【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第17讲任意角和弧度制及任意角的三角函数学案 9页

第17讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数 ‎1.角的概念的推广 ‎(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着　　　　从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.  ‎ ‎(2)分类:按旋转方向分为　　　　、　　　　和零角;按终边位置分为　　　　和轴线角. ‎ ‎(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S=　.  ‎ ‎2.弧度制的定义和公式 ‎(1)定义:把长度等于　　　　的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad.  ‎ ‎(2)公式:‎ 角α的弧度数的绝对值 ‎|α|=lr(弧长用l表示)‎ 角度与弧度的换算 ‎①1°=π‎180‎ rad,②1 rad=‎180‎π°‎ 弧长公式 弧长l=　　　 ‎ 扇形面积公式 S=‎1‎‎2‎lr=‎1‎‎2‎|α|r2‎ ‎3.任意角的三角函数 ‎(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=　　　,cos α=　　　,tan α=yx(x≠0). ‎ ‎(2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图3-17-1中的有向线段OM,MP,AT分别称为角α的　　　　　、　　　　　和　　　　　. ‎ ‎(Ⅰ)　　　　　　 (Ⅱ)‎ ‎(Ⅲ)　　　　　　 (Ⅳ)‎ 图3-17-1‎ 常用结论 象限角与轴线角 ‎(1)象限角 ‎(2)轴线角 题组一　常识题 ‎1.[教材改编] 终边落在第一象限角平分线上的角的集合是　　　　　　　　　. ‎ ‎2.[教材改编] (1)67°30'=　　　　rad;(2)π‎12‎= 　　　　°. ‎ ‎3.[教材改编] 半径为120 mm的圆上长为144 mm的弧所对圆心角α的弧度数是　　　　. ‎ ‎4.[教材改编] 若角α的终边经过点P(-1,2),则sin α-cos α+tan α=　　　　. ‎ 题组二　常错题 ‎◆索引:对角的范围把握不准;不能据函数值的符号确定角所在的象限;不熟悉角在不同象限时对应的三角函数值的符号;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错.‎ ‎5.在△ABC中,若sin A=‎2‎‎2‎,则A=　　　　. ‎ ‎6.已知P(-‎3‎,y)为角β的终边上的一点,且sin β=‎13‎‎13‎,则y=　　　　. ‎ ‎7.当α为第二象限角时,‎|sinα|‎sinα-cosα‎|cosα|‎的值是　　　　. ‎ ‎8.若一扇形的圆心角为72°,半径为20 cm,则扇形的面积为　　　　cm2. ‎ 探究点一　角的集合表示及象限角的判定 例1 (1)[2018·长春一模] 若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-‎3‎x上,则角α的所有取值的集合是 (　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.αα=2kπ-π‎3‎,k∈Z ‎ B.‎α|α=2kπ+‎2π‎3‎,k∈Z C.α|α=kπ-‎2π‎3‎,k∈Z ‎ D.‎α|α=kπ-π‎3‎,k∈Z ‎(2)集合α|kπ+π‎4‎≤α≤kπ+π‎2‎,k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是 (　　)‎ A　　　　　B　　　　　C　　　　　D 图3-17-2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] (1)角α(0≤α<2π)与角2kπ+α(k∈Z)的终边相同;‎ ‎(2)要求角β所在的象限,只需将角β表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,则角α所在的象限即为角β所在的象限.‎ 变式题 (1)设集合M=x|x=k‎2‎·180°+45°,k∈Z,N=x|x=k‎4‎·180°+45°,k∈Z,那么 (　　)‎ A.M=N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N=⌀‎ ‎(2)若角α的终边在x轴的上方,则α‎2‎是第　　　　象限角. ‎ 探究点二　扇形的弧长、面积公式 例2 (1)若圆弧长度等于该圆内接等腰直角三角形的周长,则其圆心角的弧度数是　　　　. ‎ ‎(2)已知扇形的圆心角为60°,其弧长为π,则此扇形的面积为　　　　. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] 应用弧度制解决问题的策略:(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度;(2)涉及求扇形面积最大值的问题,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决;(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.‎ 变式题 (1)将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 (　　)‎ A.π‎3‎ B.‎π‎6‎ C.-π‎3‎ D.-‎π‎6‎ ‎(2)若扇形的周长为18,则扇形面积取得最大值时,扇形圆心角的弧度数是　　　　. ‎ 探究点三　三角函数的定义 角度1　三角函数定义的应用 例3 (1)[2018·济南二模] 已知角α的终边经过点P(m,-2m),其中m≠0,则sin α+cos α等于 (　　)‎ A.-‎5‎‎5‎ B.±‎‎5‎‎5‎ C.-‎3‎‎5‎ D.±‎‎3‎‎5‎ ‎(2)[2018·北京通州区三模] 在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,终边位于第四象限,且与单位圆交于点‎1‎‎2‎‎,y,则sin α=　　　　. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] 三角函数的定义主要应用于两方面:‎ ‎(1)已知角的终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离,然后用三角函数定义求解三角函数值.特别地,若角α的终边落在某条直线上,一般要分类讨论.‎ ‎(2)已知角α的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题.‎ 角度2　三角函数值的符号判定 例4 (1)若sin θ·cos θ<0,tanθsinθ>0,则角θ是 (　　)‎ A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 ‎(2)若α为第二象限角,则cos 2α,cosα‎2‎,‎1‎sin2α,‎1‎cosα‎2‎中,其值必为正的有 (　　)‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] 判断三角函数值的符号,关键是确定角的终边所在的象限,然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.‎ 角度3　三角函数线的应用 例5 [2018·嘉兴模拟] 已知α∈π‎2‎‎,‎‎3π‎4‎,a=sin α,b=cos α,c=tan α,那么a,b,c的大小关系是 (　　)‎ A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] 利用三角函数线比较大小或解三角不等式,通常采用数形结合的方法,一般来说sin x≥b,cos x≥a,只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x的范围.‎ 变式题 函数f(x)=‎1-2cosx+lnsin x-‎2‎‎2‎的定义域为　　　　　　　　　　　. ‎ 第17讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数 考试说明 1.任意角、弧度制 ‎(1)了解任意角的概念和弧度制的概念.‎ ‎(2)能进行弧度与角度的互化.‎ ‎2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎1.(1)端点　(2)正角　负角　象限角　(3){β|β=α+k·360°,k∈Z}‎ ‎2.(1)半径长　(2)|α|r ‎3.(1)y　x　(2)余弦线　正弦线　正切线 对点演练 ‎1.{α|α=k·360°+45°,k∈Z}　[解析] 终边落在第一象限角平分线上的最小正角为45°,所以与其终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+45°,k∈Z}.‎ ‎2.(1)‎3‎‎8‎π　(2)15　[解析] (1)67°30'=67.5×π‎180‎=‎3π‎8‎(rad);(2)π‎12‎=π‎12‎×‎180‎π°=15°.‎ ‎3.1.2　[解析] 根据圆心角弧度数的计算公式得,α=‎144‎‎120‎=1.2.‎ ‎4.‎3‎5‎-10‎‎5‎　[解析] r=‎(-1‎)‎‎2‎+‎‎2‎‎2‎=‎5‎,所以sin α=‎2‎‎5‎=‎2‎‎5‎‎5‎,cos α=-‎1‎‎5‎=-‎5‎‎5‎,tan α=‎2‎‎-1‎=-2,所以sin α-cos α+tan α=‎3‎5‎-10‎‎5‎.‎ ‎5.π‎4‎或‎3‎‎4‎π　[解析] 因为00,cos α<0,‎ ‎∴‎|sinα|‎sinα-cosα‎|cosα|‎=1-(-1)=2.‎ ‎8.80π　[解析] 72°=‎2π‎5‎ rad,∴S扇形=‎1‎‎2‎αr2=‎1‎‎2‎×‎2π‎5‎×202=80π(cm2).‎ ‎【课堂考点探究】‎ 例1　[思路点拨] (1)先求出直线y=-‎3‎x的倾斜角,再根据终边相同的角的要求得出角α的取值集合;(2)对k分奇数和偶数两种情况分析角α所表示的范围.‎ ‎(1)D　(2)C　[解析] (1)因为直线y=-‎3‎x的倾斜角是‎2π‎3‎,所以终边落在直线y=-‎3‎x上的角α的取值集合为αα=kπ-π‎3‎,k∈Z.故选D.‎ ‎(2)当k=2n(n∈Z)时,2nπ+π‎4‎≤α≤2nπ+π‎2‎,此时α表示的范围与π‎4‎≤α≤π‎2‎表示的范围一样;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+π‎4‎≤α≤2nπ+π+π‎2‎,此时α表示的范围与‎5π‎4‎≤α≤‎3π‎2‎表示的范围一样.故选C.‎ 变式题　(1)B　(2)一或三　[解析] (1)M中,x=k‎2‎·180°+45°=k·90°+45°=45°·(2k+1),k∈Z,2k+1是奇数;N中,x=k‎4‎·180°+45°=k·45°+45°=45°·(k+1),k∈Z,k+1是整数.综上可知,必有M⊆N.‎ ‎(2)∵角α的终边在x轴的上方,‎ ‎∴k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z,∴k·180°<α‎2‎<90°+k·180°,k∈Z.‎ 当k=2n(n∈Z)时,‎ 有n·360°<α‎2‎<90°+n·360°,可知α‎2‎为第一象限角;‎ 当k=2n+1(n∈Z)时,‎ 有n·360°+180°<α‎2‎<270°+n·360°,可知α‎2‎为第三象限角.‎ 例2　[思路点拨] (1)找出弧长与半径,用弧度制公式求解;(2)设扇形的半径为r,根据弧长公式可求出r的值,再由扇形的面积公式即可得出结论.‎ ‎(1)2+2‎2‎　(2)‎3π‎2‎　[解析] (1)设圆的半径为r,则圆内接等腰直角三角形的斜边长为2r,一条直角边长为‎2‎r,所以周长为2r+2‎2‎r,所以圆弧所对圆心角的弧度数是‎2r+2‎2‎rr=2+2‎2‎.‎ ‎(2)设扇形的半径为r,‎ ‎∵扇形的圆心角为60°,它的弧长为π,‎ ‎∴‎60πr‎180‎=π,解得r=3, ‎ ‎∴S扇形=‎1‎‎2‎×π×3=‎3π‎2‎.‎ 变式题　(1)C　(2)2　[解析] (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角,故选项A,B不正确;又因为拨快10分钟,故应转过的角的绝对值大小为周角的‎1‎‎6‎,即为-‎1‎‎6‎×2π=-π‎3‎.‎ ‎(2)设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=18,即l=18-2r,所以扇形面积S=‎1‎‎2‎l·r=‎1‎‎2‎(18-2r)·r=-r2+9r,当r=‎9‎‎2‎时,S取得最大值,此时l=18-2r=9,所以圆心角的弧度数是lr=‎9‎‎9‎‎2‎=2.‎ 例3　[思路点拨] 利用任意角的三角函数的定义求解.‎ ‎(1)B　(2)-‎3‎‎2‎　[解析] (1)∵角α的终边经过点P(m,-2m),其中m≠0,∴r=m‎2‎‎+(-2m‎)‎‎2‎=‎5‎m‎2‎=‎5‎·|m|.‎ 当m>0时,sin α=‎-2m‎5‎m=-‎2‎‎5‎,cos α=m‎5‎m=‎1‎‎5‎,∴sin α+cos α=-‎5‎‎5‎;‎ 当m<0时,sin α=‎-2m‎-‎5‎m=‎2‎‎5‎,cos α=m‎-‎5‎m=-‎1‎‎5‎,∴sin α+cos α=‎5‎‎5‎.‎ ‎∴sin α+cos α=±‎5‎‎5‎.‎ ‎(2)∵角α以Ox为始边,终边位于第四象限,且与单位圆交于点‎1‎‎2‎‎,y,∴y=-‎1-‎‎1‎‎2‎‎2‎=-‎3‎‎2‎,‎ ‎∴sin α=yr=‎-‎‎3‎‎2‎‎1‎=-‎3‎‎2‎.‎ 例4　[思路点拨] (1)根据条件确定sin θ,cos θ的符号,再确定θ所在的象限;(2)根据α为第二象限角,分别确定2α,α‎2‎的终边所在的象限,再根据象限确定对应函数值的符号.‎ ‎(1)D　(2)A　[解析] (1)由tanθsinθ>0,得‎1‎cosθ>0,所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0,所以sin θ<0,所以θ为第四象限角,故选D.‎ ‎(2)由题意知,2kπ+π‎2‎<α<2kπ+π(k∈Z),则4kπ+π<2α<4kπ+2π(k∈Z),‎ 所以2α的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上,所以sin 2α<0,cos 2α可正可负也可为零.因为kπ+π‎4‎<α‎2‎cos α>tan α,即a>b>c.‎ 方法二:此题也可采用特值法.∵α∈π‎2‎‎,‎‎3π‎4‎,∴可取α=‎2π‎3‎,此时a=sin α=‎3‎‎2‎,b=cos α=-‎1‎‎2‎,c=tan α=-‎3‎,即a>b>c,故选A.‎ 变式题　x2kπ+π‎3‎≤x<2kπ+‎3π‎4‎,k∈Z　[解析] 由题意得,自变量x应满足‎1-2cosx≥0,‎sinx-‎2‎‎2‎>0,‎即cosx≤‎1‎‎2‎,‎sinx>‎2‎‎2‎,‎则如图中阴影部分所示,不等式组的解集为x2kπ+π‎3‎≤x<2kπ+‎3π‎4‎,k∈Z.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【备选理由】 例1考查判断弧度制下的角所在的象限问题;例2考查弧长公式与等差数列的综合问题;例3强化对三角函数定义的理解与应用,并给出了方法二,即利用同角三角函数的基本关系也可求解;例4考查三角函数线的基本应用.‎ 例1　[配合例1使用] 若角α=-4,则α的终边在 (　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎[解析] B　因为-‎3π‎2‎<α=-4<-π,所以依据负角的定义可知α的终边在第二象限.故选B.‎ 例2　[配合例2使用] 如图所示,一条螺旋线是用以下方法画成的:△ABC是边长为1的正三角形,曲线CA1,A1A2,A2A3分别是以A,B,C为圆心,以AC,BA1,CA2为半径画的弧,曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈,然后又以A为圆心,AA3为半径画弧……这样画到第n圈,则所得整条螺旋线的长度ln=　　　　.(用π表示即可) ‎ ‎[答案] n(3n+1)π ‎[解析] 设第n段弧的弧长为an,由弧长公式可得a1=‎2π‎3‎,a2=‎2π‎3‎×2,a3=‎2π‎3‎×3,…, ‎ 所以数列{an}是以‎2π‎3‎为首项,‎2π‎3‎为公差的等差数列.画到第n圈,有3n段弧,故所得整条螺旋线的长度ln=a1+a2+a3+…+a3n=‎2π‎3‎×(1+2+3+…+3n)=n(3n+1)π.‎ 例3　[配合例3使用] 若点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0,cos α=‎3‎‎5‎,则tan α= (　　)‎ A.-‎3‎‎4‎ B.‎‎3‎‎4‎ C.‎4‎‎3‎ D.-‎‎4‎‎3‎ ‎[解析] D　方法一:由题意知,r=‎3‎‎2‎‎+‎y‎2‎,所以cos α=‎3‎‎3‎‎2‎‎+‎y‎2‎=‎3‎‎5‎,解得y=-4或y=4(舍),所以tan α=-‎4‎‎3‎.‎ 方法二:因为点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0,cos α=‎3‎‎5‎,‎ 所以sin α=-‎1-cos‎2‎α=-‎4‎‎5‎,‎ 所以tan α=sinαcosα=-‎4‎‎3‎,故选D.‎ 例4　[配合例5使用] [2018·北京首师大附中月考] 已知cos α≤-‎1‎‎2‎,则角α的取值范围为　　　　　　　　　. ‎ ‎[答案] α2kπ+‎2‎‎3‎π≤α≤2kπ+‎4‎‎3‎π,k∈Z ‎[解析] 如图所示,作出直线x=-‎1‎‎2‎,交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的取值范围为α2kπ+‎2‎‎3‎π≤α≤2kπ+‎4‎‎3‎π,k∈Z.‎