎ ‎18. (本小题满分16分)‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，过点A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B，以AB为边作矩形ABCD，其中直线CD过原点O.当点B为椭圆M的上顶点时，△AOB的面积为b，且AB＝b.‎ ‎(1) 求椭圆M的标准方程；‎ ‎(2) 求矩形ABCD的面积S的最大值；‎ ‎(3) 矩形ABCD能否为正方形？请说明理由．‎ ‎19. (本小题满分16分)‎ 定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ函数”．‎ ‎(1) 判断函数f(x)＝－1是否为“YZ函数”，并说明理由；‎ ‎(2) 若函数g(x)＝ln x－mx(m∈R)是“YZ函数”，求实数m的取值范围；‎ ‎(3) 已知h(x)＝x3＋ax2＋bx－b，x∈(0，＋∞)，a，b∈R，求证：当a≤－2，且0＜b＜1时，函数h(x)是“YZ函数”．‎ ‎20. (本小题满分16分)‎ 已知数列{an}，{bn}，{cn}满足bn＝an＋2－an，cn＝2an＋1＋an.‎ ‎(1) 若数列{an}是等比数列，试判断数列{cn}是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎(2) 若an恰好是一个等差数列的前n项和，求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎(3) 若数列{bn}是各项均为正数的等比数列，数列{cn}是等差数列，求证：数列{an}是等差数列．‎ ‎2020届高三模拟考试试卷(十七)‎ 数学附加题 ‎(满分40分，考试时间30分钟)‎ ‎21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A. (选修42：矩阵与变换)‎ 已知列向量在矩阵M＝对应的变换下得到列向量，求M－1.‎ B. (选修44：坐标系与参数方程)‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝4，点P为曲线C上任一点，求点P到直线l距离的最大值．‎ C. (选修45：不等式选讲)‎ 已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，＋＋＝3，求证：a＋b＋c≤3.‎ ‎【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22. 如图，在多面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是等腰直角三角形，且∠ADE＝，EF⊥平面ADE，EF＝1.‎ ‎(1) 求异面直线AE和DF所成角的余弦值；‎ ‎(2) 求二面角BDFC的余弦值．‎ ‎23. 给定n(n≥3，n∈N*)个不同的数1，2，3，…，n，它的某一个排列P的前k(k∈N*，1≤k≤n)项和为Sk，该排列P中满足2Sk≤Sn的k的最大值为kP.记这n个不同数的所有排列对应的kP之和为Tn.‎ ‎(1) 若n＝3，求T3；‎ ‎(2) 若n＝4l＋1，l∈N*，‎ ‎①求证：对任意的排列P，都不存在k(k∈N*，1≤k≤n)使得2Sk＝Sn；‎ ‎②求Tn(用n表示)．‎ 参考答案 ‎1. {1，2，4，8}　2. 　3. 80　4. 8　5. 　6. 　7. 　8. 192　9. －1　10. 6‎ ‎11. (－∞，－1]∪(0，1]　12. －2　13. 3　14. (1，2]‎ ‎15. 证明：(1) 在△ABC中，因为点D，E分别是AB，AC的中点，‎ 所以DE∥BC.(2分)‎ 因为BC⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，‎ 所以BC∥平面PDE.(6分)‎ ‎(2) 因为PA⊥平面ABC，DE⊂平面PDE，‎ 所以PA⊥DE.‎ 在△ABC中，因为AB＝AC，点F是BC的中点，‎ 所以AF⊥BC.(8分)‎ 因为DE∥BC，所以DE⊥AF.‎ 因为AF∩PA＝A，AF⊂平面PAF，PA⊂平面PAF，‎ 所以DE⊥平面PAF.(12分)‎ 因为DE⊂平面PDE，所以平面PAF⊥平面PDE.(14分)‎ ‎16. 解：(1) 因为f(x)＝sin2x＋sin xcos x－，‎ 所以f(x)＝＋sin 2x－＝(sin 2x－cos 2x)(2分)‎ ‎＝(sin 2xcos －cos 2xsin )＝sin(2x－)．(4分)‎ 当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取最大值，‎ 所以f(x)的最大值为，此时x的取值集合为.(7分)‎ ‎(2) 因为f(α)＝，所以sin(2α－)＝，即sin(2α－)＝.‎ 因为α∈(－，)，所以2α－∈(－，)，‎ 则cos(2α－)＝＝＝，(10分)‎ 所以sin 2α＝sin[(2α－)＋]＝sin(2α－)cos＋cos(2α－)sin ‎＝×＋×＝.(14分)‎ ‎17. 解：(1) 在Rt△ABM中，因为AB＝24，θ＝，‎ 所以MB＝AM＝12，MD＝24cos －12＝12－12，‎ 所以池内休息区总面积S＝2×MB·DM＝12(12－12)＝144(2－)．(4分)‎ ‎(2) 在Rt△ABM中，因为AB＝24，∠MAB＝θ，‎ 所以MB＝24sin θ，AM＝24cos θ，MD＝24cos θ－12.‎ 由MB＝24sin θ>0，MD＝24cos θ－12>0得θ∈(0，)，(6分)‎ 则池内休息区总面积S＝2×MB·DM＝24sin θ(24cos θ－12)，θ∈(0，)．(9分)‎ 设f(θ)＝sin θ(2cos θ－1)，θ∈(0，)．‎ 因为f′(θ)＝cos θ(2cos θ－1)－2sin2θ＝4cos2θ－cos θ－2＝0⇒cos θ＝，‎ 又cos θ＝>，所以∃θ0∈(0，)，使得cos θ0＝，‎ 则当x∈(0，θ0)时，f′(θ)>0⇒f(θ)在(0，θ0)上单调递增；‎ 当x∈(θ0，)时，f′(θ)<0⇒f(θ)在(θ0，)上单调递减，‎ 即f(θ0)是极大值，也是最大值，所以f(θ)max＝f(θ0)，‎ 此时AM＝24cos θ0＝3＋3.(13分)‎ 答：(1) 池内休息区总面积为144(2－)m2；‎ ‎(2) 池内休息区总面积最大时AM的长为AM＝(3＋3)m.(14分)‎ ‎18. 解：(1) 由题意知解得a＝2，b＝c＝，‎ 所以椭圆M的标准方程为＋＝1.(4分)‎ ‎(2) 显然直线AB的斜率存在，设为k且k>0，‎ 则直线AB的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.‎ 联立得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，解得xB＝，yB＝，‎ 所以AB＝＝.‎ 直线CD的方程为y＝kx，即kx－y＝0，所以BC＝＝，‎ 所以矩形ABCD的面积S＝·＝＝≤＝2，‎ 所以当且仅当k＝时，矩形ABCD的面积S的最大值为2.(11分)‎ ‎(3) 若矩形ABCD为正方形，则AB＝BC，‎ 即＝，则2k3－2k2＋k－2＝0(k>0)．‎ 令f(k)＝2k3－2k2＋k－2(k>0)，‎ 因为f(1)＝－1<0，f(2)＝8>0，又f(k)＝2k3－2k2＋k－2(k>0)的图象不间断，‎ 所以f(k)＝2k3－2k2＋k－2(k>0)有零点，所以存在矩形ABCD为正方形．(16分)‎ ‎19. (1) 解：函数f(x)＝－1是“YZ函数”，理由如下：‎ 因为f(x)＝－1，则f′(x)＝，‎ 当x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0，‎ 所以f(x)＝－1的极大值f(1)＝－1<0，‎ 故函数f(x)＝－1是“YZ函数”．(4分)‎ ‎(2) 解：定义域为(0，＋∞), g′(x)＝－m，‎ 当m≤0时，g′(x)＝－m>0，函数单调递增，无极大值，不满足题意；‎ 当m>0时，当00，函数单调递增，‎ 当x>时，g′(x)＝－m<0，函数单调递减，‎ 所以g(x)的极大值为g()＝ln －m·＝－ln m－1.‎ 由题意知g()＝－ln m－1<0，解得m>.(10分)‎ ‎(3) 证明： h′(x)＝x2＋ax＋b，‎ 因为a≤－2，00，‎ 所以h′(x)＝x2＋ax＋b＝0有两个不等实根，设为x1，x2.‎ 因为所以x1>0，x2>0，不妨设00，则h(x)单调递增；‎ 当x1ak＋2＋…＋an　(ii)，‎ 考虑排列P的对应倒序排列P′：an，an－1，…，a1，‎ ‎(i)(ii)即an＋…＋ak＋2ak＋…＋a2＋a1.‎ 由题意知kP′＝n－k－1，则kP＋kP′＝n－1.(8分)‎ 又1，2，3，…，n，这n个不同数共有n！个不同的排列，可以构成个对应组合(P，P′)，‎ 且每组(P，P′)中kP＋kP′＝n－1，所以Tn＝(n－1)．(10分)‎