2020届二轮复习“函数与导数、不等式”专题提能课课时作业（全国通用） 8页

课时跟踪检测（二十三） “函数与导数、不等式”专题提能课 A组——易错清零练 ‎1．已知函数f(x)＝ln是奇函数，则实数a的值为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　 　B．－1‎ C．1或－1 D．4‎ 解析：选B　由题意知f(－x)＝－f(x)恒成立，则ln＝－ln，即＋a＝，解得a＝－1.故选B.‎ ‎2．已知f(x)是奇函数，且f(2－x)＝f(x)，当x∈(2,3)时，f(x)＝log2(x－1)，则当x∈(1,2)时，f(x)＝(　　)‎ A．－log2(4－x) B．log2(4－x)‎ C．－log2(3－x) D．log2(3－x)‎ 解析：选C　依题意得f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．当x∈(1,2)时，x－4∈(－3，－2)，－(x－4)∈(2,3)，故f(x)＝f(x－4)＝－f(4－x)＝－log2(4－x－1)＝‎ ‎－log2(3－x)，选C.‎ ‎3．已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－ex＋e－x－mcos x，记a＝‎ ‎－‎2f(－2)，b＝－f(－1)，c＝‎3f(3)，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．b0时，f(x)≥0，f(x)在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．作出函数f(x)的图象如图所示．设t＝f(x)，则关于t的方程t2－(a＋2)t＋3＝0有两个不同的实数根，且t∈(1,2]．令g(t)＝t2－(a＋2)t＋3，‎ 则解得2－23>，所以f x0，则f(x1)的值(　　)‎ A．等于0 B．不大于0‎ C．恒为正值 D．恒为负值 解析：选D　由题意得f(x)＝e－x＋log3＝x－log3x，方程f(x)＝0，即f(x)＝x－log3x＝0.则x0为y1＝x与y2＝log3x图象的交点的横坐标，画出函数y1＝x与y2＝log3x的图象(图略)，可知当x1>x0时，y2>y1，f(x1)＝y1－y2<0，故选D.‎ ‎2．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(－∞，0)上是减函数，f(2)＝0，g(x)＝f(x＋2)，则不等式xg(x)≤0的解集是(　　)‎ A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)‎ B．[－4，－2]∪[0，＋∞)‎ C．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)‎ D．(－∞，－4]∪[0，＋∞)‎ 解析：选C　依题意，画出函数的大致图象如图所示，‎ 实线部分为g(x)的草图，‎ 则xg(x)≤0⇔ 或 由图可得xg(x)≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)．‎ ‎3．已知函数f(x)＝ex(x－b)(b∈R)．若存在x∈，使得f(x)＋xf′(x)＞0，则实数b的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　由f(x)＋xf′(x)＞0，得[xf(x)]′＞0，‎ 设g(x)＝xf(x)＝ex(x2－bx)，‎ 若存在x∈，使得f(x)＋xf′(x)＞0，‎ 则函数g(x)在区间上存在子区间使得g′(x)＞0成立．‎ g′(x)＝ex(x2－bx)＋ex(2x－b)＝ex[x2＋(2－b)x－b]，‎ 设h(x)＝x2＋(2－b)x－b，‎ 则h(2)＞0或h＞0，‎ 即8－3b＞0或－b＞0，得b＜.‎ ‎4．已知函数f(x)＝x2＋aln x.‎ ‎(1)当a＝－2e时，求函数f(x)的单调区间和极值；‎ ‎(2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1,4]上是减函数，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝－2e时，f′(x)＝2x－＝.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：‎ x ‎(0，)‎ ‎(，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极小值  由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)，‎ 极小值是f()＝0，无极大值．‎ ‎(2)由g(x)＝x2＋aln x＋，得g′(x)＝2x＋－.‎ 又函数g(x)＝x2＋aln x＋为[1,4]上是减函数，‎ 则g′(x)≤0在[1,4]上恒成立，‎ 所以不等式2x－＋≤0在[1,4]上恒成立，‎ 即a≤－2x2在[1,4]上恒成立．‎ 又φ(x)＝－2x2在[1,4]为减函数，‎ 所以φ(x)的最小值为φ(4)＝－，所以a≤－.‎ 即实数a的取值范围为.‎ ‎5．设函数f(x)＝x3－x2＋2x，g(x)＝ax2－(a－2)x.‎ ‎(1)对于任意实数x∈[－1,2]，f′(x)≤m恒成立，求m的最小值；‎ ‎(2)若方程f(x)＝g(x)在区间(－1，＋∞)有三个不同的实根，求a的取值范围．‎ 解：(1)∵f′(x)＝x2－x＋2，对称轴x＝∈[－1,2]，‎ ‎∴f′(x)max＝f′(－1)＝4≤m，即m的最小值为4.‎ ‎(2)令h(x)＝f(x)－g(x)＝x3－(a＋1)x2＋ax，‎ 则h′(x)＝x2－(a＋1)x＋a.‎ 由h′(x)＝0，得x＝1或x＝a.‎ ‎①当a>1时，h′(x)，h(x)随x的变化如下表：‎ x ‎(－1,1)‎ ‎1‎ ‎(1，a)‎ a ‎(a，＋∞)‎ h′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ h(x)‎  极大值  极小值  若方程f(x)＝g(x)在区间(－1，＋∞)有三个不同的实根，‎ 则解得a>3.‎ ‎②当－10，b>0，∴＋≥2，当且仅当b＝‎2a时取等号，∴－－≤－－2＝－，∴－－的上确界为－，故选A.‎ ‎4．数学上称函数y＝kx＋b(k，b∈R，k≠0)为线性函数．对于非线性可导函数f(x)，‎ 在点x0附近一点x的函数值f(x)，可以用如下方法求其近似代替值：f(x)≈f(x0)＋f′(x0)‎ ‎(x－x0)．利用这一方法，m＝的近似代替值(　　)‎ A．大于m B．小于m C．等于m D．与m的大小关系无法确定 解析：选A　依题意，取f(x)＝，则f′(x)＝，则有≈＋(x－x0)．‎ 令x＝4.001，x0＝4，则有≈2＋×0.001，注意到2＝4＋0.001＋2>4.001，即m＝的近似代替值大于m，故选A.‎ ‎5．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[2,4] B． C． D．[2,3]‎ 解析：选D　∵f′(x)＝ex－1＋1>0，∴f(x)＝ex－1＋x－2是增函数，又f(1)＝0，∴函数f(x)的零点为x＝1，∴α＝1，∴|1－β|≤1，∴0≤β≤2，∴函数g(x)＝x2－ax－a＋3在区间[0,2]上有零点，由g(x)＝0得a＝(0≤x≤2)，即a＝＝(x＋1)＋－2(0≤x≤2)，设x＋1＝t(1≤t≤3)，则a＝t＋－2(1≤t≤3)，令h(t)＝t＋－2(1≤t≤3)，易知h(t)在区间[1,2)上是减函数，在区间(2,3]上是增函数，∴2≤h(t)≤3，即2≤a≤‎ ‎3，故选D.‎ ‎6．函数y＝f(x)图象上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)处的切线的斜率分别为kA，kB，规定K(A，B)＝(|AB|为线段AB的长度)叫做曲线y＝f(x)在点A与点B之间的“近似曲率”．设曲线y＝上两点A，B(a>0且a≠1)，若m·K(A，B)>1恒成立，则实数m的取值范围是________．‎ 解析：因为y′＝－ ，所以kA＝－，kB＝－a2，‎ 又|AB|＝ ＝，‎ 所以K(A，B)＝＝>，<，所以由m>得，m≥.‎ 答案： ‎7．设函数f(x)＝ex－1－x－ax2.‎ ‎(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．‎ 解：(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.‎ 当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；‎ 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.‎ 故f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．‎ ‎(2)当x＝0时，f(x)＝0，对任意实数a，均有f(x)≥0；‎ 当x>0时，f(x)≥0等价于a≤.‎ 令g(x)＝(x>0)，‎ 则g′(x)＝，‎ 令h(x)＝xex－2ex＋x＋2(x>0)，‎ 则h′(x)＝xex－ex＋1，h″(x)＝xex>0，‎ ‎∴h′(x)在(0，＋∞)上为增函数，h′(x)>h′(0)＝0，‎ ‎∴h(x)在(0，＋∞)上为增函数，h(x)>h(0)＝0，‎ ‎∴g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数．‎ 由洛必达法则知， ＝＝＝，故a≤.‎ 综上，a的取值范围为.‎