安徽师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考查数学（文）试题 9页

安徽师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考查数学（文）试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 若直线的倾斜角为,则该直线的斜率为(    )‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：直线的倾斜角为, 该直线的斜率为． 故选：D． 由直线的斜率等于倾斜角的正切值求解． 本题考查直线倾斜角与斜率的关系,是基础的计算题． ‎ 2. 若点到直线的距离是,则实数a为     ‎ A. B. ‎5 ‎C. 或5 D. 或3‎ ‎【答案】C ‎【解析】【分析】 本题考查了点到直线的距离公式的应用,属于基础题解题时应熟记点到直线的距离公式． 由点到直线的距离公式即可求出实数a的值． 【解答】 解：点到直线的距离是, 所以； 即, 解得,或, 所以实数a的值为或5． 故选C． ‎ 3. 若三直线：,：,：经过同一个点,则(    )‎ A. 1 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：三直线：,：,：经过同一个点, 故：,：的交点在直线：上, 故有,求的, 故选：D． 三直线经过同一个点,其中两条直线的交点也在第三条直线上,从而求得a的值． 本题主要考查三直线经过同一个点问题,属于基础题． ‎ 4. 一圆锥形物体的母线长为4,其侧面积为,则这个圆锥的体积为   ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：圆锥的展开图为扇形,半径,侧面积为为扇形的面积, 所以扇形的面积,解得, 所以弧长,所以底面周长为, 由此可知底面半径,所以底面面积为, 圆锥体的高为, 故圆锥的体积, ‎ 故选：C． 利用圆锥的侧面展开图,扇形的面积,然后转化求解圆锥的体积． 本题考查圆锥的体积的求法,考查转化思想以及计算能力． ‎ 1. 某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为(    )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：底面ABCD, ,, ,,可得三角形PCD不是直角三角形． 所以侧面中有3个直角三角形,分别为：,, ． 故选：C． 画出三视图的直观图,判断各个面的三角形的情况,即可推出结果． 本题考查简单几何体的三视图的应用,是基本知识的考查． ‎ 2. 过点作直线,若直线在两条坐标轴上的截距相等,则满足条件的直线有(    )‎ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 ‎【答案】B ‎【解析】解：当直线过原点时,直线方程为,即． 当直线不过原点时,设直线方程为,把点代入可得,, 此时,直线方程为,故满足条件的直线有2条, 故选：B． 当直线过原点时,用点斜式求得直线方程；当直线不过原点时,设直线方程为,把点代入可得 ,故满足条件的直线有2条． 本题考查直线在两条坐标轴上的截距的定义,体现了分类讨论的数学思想,注意考虑直线过原点的情况,这是解题的易错点． ‎ 3. 已知三棱锥中,PA,PB,PC两两垂直,且,则三棱锥外接球的表面积为   ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】【分析】 本题考查多面体外接球表面积的求法,训练了利用“分割补形法”求多面体的体积,是基础题． 由三棱锥的侧棱PA,PB,PC两两垂直且相等,直接补形为正方体求解． 【解答】 解：如图, 把三棱锥补形为正方体,可得三棱锥外接球的半径． 三棱锥外接球的表面积为． 故选：D． ‎ 1. 已知点,,直线m过,且与线段AB相交,求直线m的斜率k的取值范围为(    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：根据题意,直线m过,设直线m的方程为, 即, 若直线m与线段AB相交,即A、B在直线的两侧或直线上, 则有, 解可得：或； 故选：A． 根据题意,设直线m的方程为,分析可得若直线m与线段AB相交,即A、B在直线的两侧或直线上,则有,解可得k的范围,即可得答案． 本题考查一元二次不等式组表示平面区域的问题,注意直线m与线段AB相交,即A、B在直线的两侧或直线上． ‎ 2. 已知a、b为不重合的直线,为平面,下列命题： 若,,则； 若,,则； 若,,则； 若,,则,其中正确的有(    )个 A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：错,若,,则或, 错,若,,则a与b平行或异面, 错,若,,则或, 错,若,,则或． 故选：A． 由空间中的线面关系逐个核对四个命题得出答案 属于基础题,考查直线与平面的位置关系,空间想象能力． ‎ 1. 已知直线和直线都过点,则过点和点的直线方程是(    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：把坐标代入两条直线和,得 ,, , 过点,的直线的方程是：, ,则, ,, 所求直线方程为：． 故选：B． 把坐标代入两条直线和得,,求出,再用两点式方程求过点,的直线的方程． 本题考查直线方程的求法,解题时要结合题设条件,合理地选用解题方法,注意公式的灵活运用,是基础题． ‎ 2. 如图,正方体的棱长为1,动点E在线段上,F、M分别是AD、CD的中点,则下列结论中错误的是(    )‎ A. B. 平面 C. 存在点E,使得平面平面 D. 三棱锥的体积为定值 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：在A中,因为F、M分别是AD、CD的中点,所以,故A正确； 在B中,由平面几何得,又有,所以平面,故B正确； 在C中,BF与平面有交点,所以不存在点E,使得平面平面,故C错误． 在D中,三棱锥以面BCF为底,则高是定值,所以三棱锥的体积为定值,故D正确． 故选：C． 在A中,由F、M分别是AD、CD的中点,得到；在B中,由,,得平面；在C中,BF与平面有交点,所以不存在点E,使得平面平面；在D中,三棱锥以面BCF为底,则高是定值,从而三棱锥的体积为定值． 本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题． ‎ 3. 如图,在棱长为1的正方体中,点分别是棱的中点,P是侧面内一点,若平面  则线段长度的取值范围是    ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：如下图所示： 分别取棱、的中点M、N,连接MN,连接, 、N、E、F为所在棱的中点,,, ,又平面AEF,平面AEF, 平面AEF； ,,四边形为平行四边形, ,又平面AEF,平面AEF, 平面AEF, 又,平面平面AEF, 是侧面内一点,且平面AEF, 则P必在线段MN上, 在中,, 同理,在中,求得, 为等腰三角形, 当P在MN中点O时,此时最短,P位于M、N处时最长, , , 所以线段长度的取值范围是 故选：B． 分别取棱、的中点M、N,连接MN,易证平面平面AEF,由题意知点P必在线段MN上,由此可判断P在M或N处时最长,位于线段MN中点处时最短,通过解直角三角形即可求得． 本题考查点、线、面间的距离问题,考查学生的运算能力及推理转化能力,属中档题,解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置． ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 1. 过点且垂直于直线的直线方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：直线的斜率为, 由垂直关系可得所求直线的斜率为, 所求直线的方程为, 化为一般式可得 故答案为： 由垂直关系可得直线的斜率,进而可得点斜式方程,化为一般式即可． 本题考查直线的一般式方程与垂直关系,属基础题． ‎ 2. 底面边长6,侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：过A向底面BCD做垂线,垂足为O,由正三棱锥知,底面为正三角形,O为三角形ABC的中心,所以, 因为侧面为等腰直角三角形,所以侧棱,在中,有勾股定理所以． 故答案为． 由正三棱锥知,底面为正三角形,得OB长,在直角三角形OAB中得AO即为正三棱锥的高． 本题考查正三棱锥的性质,属于简单题． ‎ 1. 已知动点A,B分别在x轴和直上,C为定点,则周长的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：点C关于直线的对称点为, 点C关于x轴的对称点为三角形PAB周长的最小值为与两点之间的直线距离, ． 故答案为：． 点C关于直线的对称点为,点C关于x轴的对称点为三角形PAB周长的最小值为与两点之间的直线距离． 本题考查点到直线的距离公式,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化． ‎ 2. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上,是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且；则此棱锥的体积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：根据题意作出图形： 设球心为O,过ABC三点的小圆的圆心为,则平面ABC, 延长交球于点D,则平面ABC． , , 高, 是边长为1的正三角形, , ． 故答案为． 根据题意作出图形,利用截面圆的性质即可求出,进而求出底面ABC上的高SD,即可计算出三棱锥的体积． 利用截面圆的性质求出是解题的关键． ‎ 三、解答题（本大题共5小题）‎ 3. 已知直线：,：,求： 若,求m的值； 若,求m的值．‎ ‎【答案】解：时,两条直线不垂直,舍去． 时,,,‎ 解得． 综上可得：． 由,解得：或． 经过验证时两条直线重合,舍去． 时,．‎ ‎【解析】对m分类讨论,利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出． 由,解得：或． 经过验证时两条直线重合,舍去． 本题考查了直线平行与垂直的充要条件、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题． ‎ 1. 在四棱锥中,底面ABCD是正方形,底面ABCD,且． ‎ 求证：平面PAC；‎ 求异面直线BC与PD所成的角．‎ ‎【答案】解：证明：平面ABCD,平面ABCD, , 又为正方形, , ,AC是平面PAC内的两条相交直线, 平面PAC 解：为正方形, , 为异面直线BC与PD所成的角 由已知可知,为直角三角形,且, , , 异面直线BC与AD所成的角为．‎ ‎【解析】由题意易得且,又由PA,AC是平面PAC内的两条相交直线,即可得平面PAC ,所以为异面直线BC与PD所成的角解三角形得所以异面直线BC与AD所成的 角为． 本题考查线面垂直的条件直线垂直于平面内的两条相交直线,解决异面直线的夹角关键是平移线段使其相交且存在于同一个三角形中． ‎ 1. 已知直线l：． 证明：直线l过定点； 若直线l不经过第四象限,求k的取值范围； 若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程．‎ ‎【答案】解：直线l的方程可化为, 故无论k取何值,直线l总过定点． 直线l的方程可化为,则直线l在y轴上的截距为, 要使直线l不经过第四象限,则, 解得k的取值范围是． 依题意,直线l在x轴上的截距为,在y轴上的截距为, ,, 又且, ,故 , 当且仅当,即时,取等号, 故S的最小值为4,此时直线l的方程为．‎ ‎【解析】本题考查直线过定点问题,直线在坐标系中的位置,以及基本不等式的应用注意检验等号成立的条件属难题． 直线l的方程可化为,直线l过定点； 要使直线l不经过第四象限,则直线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数,解出k的取值范围； 先求出直线在两个坐标轴上的截距,代入三角形的面积公式,再使用基本不等式可求得面积的最小值． ‎ 2. 如图,在直三棱柱中,M,N分别为棱AC,的中点,且 求证：平面平面 求证：平面 ‎ ‎【答案】证明：因为M为棱AC的中点,且,所以, 又因为是直三棱柱,所以平面ABC 因为平面ABC,所以 又因为AC,平面且,所以平面 因为平面BMN,所以：平面平面 取BC的中点P,连接和MP 因为M、P为棱AC、BC的中点, 所以,且, 因为是直三棱柱, 所以, 因为N为棱的中点, 所以,且； 所以,且； 所以是平行四边形, ‎ 所以 又因为平面BCC,平面 所以平面 注意：也可以取的中点,同理用线面平行的判定定理证得说明：如用面面平行的性质定理证的话,一定先证线面平行,得到面面平行,再用面面平行的性质定理证得．‎ ‎【解析】利用线线垂直,可得线面垂直平面,再有线面垂直得平面平面 利用证明是平行四边形得证平面 本题考查线面垂直,面面垂直的判定定理和性质定理,线面平行的性质和判定定理考查证明平行垂直的线的关系,属于中档题． ‎ 1. 如图,ABCD是边长为3的正方形,平面ABCD,平面ABCD,． 证明：平面平面DCE； 在DE上是否存在一点G,使平面FBG将几何体ABCDEF分成上下两部分的体积比为3：11？若存在,求出点G的位置；若不存在,请说明理由． ‎ ‎【答案】解：平面ABCD,平面ABCD, ,平面DCE, 是正方形,,平面DCE, ,平面ABF,平面ABF, 平面平面DCE． 假设存在一点G,过G作交EC于M, 连接BG,BM,如图所示； , 设,则, 设M到ED的距离为h, 则,,； ,解得； 即存在点G且满足条件．‎ ‎【解析】由平面ABCD,平面ABCD得出,由平面DCE,平面DCE,得出平面平面DCE； 假设存在一点G,过G作交EC于M,连接BG,BM,计算几何体ABCDEF和GFBME的体积,从而求得EG的值． 本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题,也考查了几何体体积的计算问题,是中档题． ‎