【数学】2020届一轮复习人教B版不等式学案 8页

‎　不等式 函数与不等式 考向1　不等式的解法 ‎1．一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．‎ ‎2．简单分式不等式的解法 ‎(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；‎ ‎(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. ‎ ‎2．利用基本不等式求最大值、最小值的基本法则 ‎(1)如果x＞0，y＞0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2(简记为：积定，和有最小值)．‎ ‎(2)如果x＞0，y＞0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值)．‎ ‎ (1)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________．‎ ‎ (2)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．‎ ‎【答案】　(1)8　(2)4‎ ‎【解析】　(1)因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，所以＋＝1，因为a>0，b>0，所以2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时等号成立，所以2a＋b的最小值为8.‎ ‎(2)＝＋＋，由基本不等式得，＋＋≥2＋＝4ab＋≥4，当且仅当＝，4ab＝同时成立时等号成立．‎ 利用基本不等式求最值应关注的三点 ‎(1)利用基本不等式必须注意“一正二定三相等”的原则．‎ ‎(2)基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式．常见的转化方法有：‎ ‎①x＋＝x－a＋＋a(x＞a)． ‎ ‎②若＋＝1，则mx＋ny＝(mx＋ny)·1‎ ‎＝(mx＋ny)·≥ma＋nb＋2(字母均为正数)．‎ ‎(3)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错．　 ‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为(　　)‎ A．0　　　　　　　　 B． C．1 D. ‎【答案】A ‎【解析】：选A.y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0.‎ 当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．‎ 所以函数的最小值为0.故选A.‎ ‎2．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为(　　)‎ A．4 B．16‎ C．9 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】：选B.因为a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立．因为＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，故10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16.故选B.‎ 线性规划 ‎　 ‎1．解决线性规划问题的一般步骤 ‎(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l.‎ ‎(2)平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要对目标函数l和可行域边界的斜率的大小进行比较．‎ ‎(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．‎ ‎2．目标函数的三种类型 ‎(1)直线型：z＝ax＋by＋c.‎ ‎(2)斜率型：z＝.‎ ‎(3)距离型：z＝(x－x0)2＋(y－y0)2.‎ ‎ (1)(2017·高考全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为(　　)‎ A．0　　　　　　　　　 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎(2)(2018·成都第一次检测)若实数x，y满足约束条件，则的最小值为________．‎ ‎(3)(2019·太原模拟)已知实数x，y满足条件，则z＝x2＋y2的取值范围为________．‎ ‎【答案】　(1)D　(2)－　(3)[，13]‎ ‎【解析】　(1)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线y＝－x，当直线经过点A(3，0)时，z＝x＋y取得最大值，此时zmax＝3＋0＝3.故选D. ‎ ‎(2)‎ 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为表示平面区域内的点与定点P(0，1)连线的斜率．由图知，点P与点A(1，－)连线的斜率最小，‎ 所以()min＝kPA＝＝－.‎ ‎(3)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z＝x2＋y2的最小值为点O到直线BC：2x－y＋2‎ ‎＝0的距离的平方，zmin＝，最大值为点O与点A(－2，3)的距离的平方，zmax＝|OA|2＝13.‎ 解决线性规划问题应关注的三点 ‎(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．‎ ‎(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．‎ ‎(3)对目标函数z＝Ax＋By中B的符号，一定要注意B的正负与z的最值的对应，要结合图形分析．　 ‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．设x，y满足约束条件，则z＝x－y的取值范围是(　　)‎ A．[－3，0] B．[－3，2]‎ C．[0，2] D．[0，3]‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2，0)时，z取得最大值2，当直线z＝x－y过点B(0，3)时，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范围是[－3，2]，故选B.‎ ‎2．(2018·惠州第三次调研)已知实数x，y满足：，若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点C(－a，)时，z取得最小值－4，所以－a＋2·＝－4，解得a＝2，选B.‎ ‎3．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为__________元．‎ ‎【答案】：216 000‎ 课时作业 ‎[基础达标]‎ ‎1．已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)＜0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B．－2‎ C．－ D. ‎【答案】B.‎ ‎【解析】根据不等式与对应方程的关系知－1，－是一元二次方程ax2＋x(a－1)－1＝0的两个根，所以－1×＝－，所以a＝－2，故选B.‎ ‎2．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：‎ ‎①若ac2＞bc2，且c≠0，则a＞b；‎ ‎②若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；‎ ‎③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；‎ ‎④若a＞b，则＞.‎ 其中正确的有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎【解析】：选B.①ac2＞bc2，且c≠0，则a＞b，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③需满足a，b，c，d均为正数才成立；④错误，比如：令a＝－1，b＝－2，满足－1＞－2，但＜.故选B.‎ ‎3．设x、y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是(　　)‎ A．－15 B．－9‎ C．1 D．9‎ ‎【答案】A ‎【解析】法一：作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15，选择A. ‎ ‎6．(2017·高考天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：‎ 连续剧播放 时长(分钟)‎ 广告播放 时长(分钟)‎ 收视 人次(万)‎ 甲 ‎70‎ ‎5‎ ‎60‎ 乙 ‎60‎ ‎5‎ ‎25‎ 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．‎ ‎(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？‎ ‎【解析】：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为 即 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．‎ 解方程组得点M的坐标为(6，3)．‎ 所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．‎