北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 15页

首都师大附中2019-2020学年第一期期末考试 一、选择题共10小题每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 ‎1.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和之间能否推出的关系，得到答案.‎ ‎【详解】由可得，‎ 由，得到或，，不能得到，‎ 所以“”是“”的充分不必要条件，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.‎ ‎2.已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量，的夹角为（ ）‎ A. 45° B. 60° C. 90° D. 135°‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的坐标表示，求得的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，可得，，‎ 设向量，的夹角为，则，‎ 又因为，所以．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎3.设为第三象限角，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由同角关系求得，再由正弦的二倍角公式变形后求值．‎ ‎【详解】∵设为第三象限角，，∴，‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负．‎ ‎4.下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间上的单调性，由此判断正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，为偶函数，且当时，为减函数，符合题意.‎ 对于B选项，为偶函数，根据幂函数单调性可知在上递增，不符合题意.‎ 对于C选项，为奇函数，不符合题意.‎ 对于D选项，为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，在区间上单调递减，符合题意.‎ 故选：AD.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.‎ ‎5.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设， ，，则的大小关系是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数，又因为，‎ 所以，选B.‎ ‎6.函数（且）的图像是下列图像中的（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像.‎ ‎【详解】依题意，.由此判断出正确的选项为C.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.‎ ‎7.如图，正方形中,为的中点,若,则的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】因为E是DC的中点，所以，∴，‎ ‎∴，．‎ 考点：平面向量的几何运算 ‎8.已知函数（，）的最小正周期是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数（ ）‎ A. 有一个对称中心 B. 有一条对称轴 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题，平移后得到的函数是，其图象过点,，因为，，,故选B.‎ 点睛：本题考查是的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x加减，还是2x加减，另一方面是根据图象过点确定的值时，要结合五点及确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性.‎ ‎9.对于函数f（x），若存在区间M＝[a，b]（a＜b）使得{y|y＝f（x），x∈M}＝M，则称区间M为函数f（x）一个“稳定区间，给出下列四个函数：‎ ‎①f（x），②f（x）＝x3，③f（x）＝cosx，④f（x）＝tanx 其中存在“稳定区间”的函数有（ ）‎ A ①②③ B. ②③ C. ③④ D. ①④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的单调性依次计算每个函数对应的值域判断得到答案.‎ ‎【详解】①f（x），取时，如图所示：函数在上单调递增，且，故满足；‎ ‎②f（x）＝x3，函数单调递增，取，，故满足；‎ ‎③f（x）＝cosx，函数在上单调递减，，故满足；‎ ‎④f（x）＝tanx，函数在每个周期内单调递增，在每个周期内没有两个交点，如图所示，故不满足；‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的综合应用能力和理解能力.‎ ‎10.延长正方形的边至，使得．若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，下列判断正确的是（ ）‎ A. 满足的点必为的中点 B. 满足的点有且只有一个 C. 的最小值不存在 D. 的最大值为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则的坐标为，则设，由得 ‎，所以，当在线段上时，，此时，此时，所以；当在线段上时，，此时，此时，所以；当在线段 上时，，此时，此时，所以；当在线段上时，，此时，此时，所以；由以上讨论可知，当时，可为的中点，也可以是点，所以A错；使的点有两个，分别为点与中点，所以B错，当运动到点时，有最小值，故C错，当运动到点时，有最大值，所以D正确，故选D．‎ 考点：向量的坐标运算．‎ ‎【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．‎ 二、填空题共6小题每小题5分共30分 ‎11.函数的定义域为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.‎ ‎【详解】依题意有，解得.‎ 故答案为 ‎【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题.‎ ‎12.在△ABC中，cosA，cosB，则cosC＝_____.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到，再利用和差公式计算得到答案.‎ ‎【详解】，则.‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎13.已知tan（3π+α）＝2，则_____.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，化简得到原式，计算得到答案.‎ ‎【详解】.‎ 原式.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了诱导公式化简，齐次式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎14.若函数y＝loga（2﹣ax）在区间（0，1）上单调递减，则a的取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定函数单调递减，再根据复合函数单调性和定义域得到答案.‎ ‎【详解】，故函数单调递减，函数y＝loga（2﹣ax）在区间（0，1）上单调递.‎ 故，且满足，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，忽略掉定义域的情况是容易发生的错误.‎ ‎15.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过_______后池水中药品的浓度达到最大.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ C＝＝5‎ 当且仅当且t＞0，即t＝2时取等号 考点：基本不等式，实际应用 ‎16.已知函数，任取，记函数在区间上的最大值为最小值为记. 则关于函数有如下结论：‎ ‎①函数为偶函数；‎ ‎②函数值域为；‎ ‎③函数的周期为2；‎ ‎④函数的单调增区间为.‎ 其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号）‎ ‎【答案】③④.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，其中分别是指函数在区间上的最大值、最小值，注意到函数是最小正周期为的函数，所以在区间的图像与在的图像完全相同，所以 ‎，所以，所以函数的一个周期为4，对该函数性质的研究，只须先探究的性质即可.‎ 根据的图像（如下图（1））与性质可知 当时，在区间的最小值为，最大值为，此时 当时，在区间的最小值为，最大值为，此时；‎ 当时，在区间的最小值为，最大值为，此时；‎ 当时，在区间的最小值为，最大值为1，此时；‎ 当时，在区间的最小值为，最大值为1，此时；‎ 当时，在区间的最小值为，最大值为，此时 作出的图像，如下图（2）所示 综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为，从图中可以看到函数的最小正周期为2，函数的单调递增区间为，故只有③④正确.‎ 考点：1.三角函数的图像与性质；2.分段函数.‎ 三、解答题共4小题共40分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 ‎17.已知不共线向量，满足||＝3，||＝2，（23）•（2）＝20.‎ ‎（1）求•；‎ ‎（2）是否存在实数λ，使λ与2共线？‎ ‎（3）若（k2）⊥（），求实数k的值.‎ ‎【答案】（1）1；（2）存在，；（3）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用向量运算法则展开计算得到答案.‎ ‎（2）假设存在实数λ，使λ与2共线，则，计算得到答案.‎ ‎（3）计算（k2）•（）＝0，展开计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）向量，满足||＝3，||＝2，（23）•（2）＝20，‎ 所以44•34×9﹣4•3×4＝20，解得•1；‎ ‎（2）假设存在实数λ，使λ与2共线，则，‎ 故，.‎ 即存在λ，使得λ与2共线；‎ ‎（3）若（k2）⊥（），则（k2）•（）＝0，‎ 即k（2﹣k2）•2k0，所以9k+（2﹣k2）×1﹣2k•4＝0，‎ 整理得k2﹣k﹣2＝0，解得k＝﹣1或k＝2.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎18.已知函数f（x）＝cosx（acosx﹣sinx）（a∈R），且f （）.‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（3）求f（x）在区间[0，]上的最小值及对应的x的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）时，取得最小值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入数据计算得到答案.‎ ‎（2）化简得到，计算得到答案.‎ ‎（3）计算2x∈[，]，再计算最值得到答案.‎ ‎【详解】（1）∵f（x）＝cosx（acosx﹣sinx）（a∈R），且f （）.‎ ‎∴f （）（）.解得a.‎ ‎（2）由（1）可得f（x）＝cosx（cosx﹣sinx）cos2x﹣sinxcosxsin2xcos（2x），‎ 令2kπ+π≤2x2kπ+2π，k∈Z，解得：kπx≤kπ，k∈Z，‎ 可得f（x）的单调递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z，‎ ‎（3）∵x∈[0，]，可得：2x∈[，]，‎ ‎∴当2xπ，即x时，f（x）＝cos（2x）取得最小值为﹣1.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的求值，单调性和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.‎ ‎19.如图所示，近日我渔船编队在岛周围海域作业，在岛的南偏西20°方向有一个海面观测站，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与相距31海里的处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达处，此时观测站测得间的距离为21海里．‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛？‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ) 在中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.‎ ‎(Ⅱ)首先利用和差公式计算，中，由正弦定理可得长度，最后得到时间.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由已知可得，‎ 中，根据余弦定理求得，‎ ‎∴．‎ ‎(Ⅱ)由已知可得，‎ ‎∴．‎ 中，由正弦定理可得，‎ ‎∴分钟．‎ 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛．‎ ‎【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.‎ ‎20.f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x1，x2，恒有f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2），则称f（x）为定义在D上的C函数.‎ ‎（1）试判断函数f1（x）＝x2，中哪些是各自定义域上的C函数，并说明理由；‎ ‎（2）若f（x）是定义域为的函数且最小正周期为T，试证明f（x）不是R上的C函数.‎ ‎【答案】（1）是C函数，不是C函数，理由见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数的新定义证明f1（x）＝x2是C函数，再举反例得到不是C函数，得到答案.‎ ‎（2）假设f（x）是R上的C函数，若存在m＜n且m，n∈[0，T），使得f（m）≠f（n，讨论f（m）＜f（n）和f（m）＞f（n）两种情况得到证明.‎ ‎【详解】（1）对任意实数x1，x2及α∈（0，1），有f1（αx1+（1﹣α）x2）﹣αf1（x1）﹣（1﹣α）f1（x2）＝（αx1+（1﹣α）x2）2﹣αx12﹣（1﹣α）x22‎ ‎＝﹣α（1﹣α）x12﹣α（1﹣α）x22+2α（1﹣α）x1x2＝﹣α（1﹣α）（x1﹣x2）2≤0，‎ 即f1（αx1+（1﹣α）x2）≤αf1（x1）+（1﹣α）f1（x2），‎ ‎∴f1（x）＝x2是C函数；‎ 不是C函数，‎ 说明如下（举反例）：取x1＝﹣3，x2＝﹣1，α，‎ 则f2（αx1+（1﹣α）x2）﹣αf2（x1）﹣（1﹣α）f2（x2）＝f2（﹣2）f2（﹣3）f2（﹣1）0，‎ 即f2（αx1+（1﹣α）x2）＞αf2（x1）+（1﹣α）f2（x2），‎ ‎∴不是C函数；‎ ‎（2）假设f（x）是R上的C函数，若存在m＜n且m，n∈[0，T），使得f（m）≠f（n）.‎ ‎（i）若f（m）＜f（n），‎ 记x1＝m，x2＝m+T，α＝1，则0＜α＜1，且n＝αx1+（1﹣α）x2，‎ 那么f（n）＝f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2）＝αf（m）+（1﹣α）f（m+T）＝f（m），‎ 这与f（m）＜f（n）矛盾；‎ ‎（ii）若f（m）＞f（n），‎ 记x1＝n，x2＝n﹣T，α＝1，同理也可得到矛盾；‎ ‎∴f（x）在[0，T）上是常数函数，‎ 又因为f（x）是周期为T的函数，‎ 所以f（x）在上是常数函数，这与f（x）的最小正周期为T矛盾.‎ 所以f（x）不是R上的C函数.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.‎