吉林省长春市德惠市九校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题 19页

‎2019--2020学年度第一学期期中考试高二数学（理）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.命题“若，则”的逆否命题是 ‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 把“若，则”看成原命题，‎ 它的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置，‎ 它的逆否命题是若，则 故选 ‎2.对于命题和，若且为真命题，则下列四个命题：①或是真命题，②且是真命题，③且是假命题，④或是假命题，其中真命题是（ ）‎ A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断命题，的真假，然后判断，的真假，并判断复合命题的真假．‎ ‎【详解】解：且为真命题；‎ ‎，都为真命题；‎ ‎①或是真命题，正确，和中，是真命题；‎ ‎②且是真命题，错误，和中，是假命题，且是假命题；‎ ‎③且是假命题，正确，为假命题，且是假命题；‎ ‎④或是假命题，错误，和中是真命题，或是真命题．‎ 其中真命题：①③．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】考查由“且“，“或“连接的复合命题且，或的真假和命题，真假的关系，和真假的关系．‎ ‎3.已知，，若，则等于 （ ）‎ A. -26 B. -10 C. 2 D. 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，由于，，且有，则可知，故可知选A.‎ 考点：向量垂直 点评：主要是考查了向量垂直的坐标公式的运用，属于基础题。‎ ‎4. 以下四组向量中，互相平行的有（ ）组.‎ ‎(1),； (2),；‎ ‎(3),； (4),‎ A. 一组 B. 二组 C. 三组 D. 四组 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：四组向量中(2)中满足，(3)中满足，所以两向量平行 考点：两向量平行的判定 ‎5.在长方体中，，则异面直线与所成角的正切值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 异面直线与所成角即为与所成角。‎ ‎【详解】在长方体中，直线与直线平行，则直线与所成角即为与所成角，在直角三角形中，,,所以 ‎ ，所以异面直线与所成角的正切值为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角，基本方法是将异面直线平移共起点构造三角形求解。‎ ‎6.对抛物线，下列描述正确的是 A. 开口向上，焦点为 B. 开口向上，焦点为 C. 开口向右，焦点为 D. 开口向右，焦点为 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：因为抛物线，可知化为标准式为抛物线，2p=1/4，故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为，选B ‎7.以为焦点的抛物线的准线与双曲线相交于两点，若为正三角形，则抛物线的标准方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意, 以 为焦点的抛物线的准线y=代入双曲线,可得，‎ ‎∵△MNF为正三角形，‎ ‎∴，‎ ‎∵p>0,∴，‎ ‎∴抛物线C的方程为，‎ 故选：C.‎ ‎8.若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则n=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：椭圆离心率性质 点评：由椭圆方程找到值 ‎9.已知点P是抛物线x=y2上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（　　）‎ A. 2 B. C. ﹣1 D. +1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意画图可知PB+PA=PF-1+PA,选C.‎ ‎【点睛】‎ 对圆锥曲线中距离和或差的最值问题，一般有两种处理方法，一种是利用圆锥曲线的定义把到准线（或与准线平行的直线）的距离转化到焦点，把到焦点的距离转化到准线，二种是利用函数思想，把最值问题转化为函数问题。一般优先考虑第一种，本题采用的是第一种。‎ ‎10.“k＞9”是“方程表示双曲线”的 ( )‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当k＞9时，9－k＜0，k－4＞0，方程表示双曲线．‎ 当k＜4时，9－k＞0，k－4＜0，方程也表示双曲线．‎ ‎∴“k＞9”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件．选B.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎11.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题意，以为坐标原点，直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，平面外一点到平面的距离可以用平面上任意一点与该点的连线在平面法向量上的投影表示，而法向量垂直于平面上所有向量，由，即可求得平面的法向量，而在上的投影即为点到面的距离，即可求得结果 ‎【详解】以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：‎ 设，则，,，，‎ 为的中点，则 ‎，，‎ 设平面的法向量为，则 ‎，即 可得 可取 点到面的距离为 故选 ‎【点睛】本题是一道关于点到平面距离的题目，解题的关键是掌握求点到面距离的方法，建立空间直角坐标系，结合法向量求出结果，属于中档题。‎ ‎12.已知椭圆C的方程为，焦距为，直线 与椭圆C相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意表示出点坐标，然后代入椭圆方程，得到关于关系，求出离心率.‎ ‎【详解】设直线与椭圆在第一象限内的交点为，则 由，可知，即，解得，‎ 所以 把点代入椭圆方程得到，‎ 整理得，即，‎ 因，所以可得 故选A项.‎ ‎【点睛】本题考查通过对已知条件的转化，将椭圆上一点的坐标用表示，再代入椭圆方程求出离心率，属于中档题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡相应的位置上）‎ ‎13.直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点的轨迹方程是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点，则，由，所以，代入，即可求解。‎ ‎【详解】设点，则，可得，‎ 因为，所以，即，‎ 所以点的轨迹方程为。‎ 故答案为：。‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及轨迹方程的求解，其中解答中熟练应用向量的数量积的运算公式，准确计算即可求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎14.已知曲线，过点且被点平分的弦所在的直线方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设两个交点的坐标分别为，，，，利用点差法求得直线的斜率，进一步求出直线方程，然后验证直线与曲线方程由两个交点即可．‎ ‎【详解】解：设两个交点的坐标分别为， ‎ 所以，，两式相减得，‎ ‎，的中点为 ‎，，，‎ 所以直线的方程为，即．‎ 由点在双曲线内部，直线方程满足题意．‎ 所在直线的方程是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是充分运用数形结合的数学思想、方程的数学思想和转化的数学思想来解决较为复杂的综合题．‎ ‎15.给出下列命题：‎ ‎①命题“若，则”的否命题为“若，则”；‎ ‎②“”是“”的必要不充分条件；‎ ‎③命题“，使得”的否定是：“，均有”；‎ ‎④命题“若，则”的逆否命题为真命题 其中所有正确命题的序号是________.‎ ‎【答案】④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断．②利用充分条件和必要条件的定义判断．③利用特称命题的否定判断．④利用逆否命题的等价性进行判断．‎ ‎【详解】解：①根据否命题的定义可知命题“若，则”的否命题为“若，则”，所以①错误．‎ ‎②由得或，所以②“”是“”的充分不必要条件，所以②错误．‎ ‎③根据特称命题的否定是全称命题得命题“，使得”的否定是：“，均有”，所以③错误．‎ ‎④根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确，所以命题“若，则”的逆否命题为真命题，所以④正确．‎ 故答案为：④．‎ ‎【点睛】本题主要考查命题的真假判断，以及四种命题的真假关系的判断，比较基础．‎ ‎16.已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，运用双曲线的定义和条件可得，，，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．‎ ‎【详解】解：设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，‎ 由双曲线的定义可得，‎ 由，可得，，，‎ 由可得，‎ 在三角形中，由余弦定理可得：‎ ‎，‎ 即有，‎ 化简可得，，‎ 则双曲线的离心率．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和定义法，以及余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17.已知实数，满足，实数，满足.‎ ‎（1）若时为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）且真，则都是真命题，解这两个不等式后取交集即可得到实数的取值范围.（2）是的必要不充分条件，则的范围是的范围的子集，由此得到 的取值范围.‎ 试题解析：（1）由，得.当时，，即为真命题时，.‎ 由得，所以真时，.‎ 若为真，则 所以实数的取值范围是.‎ ‎（2）设，，‎ 是的充分不必要条件，‎ 所以，从而.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎18.已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，且点到焦点的距离为4，过作抛物线的切线（斜率不为0），切点为.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：以为直径的圆过点.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）点到焦点的距离为4，即为到准线的距离为4，点的纵坐标为3，便可解出参数的值；‎ ‎（Ⅱ）要证以为直径的圆过点，即证，根据条件求出点。‎ ‎【详解】解：（1）由题知，，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）设切线的方程为，，‎ 联立，消去可得，‎ 由题意得，即，‎ ‎∴切点，‎ 又，∴.‎ ‎∴，故以为直径的圆过点.‎ ‎【点睛】确定抛物线的方程只要确定其中的参数，可以构造方程或利用抛物线的定义求解；直线与抛物线位置关系问题常见的方法是联立直线与抛物线方程，消参数处理，当抛物线方程可以看成函数时也可采用导数进行研究。‎ ‎19.如图，四棱锥中，平面，底面是正方形,为中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离；‎ ‎（3）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知条件推导出，，由此得到平面，从而能够证明平面．‎ ‎（2）过点作于点，平面平面，从而得到线段的长度就是点到平面的距离，由此能求出结果．‎ ‎（3）以点为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．‎ ‎【详解】（1）证明：平面，，‎ 又正方形中，，平面，‎ 又平面，，，是的中点，‎ ‎，平面 ‎（2）过点作于点，由（1）知平面平面，‎ 又平面平面，平面，‎ 线段的长度就是点到平面的距离，‎ ‎，，‎ ‎.‎ ‎（3）以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知：‎ ‎，‎ 设平面的法向量为，则，‎ ‎，令，得到，‎ 又，且平面，‎ 平面的一个法向量为.设二面角的平面角为 则.二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．‎ ‎20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2周长为8．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据三角形周长为8，结合椭圆的定义可知，，利用，即可求得和的值,求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线斜率斜存在时,联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得和的关系，利用点到直线的距离公式即可求得点到直线的距离是否为定值.‎ ‎【详解】（1）由题意知，4a=8，则a=2，‎ 由椭圆离心率，则b2=3．‎ ‎∴椭圆C的方程；‎ ‎（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．‎ 又A，B两点在椭圆C上，‎ ‎∴，‎ ‎∴点O到直线AB的距离，‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0．‎ 由已知△＞0，x1+x2=，x1x2=，‎ 由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，‎ 整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴7b2=12（k2+1），满足△＞0．‎ ‎∴点O到直线AB的距离为定值．‎ 综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点到直线的距离公式，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎ ‎21.设A，B分别为双曲线 (a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）t＝4，点D的坐标为(4，3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由双曲线的实轴长得a的值，再由焦点到渐近线的距离可得＝，解方程可得双曲线的方程；‎ ‎（2）设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，由向量坐标化可得：x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，再由直线与双曲线联立得x2－16x＋84＝0，结合坐标关系利用韦达定理即可求解.‎ ‎【详解】(1)由题意知a＝2.‎ ‎∴一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0.‎ ‎∴＝.‎ 又c2＝a2＋b2＝12＋b2，∴解得b2＝3.‎ ‎∴双曲线的方程为.‎ ‎(2)设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.‎ 将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0.‎ 则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.‎ ‎∴∴‎ 由，得(16，12)＝(4t,3t)．‎ ‎∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线方程的求解及直线与双曲线的位置关系，向量坐标化，主要是通过直线与双曲线联立利用韦达定理求解.‎ ‎22.已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足.‎ ‎(Ⅰ)当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；‎ ‎(Ⅱ)若斜率为的直线与圆相切，与(Ⅰ)中所求点的轨迹交于不同的两点，且（其中是坐标原点）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）中线段的垂直平分线，所以，所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，从而可得椭圆方程；（2）设直线 ‎，直线与圆相切，可得直线方程与椭圆方程联立可得：，可得，再利用数量积运算性质、根与系数的关系及其即可解出的范围.‎ 试题解析：（1）由题意知中线段的垂直平分线，所以 所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，‎ 故点的轨迹方程式 ‎（2）设直线 直线与圆相切 联立 所以或为所求.‎ ‎ ‎ ‎ ‎