【数学】江西省南昌市第二中学2020届高三下学期校测（三）试题（理） 16页

江西省南昌市第二中学2020届高三下学期校测（三）‎ 数学试题（理）‎ 第I卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则集合可以是 （ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若复数的其共轭复数满足，则复数为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨 雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的示意图，为的 中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．设，，,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 已知点在表示的平面区域内，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6. 函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7. 明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的的值为，则输入的的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 已知数列为等差数列, 是其前项和, .数列的前项 和为,若对一切都有恒成立,则能取到的最小整数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 在棱长为的正方体中，是正方形的中心，为的 中点，过的平面与直线垂直,则平面截正方体所得的截面面 积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知双曲线的焦距为，若的渐近线上存在点,使得经过 点所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围 ‎( )‎ A． ] B．（] C．] D．（]‎ ‎12.已知函数，方程恰有两个不同的实数根 ‎,则的最小值与最大值的和( )‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13. 某产品的宣传费用（万元）与销售额（万元）的统计数据如下表所示：‎ 宣传费用（万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额（万元）‎ ‎45‎ ‎24‎ ‎50‎ 根据上表可得回归方程则宣传费用为3万元时，对应的销售额为 ．‎ ‎14．定义在R上的函数满足对任意的都有.设 ‎，若，则 ．‎ ‎15. 已知，若，则 的值为______.‎ ‎16.高三年级毕业成人礼活动中，要求A,B,C三个班级各出三人，组成小方阵，则来自 同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为 .‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题：共60分.‎ ‎17. （本小题满分12分）如图，在中，点P在边BC 上， .‎ ‎(1) 求的大小；‎ ‎(2)若，求的值.‎ ‎18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD， E是PD的中点．‎ ‎(1)证明：直线平面PAB；‎ ‎(2)点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．‎ ‎19. （本小题满分12分）已知点F1，F2为椭圆的左、右焦点，‎ F1，F2都在圆E：上，椭圆C和圆E在第一象限相交于点P，且线段 PF1为圆E的直径．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）椭圆C的左、右顶点分别为M，N，过定点Q的直线l: x＝ty﹣2（t+1）与椭圆C分别交于点A，B，且点A，B位于第一象限，点A在线段BQ上，直线OQ与NA交于点C．记直线MB，MC的斜率分别为k1，k2．求证：k1k2为定值．‎ ‎20. （本小题满分12分） 2019年由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3公斤，第三代杂交水稻的综合优势可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工，创建一个新产品，已知该产品的质量以某项指标值为衡量标准，其质量指标的等级划分如表：‎ 质量指标值 产品等级 废品 合格 良好 优秀 良好 为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的指标值，得到产品质量指标值的频率分布直方图（如图）．‎ ‎（1）若从质量指标值不小于85的产品中利用分层抽样的方法抽取7件产品，并采集相关数据进行分析，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值，的件数的分布列及数学期望；‎ ‎（2）若将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件为合格或合格以上等级”为事件，求事件发生的概率；‎ ‎（3）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如表所示 质量指标值 利润（元 请问生产该产品能否盈利？若不能，试说明理由；若能，试确定为何值时，利润达到最大（参考数值：，，．‎ ‎21. （本小题满分12分）已知函数，‎ ‎(1)讨论函数的单调性 ‎(2)若有两个零点证明：‎ ‎(二)选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的直角坐标方程为，以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标系方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）判断：直线与曲线是否相交？若相交，请求出弦长；若不相交，请说明理由.‎ ‎ ‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23. （本小题满分10分）已知函数 ‎(1) 当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)当时，若的图像与轴围城的三角形面积等于6，求的值.‎ ‎【参考答案】‎ ‎1-12 C A D A A A C D B B C C ‎13. 14.-1820 15.-1 16.‎ ‎10. 【解析】 由如图，在正方体中，记的中点为，‎ 连接，‎ 则平面即为平面．证明如下：‎ 由正方体的性质可知，，则，四点共面，‎ 记的中点为，连接，易证．连接，则，‎ 所以平面，则．‎ 同理可证，，，则平面，‎ 所以平面即平面，且四边形即平面截正方体所得的截面．‎ 因为正方体的棱长为，易知四边形是菱形，其对角线，，所以其面积.‎ ‎11.【解析】，所以离心率，圆是以为圆心，半径的圆，要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，必有，而焦点到双曲线渐近线的距离为，所以，即，所以，所以双曲线的离心率的取值范围是． ‎ ‎12. 【解析】 函数的图像为：‎ 则 所以 令, ‎ 所以，选C.‎ ‎15. 【解析】由积分的几何意义知，‎ 在中，，‎ 令，则，∴．‎ ‎16. 【解析】首先，第一行队伍的排法有种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的人员安排有种；第二行的每个位置的人员安排有种；第三行的每个位置的人员安排有种.所以来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率.‎ ‎17. 【解析】（1）（6分） （2）（12分）‎ ‎18. 【解析】 （1）取的中点，连结，．‎ 因为是的中点，所以∥，，‎ 由得∥，‎ 又，所以，四边形是平行四边形，∥．‎ 又平面，平面，故平面． （5分）‎ ‎（2）由已知得，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，‎ 设，则 ‎，‎ 因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，‎ 所以，，即． ①‎ 又M在棱PC上，设，则 ． ②‎ 由①②解得(舍去)，．‎ 所以，从而． （9分）‎ 设是平面ABM的法向量，则 即 所以可取．于是 ，‎ 因此二面角的余弦值为.（12分）‎ ‎19. 解：（1）在圆E中，令y＝0可得x＝，所以由题意可得c＝，‎ 由圆的方程可得圆的半径为，所以由题意可得|PF1|＝，‎ 连接PF2，因为F2在圆上，所以PF2⊥F1F2，‎ 又有|F1F2|＝2c＝2，则|PF2|＝‎ 由题意的定义可得：2a＝|PF1|+|PF2|，可得a＝2，b2＝a2﹣c2＝1，‎ 所以椭圆的方程为：+y2＝1；（4分）‎ ‎（2）Q（﹣2，2），设A（x，y），B（x'，y'），‎ 直线l的方程：x＝ty﹣2（t+1），‎ 联立椭圆的方程整理得：（4+t2）y2﹣4t（t+1）y+4t（t+2）＝0‎ ‎∴，y+y'＝，yy'＝，（6分）‎ 设点C（﹣c，c），由A，C，N三点共线点：，所以c＝，（8分）‎ 则k1k2＝＝＝，‎ 所以k1k2为定值．（12分）‎ ‎20. 解：（1）由频率分布直方图得指标值不小于85的产品中，‎ ‎，的频率为， ，的频率为，‎ ‎，的频率为， ‎ 利用分层抽样抽取的7件产品中，，的有4件，‎ ‎，的有2件，，的有1件， ‎ 从这7件产品中，任取3件，质量指标值，的件数的所有可能取值为0，1，2，‎ ‎，，，（4分）‎ 的分布列为：‎ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎．（5分）‎ ‎（2）设事件的合格率为（A），则根据概率分布直方图得：‎ 一件产品为合格或合格以上等级的概率为，‎ 事件发生的概率（A）．（7分）‎ ‎（3）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润（元的关系与表所示，‎ 质量指标值 利润 ‎ 0.3‎ ‎ 0.4‎ ‎ 0.15‎ ‎ 0.1‎ ‎ 0.05‎ 每件产品的利润：‎ ‎，，则，‎ 令，解得，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当，时，，函数，单调递减，（10分）‎ 当时，取最大值，‎ 生产该产品能够实现盈利，当时，‎ 每件产品的利润取得最大值为0.5元．（12分）‎ ‎21. 解：（Ⅰ）由题设可得定义域，‎ 当，恒成立，在上单调递减；‎ 当，，‎ ‎，，故在单调递减；‎ ‎，，故在单调递增.（5分）‎ ‎（Ⅱ）方法一：有两个零点，则有两解，‎ 令，，‎ ‎，‎ 则，，（7分）‎ 由题意可得，‎ 又, 所以 故转化为：只需证明,设（9分）‎ 由(2)式可得，；‎ ‎，，‎ ‎，恒成立，，‎ 故在上单调递增，，‎ 即，整理可得.（12分）‎ 方法二：由（1）知，有两个零点，则且，得，‎ 则，，又， （7分）‎ 且，又，‎ 即，又在上单调递减，（9分）‎ ‎，又，‎ ‎，所以原命题成立.（12分）‎ ‎22.解：（1）将改为，‎ 化为极坐标方程为；（4分）‎ ‎（2）将代入得，，（6分）‎ 以为，‎ 所以方程有2个不同的根，，‎ 所以直线与曲线相交，公共弦的长为.（10分）‎ ‎23. 解：(1)当时， （2分）‎ 令，解得，即解集为：（5分）‎ ‎(2)当，可得，（7分）‎ 的图像与轴围城的三角形面积等于6， ‎ ‎（10分）‎