2018届二轮复习等差数列、等比数列（第二层次）学案（江苏专用） 7页

专题8：等差数列、等比数列(两课时)‎ 班级 姓名 ‎ 一、课前测试 ‎1．(1)已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n∈N*且n≥2)，令bn＝，求证：数列{bn}是等差数列．‎ 提示：用等差数列的定义来证，即证bn－bn－1＝(常数)‎ ‎(2)数列{an}前n项和为Sn，若an＋Sn＝n，令bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列.‎ 提示：先利用数列的前n项和与通项an之间的关系，找到数列的递推关系；再用等比数列的定义来证．‎ 即由an＋Sn＝n，得an－1＋Sn－1＝n－1，两式相减得2an－an－1＝1即2bn＝bn－1．‎ 从而有＝(常数)‎ ‎2．已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*且n≥2)，a1＝2，令bn＝(an＋t) (n∈N*)，否存在一个实数t，使得数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．‎ 答案：存在实数t＝1，使得数列{bn}为等差数列．‎ ‎3．(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3与S4的等差中项为1，而S3与S4的等比中项是S5，‎ 则an＝ ．‎ ‎(2)已知在等比数列{an}中，a3＝2，a2＋a4＝，则an＝ ．‎ 答案：(1)an＝1或an＝－n＋； (2) an＝2×3n－3或an＝2×()n－3．‎ ‎4． (1)设在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求＝ ；＝ ．‎ ‎(2)若两个等差数列{an}和{bn}的前n项之和分别是Sn、Tn，已知＝，则＝ ．‎ ‎(3)已知一个等比数列的前10项和为10，前20项和为30，则前50项的和为 ．‎ 答案：(1)n＝6， q＝2或；(2)；(3)310．‎ ‎5． (1)已知{an}是等差数列，若a1＝20，公差d＝－2，求数列前n项和Sn的最大值．‎ ‎(2)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是 ．‎ ‎①d＜0 ；②a7＝0；③S9＞S5；④S6和S7均为Sn的最大值.‎ 答案：(1)当且仅当n＝10或11时，Sn取得最大值110．‎ ‎(2)①②④‎ 二、方法联想 ‎1．等差、等比数列的证明 方法 证明数列是等差数列：‎ 方法1 定义法，即当n∈N*时，an＋1－an为同一常数．‎ 方法2 中项公式法，即当n∈N*时，2an＋1＝an＋an＋2均成立．‎ 方法 证明数列是等比数列：‎ 方法1 定义法，即当n∈N*时，为同一常数．‎ 方法2 中项公式法，即当n∈N*时，an＋12＝anan＋2均成立，且an≠0． ‎ ‎2．等差、等比数列的呈现 等差数列的呈现形式 呈现1 通项为一次形式，即an＝an＋b．‎ 呈现2 前n项和为不含常数项的二次形式，即Sn＝an2＋bn．‎ 呈现3 若数列{an}为等比数列，且an＞0，则{logaan}为等差数列．‎ 注意 上述呈现形式只能做为判断，在解答题中需要加以证明．‎ 判断数列不是等差数列 方法 通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等差数列．‎ 等比数列的呈现形式 呈现1 通项公式为指数幂形式，即an＝aqn．‎ 呈现2 若数列{an}的前n项和为Sn＝a(qn－1)(a≠0，q≠1，q≠0)． ‎ 呈现3 若数列{an}为等差数列，则{aa}为等比数列．‎ 注意 上述呈现形式只能做为判断，在解答题中需要加以证明．‎ ‎ 判断数列不是等比数列 方法 通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等比数列．‎ ‎3．基本量运算 基本量法：等差、等比数列中，五个元素a，q，n，an，Sn中只有3个是独立的，其余2个都可以用3个独立的基本量表示，即知三求二．‎ ‎【变式】在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a21＝30，则S15＝_____．‎ ‎ (基本量解决问题时，也应根据目标“按需所求”)‎ ‎4．性质的应用 方法 (1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q则am＋an＝ap＋aq．特别若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap．‎ ‎ 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q则aman＝apaq．特别若m＋n＝2p，则aman＝ap2．‎ ‎ (2) 在等差数列{an}中，由Sn＝得，若n为奇数，则S2n－1＝(2n－1)an．‎ 方法 在等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．‎ 在等比数列{an}中，一般情况下Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．‎ ‎【变式】‎ ‎ （1）若两个等差数列{an}和{bn}的前n项之和分别是Sn、Tn，已知＝，则＝ ．‎ ‎ （2）已知一个等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a2＋a3＋a4＝－1，则数列{an}的前6项的和＝ ．‎ 答案：（1）；（2）－5‎ ‎5．等差数列Sn的最值问题 方法 在等差数列{ an }中Sn 的最值问题：‎ 方法1：(1)当a1＞0，d＜0时，满足的项数m使得Sm取最大值.‎ ‎ (2)当a1＜0，d＞0时，满足的项数m使得Sm取最小值，‎ 方法2：由Sn 的解析式，结合二次函数图象分析．‎ ‎【变式】已知{an}是等差数列，若a1＝20，数列前n项和Sn取得最大值的条件的n＝10，求公差的取值范围．‎ ‎(已知等差数列取得最值的条件，确定参数的取值范围)‎ 答案：(－，－2)．‎ 三、例题分析 例1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2＋a4＝14，S7＝70.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，数列{bn}的最小项是第几项，并求出该项的值．‎ 解：(1) an＝3n－2.‎ ‎(2)数列{bn}的最小项是第4项，该项的值为23.‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1) 主要问题归类与方法：‎ ‎1．求数列的通项：方法①利用等差(比)数列的通项公式；②构造等差(比)数列；③由Sn与an的关系求通项；④用不完全归纳法，猜想数列的通项，再证明．‎ ‎2．求数列的最大项问题：①将数列的通项看作是n的函数，通过讨论相应函数的单调性来求最值；②考察数列的单调性，求最大项；③利用基本不等式求最值．‎ ‎(2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择方法①，因为本题已知数列是等差数列，所以选择方法①．‎ 对于问题2，学生一般会选择③，因为本题中bn＝3n＋－1便于用基本不等式求最值，但要注意这里n必须取正整数，所以选择方法③．‎ 例2 已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和Sn，且满足：a‎2a4＝65，a1＋a5＝18．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)若1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i值；‎ ‎(3)是否存在常数k，使得数列{}为等差数列，若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．‎ 解: (1) an＝4n－3.‎ ‎(2) i＝3． ‎ ‎(3)由(1)知，Sn＝2n2－n．‎ 假设存在常数k，使数列{}为等差数列，‎ ‎【法一】由＋＝2，得k＝1．‎ ‎ 当k＝1时，＝n，易知数列{}为等差数列．‎ ‎【法二】假设存在常数k，使数列{}为等差数列，由等差数列通项公式可知 设＝an＋b， 得2n2＋(k－1)n＝(an)2＋2abn＋b2恒成立，‎ 可得a2＝2，2ab＝k－1，b2＝0，∴a2＝2，b＝0，k＝1‎ ‎ ∴＝n，易知数列{}为等差数列．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．等差(比)数列基本量的计算：‎ 方法: ①利用等差(比)数列的通项公式与前n项和公式，求基本量a1与d(q)，再用上述公式求数列中某项，某项数与某些项的和．‎ ‎②利用等差(比)数列的性质，把条件简化后再用通项公式及前n项和公式求基本量；‎ ‎2．条件探索性问题：‎ ‎ 方法: ①利用分析法，从结论和已知条件入手，执果索因，导出所需条件；‎ ‎ ②从特例出发，探求结论成立的条件，再进行证明．‎ ‎(2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，一般优先考虑方法②，如没性质可用，就用方法①，本题先用性质简化后，先求出a2和a4，再求d，然后用an＝a2＋(n－2)d，求通项，当然本题用方法①也很简单．‎ ‎ 对于问题2，学生一般会选择方法②，由特例求k的值比较方便，所以用方法②．‎ 例3 已知Sn是数列{an}的前n项和，且an＝Sn－1＋2 (n≥2)，a1＝2．‎ ‎ (1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)对于给定的k (k＝1，2，…，n)．设T(k)表示首项为ak，公差为2ak－1的等差数列，求数列T(2)的前10项之和；‎ ‎(3)设bi为数列T(i)的第i项，Mn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，求Mn．‎ 解：(1) an＝2n．‎ ‎ (2) T(2)的前10项之和为355． ‎ ‎ (3) Mn＝(2n－3) ×2n＋1＋6－．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．求数列的通项：‎ 方法: ①利用数列的通项an与前n和Sn的关系，在已知Sn条件下求通项an．‎ ‎②利用等差(比)数列的通项公式，求通项；‎ ‎③构造等差(比)数列求通项；‎ ‎④用累加(乘)法求通项．‎ ‎2．数列求和问题：‎ 方法：①利用等差(比)数列前n和公式求和；②分部求和；③错位相减法；‎ ‎④裂项求和．‎ ‎(2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择②，因为本题中给出数列通项an与Sn之间的关系，‎ 可以通过公式转化为数列的递推关系，由于递推关系可以很容易判定数列为等差数列，所以选择方法②．‎ 对于问题2，学生一般会选择①③，因为数列T(i)是等差数列，所以选择方法①，数列{Mn}的通项是由一个等差数列与一个等比数列相应项相乘所成的，所以选择方法③．‎ 四、反馈练习(专题8：等差数列、等比数列)‎ ‎1. 在等差数列{an}中，a6＝a3＋a8，则数列{an}的前9项的和为 ．‎ 答案：0‎ ‎(考查等差数列性质及求和公式)‎ ‎2. 设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝‎3a2＋2，S4＝‎3a4＋2，则q＝ ．‎ 答案：．(考查等比数列的通项公式及前n项和公式)‎ ‎3. 已知数列{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a‎5a6＝－8，则a1＋a10＝ ．‎ 答案：－7‎ ‎(考查等差数列与等比数列的基本性质)‎ ‎4. 等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是 ．‎ 答案：　48‎ ‎(考查数列的基本性质和基本量运算)‎ ‎5. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是 ‎ 答案：　5‎ ‎(考查等差数列前n项和与an之间关系)‎ ‎6．在等比数列{an}中，a1=8，a4=a‎3a5，则a7＝ ．‎ 答案：．（考查等比数列计算）‎ ‎7．(1) 已知数列{an}的前n项和Sn ＝n＋n，则数列bn＝的前5项的和为 .‎ ‎(2)设等比数列{an}各项均为正数，且a‎5a6＋a‎4a7＝18，则log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log‎3a10＝ ．‎ 答案：(1) ；　(2)10‎ ‎（考查 (1)Sn与an间关系；‎ ‎(2)利用等比数列的性质结合对数的运算法则解题．）‎ ‎8．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为 ‎ 答案： ‎（考查等比数列基本量运算）‎ ‎9．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取最大值，则d的取值范围________‎ 答案：－1＜d＜－ （考查Sn与an间关系）‎ ‎10．设a1，a2，…，an是各项不为零的n(n≥4)项等差数列，且公差d≠0．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对(n，)所组成的集合为____________．‎ 答案：{(4，－4)，(4，1)} （考查等差数列，等比数列）‎ ‎11．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.‎ ‎(1) 求数列{an}的通项an与前n项和Sn；‎ ‎(2) 设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列 答案：an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)‎ ‎（考查（1）等差数列通项及前n项和基本量运算；（2）证明三项不可能成等比数列方法：反证法 ‎12． 已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比相等，且都等于d（d＞0，d≠1）.若a1＝b1，a3＝3b3，a5＝5b5，求an，bn．‎ 答案： an＝(n－6)，bn＝－×()n－1．‎ ‎（考查等差数列和等比数列的概念、性质，方程（组）的解法以及运算能力和分析能力.）‎ ‎13．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n．‎ ‎(1)设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和Sn.‎ 答案:Sn ＝(n－1)2n＋1 ‎ ‎（考查等差数列的证明、通项公式的求法、错位相减法）‎ ‎14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：an＋2Sn Sn －1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝，求数列{an}的通项公式．‎ 答案： an＝ ‎（考查an与Sn的关系及等差数列．）‎ ‎15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式及前n项和公式；‎ ‎（2）设数列{bn}的通项公式为bn＝，问: 是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N*)‎ 成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.‎ 答案：(1)an＝2n－1，Sn＝n2；‎ ‎（2）t＝5，m＝4；t＝3，m＝5；t＝2，m＝7．‎ ‎（考查等差数列中的基本运算，整数的性质）‎ ‎16．已知等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a‎2a3＝45，S4＝28．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设由bn＝ (c≠0)构成的新数列{bn}，求证：当且仅当c＝－时，数列{bn}是等差数列；‎ ‎(3)对于(2)中的等差数列{bn}，设cn＝（n∈N*），数列{cn}的前n项和为Tn，现有数列 ‎ ‎{f(n)}，f(n)＝－Tn（n∈N*），求证：存在整数M，使f(n)≤M对一切n∈N*都成立，并求出M的最小值． ‎ 答案：(1) an＝4n－3．‎ ‎ (3)整数M≥2，所以M的最小值为2． ‎ ‎（考查数列综合应用）‎