天津市河东区2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 13页

数学试题 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.若复数的实部与虚部之和为零，则的值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的实部与虚部之和为零，得，求解即可得答案．‎ ‎【详解】由复数的实部与虚部之和为零，‎ 得，即．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎2.为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数代数形式的乘法运算化简，再利用纯虚数的定义求解即可．‎ ‎【详解】是纯虚数，‎ ‎，即，故选C．‎ ‎【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎3.下列式子错误的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，依次计算选项函数的导数，综合即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，，正确；‎ 对于B，，错误；‎ 对于C，，正确；‎ 对于D，，正确；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．‎ ‎4.设，若在处的导数，则的值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接求出原函数的导函数，由列式求解的值．‎ ‎【详解】由，得．‎ 由，解得：．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了简单的复合函数求导，关键是不要忘记对内层函数求导，是基础题．‎ ‎5.若复数z满足z（i-1）=2i（i为虚数单位），则为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．‎ ‎【详解】z（i-1）=2i（i为虚数单位），∴-z（1-i）（1+i）=2i（1+i），‎ ‎∴-2z=2（i-1），解得z=1-i．则=1+i．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．‎ ‎6.复数，则　　‎ A. B. 4 C. 5 D. 25‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简，再求模即可．‎ ‎【详解】解：z（﹣3+4i）＝3﹣4i，‎ ‎∴|z|5，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎7.设函数在定义域内可导，的图像如图所示，则导函数的图像可能为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案.‎ ‎【详解】由函数的图象可知，当时，单调递减，所以时， ，符合条件的只有D选项，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题.‎ ‎8.已知函数，则的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数，即可得到结论．‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 令，‎ 则，‎ 则，‎ 则，‎ 则，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用导数求出的值是解决本题的关键．‎ ‎9.设是定义在［－1，1］上的可导函数，，且，则不等式的解集为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由导函数可得原函数，再根据函数单调性与奇偶性化简不等式，解得结果.‎ ‎【详解】因为，所以，因此为上的奇函数和增函数，，则，故选D．‎ ‎【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.‎ 二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．‎ ‎10.已知为虚数单位，则复数_______.‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用虚数单位的运算性质得答案.‎ ‎【详解】；‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了虚数单位的性质，是基础题．‎ ‎11.设，其中为虚数单位.若，则在复平面上对应点的坐标为_______.‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用复数的运算法则、几何意义即可得出．‎ ‎【详解】，‎ 则在复平面上对应点的坐标为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎12.已知函数在区间，上的平均变化率分别为，，那么，的大小关系为_______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平均变化率列出相应的式子，在讨论自变量的情况下，比较两个数的大小．‎ ‎【详解】当，时，平均变化率，‎ 当，时，平均变化率，‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】应熟练掌握函数在某点附近的平均变化率，属于基础题．‎ ‎13.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，问题转化为和在上有2个交点，根据函数的单调性求出的范围，从而求出的范围即可．‎ ‎【详解】，‎ 若函数有两个极值点，‎ 则和在上有2个交点，‎ ‎，‎ 时，即，递增，‎ 时，，递减，‎ 故（1），‎ 而恒成立，所以，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．‎ ‎14.函数的图象在点处切线方程为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数，再求出f（1），利用直线方程的点斜式得答案．‎ ‎【详解】由，得，‎ 则，又，所以切线方程为，‎ 即.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究曲线在某点处的切线方程，是基础题．‎ ‎15.若函数在处取得极小值，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 求导函数可得，所以，解得 或，‎ 当时，，函数在处取得极小值，符合题意；‎ 当时，，函数在处取得极大值，不符合题意，不符合题意，所以.‎ 三．解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16.已知复数为虚数单位）．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用复数的四则运算，先进行化简，结合若，即可求；‎ ‎（2）结合复数的几何意义，求出对应点的坐标，结合点与象限的关系即可求的取值范围．‎ ‎【详解】（1），‎ 若，则，得，此时；‎ ‎（2）若在复平面内对应的点位于第一象限，‎ 则且，‎ 得，即，‎ 即的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的四则运算以及复数几何意义的应用，对复数进行化简是解决本题的关键．‎ ‎17.求下列函数的导数：‎ ‎（1） ‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求积的导数，.‎ ‎(2)求商导数，，由复合函数的导数得.‎ ‎【详解】(1)‎ ‎(2)‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查导数的运算，考查积和商的导数、复合函数的导数，按照基本导数公式和导数运算法则进行计算即可.‎ ‎18.函数上一点处的切线方程为，求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，代入切线方程，，‎ 即，并且，联立方程求的值.‎ ‎【详解】在上，，‎ ‎，‎ 又因为处的切线斜率为，，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查已知函数在某点处的切线方程，求参数的取值，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）若函数，，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若不等式有解，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的单调减区间为：，单调增区间为：；（2）k>-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可得 求导得，‎ 令，由的单调性得的单调性．‎ ‎（2）不等式有解，则 设，求的最小值，从而求的取值范围．‎ ‎【详解】（1）因为.‎ 所以.‎ 设，则，即在上单调递增，所以 所以，当时，，则单调递增；‎ 当时，，则单调递增.‎ ‎（2）因为，.‎ 所以.‎ 设，则.‎ 由于上单调递增，且.‎ 所以当时，，则单调递减；‎ 当时，，则单调递增.‎ 所以.综上，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导函数解不等式 ‎（1）恒成立问题或存在性问题常利用分离参数法转化为最值求解 ‎（2）证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题，属于偏难题目．‎ ‎20.已知函数f（x）＝lnx．‎ ‎（1）若a＝4，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若函数f（x）在区间（0，1]内单调递增，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若x1、x2∈R+，且x1≤x2，求证：（lnx1﹣lnx2）（x1+2x2）≤3（x1﹣x2）．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将a=4代入f(x)求出f(x)的导函数,然后根据导函数的符号,得到函数的单调区间;‎ ‎(2)根据条件将问题转化为在,上恒成立问题,然后根据函数的单调性求出的范围;‎ ‎(3)根据条件将问题转化为成立问题,令,即成立,再利用函数的单调性证明即可.‎ ‎【详解】解:(1)的定义域是,,‎ 所以时,,‎ 由,解得或,‎ 由,解得,‎ 故在和,上单调递增,在,上单调递减.‎ ‎(2)由(1)得,‎ 若函数在区间,递增,则有在,上恒成立,‎ 即在,上恒成立成立,所以只需,‎ 因为函数在时取得最小值9,所以,‎ 所以a的取值范围为.‎ ‎(3)当时,不等式显然成立,‎ 当时,因为,,所以要原不等式成立,‎ 只需成立即可,‎ 令,则,‎ 由(2)可知函数在,递增,所以,‎ 所以成立,‎ 所以(lnx1﹣lnx2)(x1+2x2)≤3(x1﹣x2).‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题和不等式的证明,考查了转化思想和分类讨论思想,属难题.‎ ‎ ‎