【数学】2018届一轮复习人教A版（理）9-6双曲线学案 14页

‎§9.6　双曲线 考纲展示►　‎ ‎1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．‎ ‎2．了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．‎ ‎3．理解数形结合的思想．‎ 考点1　双曲线的定义 双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的________等于常数(小于|F‎1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做________，两焦点间的距离叫做________．‎ 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝‎2a}，|F‎1F2|＝‎2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.‎ ‎(1)当________时，P点的轨迹是双曲线；‎ ‎(2)当________时，P点的轨迹是两条射线；‎ ‎(3)当________时，P点不存在．‎ 答案：距离的差的绝对值　双曲线的焦点　双曲线的焦距　(1)ac ‎(1)[教材习题改编]已知双曲线两个焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)．双曲线上一点P到F1，F2距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为________．‎ 答案：－＝1‎ 解析：由已知可知，双曲线的焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，∴b＝4，故所求方程为－＝1.‎ ‎(2)[教材习题改编]双曲线的方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为________．‎ 答案： 解析：将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，‎ ‎∴c＝，故右焦点坐标为.‎ 双曲线的定义：关注定义中的条件．‎ ‎(1)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之差的绝对值等于4，则动点P的轨迹是________．‎ 答案：两条射线 解析：因为||PA|－|PB||＝4＝|AB|，‎ 所以动点P的轨迹是以A，B为端点，且没有交点的两条射线．‎ ‎(2)动点P到点A(－4,0)的距离比到点B(4,0)的距离多6，则动点P的轨迹是________．‎ 答案：双曲线的右支，即－＝1(x≥3)‎ 解析：依题意有|PA|－|PB|＝6<8＝|AB|，‎ 所以动点P的轨迹是双曲线，但由|PA|－|PB|＝6知，‎ 动点P的轨迹是双曲线的右支，即－＝1(x≥3)．‎ ‎[典题1]　(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．‎ ‎[答案]　x2－＝1(x≤－1)‎ ‎[解析]　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.‎ 根据两圆外切的条件，‎ 得|MC1|－|AC1|＝|MA|，‎ ‎|MC2|－|BC2|＝|MB|，‎ 因为|MA|＝|MB|，‎ 所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，‎ 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，‎ 所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C‎1C2|.‎ 根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，‎ 其中a＝1，c＝3，则b2＝8.‎ 故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．‎ ‎(2)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．‎ ‎[答案]　9‎ ‎[解析]　如图所示，‎ 设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)．‎ 由双曲线的定义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，‎ 则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.‎ 由图可得，当A，P，E三点共线时，‎ ‎(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，‎ 从而|PF|＋|PA|的最小值为9.‎ ‎[点石成金]　双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝‎2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系．‎ 考点2　双曲线的标准方程与性质 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1‎ －＝1‎ ‎(a＞0，b＞0)‎ ‎(a＞0，b＞0)‎ 图形 性 质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈R y≤－a或 y≥a，x∈R 对称性 对称轴：________‎ 对称中心：________‎ 顶点 顶点坐标：A1______，‎ A2______‎ 顶点坐标：A1______，A2______‎ 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)‎ a，b，c 的关系 c2＝________‎ 实虚轴 线段A‎1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A‎1A2|＝________；‎ 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝________；‎ a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 答案：坐标轴　原点　(－a,0)　(a,0)　(0，－a)　(0，a)　a2＋b2　‎2a　2b ‎(1)[教材习题改编]若实数k满足00，b>0)．‎ 由已知可知＝，b＝，‎ 所以a2＝1，即所求方程为x2－＝1.‎ 当实轴在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．‎ 由已知可得b＝，＝，‎ 所以a2＝9，即所求方程为－＝1.‎ 求双曲线的标准方程：待定系数法．‎ 对称轴为坐标轴，经过点P(3,2)，Q(－6,7)的双曲线是________．‎ 答案：－＝1‎ 解析：由于不能确定双曲线的焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．‎ ‎∵所求双曲线经过P(3,2)，Q(－6,7)，‎ ‎∴解得A＝，B＝－.‎ 故所求双曲线方程为－＝1.‎ ‎[考情聚焦]　双曲线的标准方程和几何性质是每年高考命题的热点，尤其是渐近线与离心率问题，考查的力度比较大．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 求双曲线的标准方程 ‎[典题2]　(1)过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由双曲线方程知右顶点为(a,0)，‎ 设其中一条渐近线方程为y＝x，‎ 可得点A的坐标为(a，b)．‎ 设右焦点为F(c,0)，由已知可知c＝4，且|AF|＝4，即(c－a)2＋b2＝16，‎ 所以有(c－a)2＋b2＝c2，‎ 又c2＝a2＋b2，则c＝‎2a，即a＝＝2，‎ 所以b2＝c2－a2＝42－22＝12.‎ 故双曲线的方程为－＝1，故选A.‎ ‎(2)[2017·辽宁沈阳四校联考]设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是________．‎ ‎[答案]　－＝1‎ ‎[解析]　解法一：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，‎ 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ 根据定义知‎2a＝|－|＝4，‎ 故a＝2.又b2＝32－a2＝5，‎ 故所求双曲线的方程为－＝1.‎ 解法二：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)．‎ 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ 则a2＋b2＝9，‎ 又点(，4)在双曲线上，所以－＝1，‎ 解得a2＝4，b2＝5.‎ 故所求双曲线的方程为－＝1.‎ 解法三：设双曲线的方程为＋＝1(27<λ<36)，‎ 由于双曲线过点(，4)，故＋＝1，‎ 解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．‎ 故所求双曲线方程为－＝1.‎ ‎[点石成金]　求双曲线标准方程的一般方法 ‎(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程，并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．‎ ‎(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．‎ 角度二 已知离心率求渐近线方程 ‎[典题3]　若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x ‎[答案]　B ‎[解析]　在双曲线中离心率e＝＝ ＝，可得＝，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±x.‎ 角度三 已知渐近线求离心率 ‎[典题4]　[2017·苏北四市联考改编]已知双曲线的一条渐近线方程为2x－y＝0，则该双曲线的离心率为________．‎ ‎[答案]　或 ‎[解析]　根据双曲线的渐近线方程知＝2或＝2.则e＝＝或.‎ 角度四 由离心率或渐近线方程求双曲线方程 ‎[典题5]　下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)‎ A．x2－＝1 B.－y2＝1‎ C.－x2＝1 D．y2－＝1‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由双曲线焦点在y轴上，排除选项A，B，选项C中双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选C.‎ 角度五 利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围 ‎[典题6]　已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)‎ A．(1，) B．(1， ]‎ C．(，＋∞) D．[，＋∞)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得＞2，‎ ‎∴e＝＝ ＞＝.‎ 即双曲线离心率的取值范围为(，＋∞)．‎ ‎[点石成金]　解决有关渐近线与离心率关系问题的两个注意点 ‎(1)已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分|m|＝或|m|＝讨论．‎ ‎(2)注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用．‎ 考点3　直线与双曲线的位置关系 ‎[典题7]　若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)若|AB|＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值．‎ ‎[解]　(1)由得 故双曲线E的方程为x2－y2＝1.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①‎ ‎∵直线与双曲线右支交于A，B两点，‎ ‎∴ 即 ‎∴1＜k＜.‎ 故k的取值范围为(1，)．‎ ‎(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎∴|AB|＝· ‎＝2＝6，‎ 整理得28k4－55k2＋25＝0，‎ ‎∴k2＝或k2＝.‎ 又1＜k＜，∴k＝，‎ ‎∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.‎ 设C(x3，y3)，由＝m(＋)，‎ 得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(‎4m,‎8m)．‎ ‎∵点C是双曲线上一点，‎ ‎∴‎80m2‎－‎64m2‎＝1，得m＝±.‎ 故k＝，m＝±.‎ ‎[点石成金]　研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定.‎ 已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，求双曲线E的方程．‎ 解：设双曲线E的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ 由题意知c＝3，a2＋b2＝9，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 两式作差，得 ＝＝＝，‎ 又AB的斜率是＝1，‎ 所以将4b2＝‎5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5.‎ 所以双曲线E的标准方程是－＝1.‎ ‎[方法技巧]　1.双曲线标准方程的求法 ‎(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为－＝1(mn>0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，这种形式在解题时更简便；‎ ‎(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；‎ ‎(3)与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．‎ ‎2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“‎1”‎为“‎0”‎就得到两渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程．‎ ‎3．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．‎ ‎4．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.‎ ‎5．过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为‎4a＋2|AB|.‎ ‎[易错防范]　1.在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线还是双曲线的某一支．‎ ‎2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x.‎ ‎3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．‎ ‎4．要牢记在双曲线中c2＝a2＋b2，离心率e>1这两点是不同于椭圆的．‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)‎ A．(－1,3) B．(－1，)‎ C．(0,3) D．(0，)‎ 答案：A 解析：由题意，得(m2＋n)(‎3m2‎－n)>0，解得－m21)与双曲线C2：－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　)‎ A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1‎ C．m1 D．mn，又(e1e2)2＝·＝·＝＝1＋>1，所以e1e2>1.故选A.‎ ‎5．[2016·北京卷]双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a＝________.‎ 答案：2‎ 解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得＝1.又正方形OABC的边长为2，所以c＝2，所以a2＋b2＝c2＝(2)2，解得a＝2.‎ ‎6．[2016·山东卷]已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．‎ 答案：2‎ 解析： 如图，由题意不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，则在Rt△BMN中，‎ ‎|MN|＝‎2c＝2，‎ 故|BN|＝ ‎＝＝.‎ 由双曲线的定义可得‎2a＝|BN|－|BM|＝－＝1，而‎2c＝|MN|＝2，所以双曲线的离心率e＝＝2.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 求双曲线离心率的易错点 ‎[典例]　[2016·天津模拟]已知双曲线－＝1(mn>0)的一条渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率为________．‎ ‎[易错分析]　(1)未考虑m，n的取值，易漏掉焦点在另一坐标轴上的情况；‎ ‎(2)易将弄错，从而导致失分．‎ ‎[解析]　当m>0，n>0时，‎ 则有＝，所以＝，‎ e＝＝＝；‎ 当m<0，n<0时，‎ 则有＝，所以＝，‎ e＝＝＝，‎ 综上可知，该双曲线的离心率为或.‎ ‎[答案]　或 温馨提醒 ‎(1)对于方程－＝1表示的曲线一定要视m，n的不同取值进行讨论，m，n的取值不同表示的曲线就不同．‎ ‎(2)对于双曲线－＝1(mn>0)的焦点位置不同，则的值就不一样，一定要注意区分．‎