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- 2021-06-16 发布
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____第22课__导数在实际问题中的应用____
能够运用所学的函数知识、思想和方法,运用所给的函数模型或构造相应的函数模型,将一些简单的实际问题转化为相应的导数问题,会利用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题.
1. 阅读:选修11第93~98页.
2. 解悟:①实际生活中通常有哪些应用背景?构造的函数模型有哪些?②总结求解实际问题的一般步骤,其关键步骤是什么?
3. 践习:在教材空白处完成教材第96页练习第3、4题.
基础诊断
1. 如图,将边长为60cm的正方形铁片的四角切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起做成一个无盖的方底铁皮盒.当铁皮盒底边长为__40cm__时,盒子的容积最大,最大容积是__16__000cm3__.
解析:设铁皮盒底边长为xcm,容积为V,
所以V(x)=x2=(00;当x∈(40,60)时,V′(x)<0.所以V(x)在区间(0,40)上为增函数;在区间(40,60)上为减函数,所以V(x)max=V(40)==16 000.故当铁皮盒底边长40cm时,最大容积为16 000 cm3.
2. 做一个无盖的圆柱形水桶,若要使体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为__3__.
解析:设圆柱的底面半径为r,则高为.
所以S表面积=πr2+2πr×=πr2+.
令f(r)=πr2+(r>0),则f′(r)=2πr+=.令f′(x)>0可得r>3,令f′(x)<0可得00,得0,函数f(x)在[1,15-3)上单调递增;
当15-3,所以当该车间的日产量为10件时,日利润最大.
故当该车间的日产量为10件时,日利润最大,最大日利润是 千元.
某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数y1=17x2,生产总成本y2(万元)也是x(千台)的函数y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,应生产__6__千台.
解析:设利润为W万元,则W(x)=y1-y2=17x2-2x3+x2=18x2-2x3,所以W′(x)=36x-6x2.令W′(x)=0,解得x=6或x=0(舍去).当x∈(0,6),W′(x)>0,W(x)单调递增;当x∈(6,+∞),W′(x)<0,W(x)单调递减,故当x=6时,W(x)取极大值,也是最大值,此时利润最大,即应生产6千台.
考向❸ 利用导数研究长度、面积、体积最大(小)问题
例3 如图,某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD,其中BMN是半径为1百米的扇形,∠ABC=.管理部门欲在该地从M到D修建小路.在上选一点P(异于M,N两点),过点P修建与BC平行的小路PQ.
(1) 设∠PBC=θ,试用θ表示修建的小路与线段PQ及线段QD的总长度l;
(2) 求l的最小值.
解析:(1) 延长QP,交AB于点E,
则=-θ.
在△BPE中,∠EPB=θ,∠EBP=-θ,∠BEP=,所以EP=sin,EB=sinθ,
所以PQ=2-sin,QD=2-·sinθ,
所以l=-θ+2-sin+2-·sinθ=4-2sin+-θ.
(2) l′=-2cos-1,令l′<0,
即-2cos-1<0,解得0<θ<;
令l′>0,即-2cos-1>0,
解得<θ<.
所以当θ=时,l有最小值4-+,
故l的最小值为百米.
自测反馈
1. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V,当其表面积最小时,底面边长为____.
解析:设底面边长为a,高为h,表面积为S.
V=a2×h,所以h=,则表面积S=3ah+2×a2=a2+,所以S′=a-.令S′=a-=0,解得a=.当0时,S′>0,所以当a=时,S取极小值也是最小值,所以底面边长为.
2. 要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则其高度应为__cm__.
解析:设圆锥的高为h,则底面半径为,所以其体积V=π(202-h2)h(00;当0,函数P(x)在区间[20,30)上单调递增,
所以当x=20时,P(x)取得最小值为P(20)=+=48.
②当x∈[30,50]时,P(x)=x+-40≥2-40=40,当且仅当x=,即x=40时,P(x)取得最小值为P(40)=40,
因为48>40,所以当处理量为40吨时,每吨的平均处理成本最少.
1. 解决实际问题的一般步骤就是四步八个字:审题、建模、求解、还原.
2. 最(极)值问题:工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”,转化为求函数的最(极)值,利用导数求解.
3. 你还有哪些体悟,写下来: