【数学】河南省新安县第一高级中学2019-2020学年高二5月月考（理） 11页

河南省新安县第一高级中学2019-2020学年高二5月月考（理）‎ 注意事项 ‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题 ‎1.已知 为虚数单位，则 在复平面内对应的点位于（    ）‎ A、第四象限 B、第三象限 C、第二象限 D、第一象限 ‎2.已知 是函数 的导数，且 ，则 （    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、不能确定 ‎3. 的展开式中常数项为（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ ‎4.有一段演绎推理：“对数函数 是增函数；已知 是对数函数，所以 是增函数”，结论显然是错误的，这是因为（    ）‎ A、大前提错误 B、小前提错误 C、推理形式错误 D、非以上错误 ‎5.函数 的图像大致为（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ ‎6.下列使用类比推理正确的是（    ）‎ A、“平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”‎ B、“若 ，则 ”类比推出“若 ，则 ”‎ C、“实数 满足运算 ”类比推出“平面向量 满足运算 ”‎ D、“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心”‎ ‎7. （    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ ‎8.已知 ，若对任意两个不等的正实数 ，都有 恒成立，则 的取值范围是（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ ‎9.观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第 个图案中正六边形的个数是 ．由 ，可推出 （    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ ‎10.设函数 （ 是互不相等的常数），则 等于（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ ‎11.定义在 上的可导函数 ，当 时， 恒成立， ， ， ，则 的大小关系为（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ ‎12.设函数 是函数 的导函数，当 时， ，则函数 的零点个数为（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ 二、填空题 ‎13.定义运算 ，若复数 ， ，则 =      .‎ ‎14.观察下列各式： ， ， ， ，则 的末两位数为      .‎ ‎15.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式 中“ ”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 求得 ，类似上述过程，则      .‎ ‎16.设 分别表示表面积和体积，如 的面积用 表示，三棱锥 的体积用 表示，对于命题：如果 是线段 上一点，则 ．将它类比到平面的情形时，应该有：若 是 内一点，有 ．将它类比到空间的情形时，应该有：若 是三棱锥 内一点，则有      .‎ 三、解答题 ‎17.已知 （ 为虚数单位， ）.‎ ‎(1)若 ，求 的值；‎ ‎(2)若 为纯虚数，求 的值.‎ ‎18.已知函数 ，其中，求 的极值.‎ ‎19.正项数列 满足 ， .‎ ‎(1)求 ， ， ， 的值；‎ ‎(2)猜想数列 的通项公式，并给予证明；‎ ‎(1)已知 且 ，求证： 与 中至少有一个小于 .‎ ‎(2)当 时，求证： .‎ ‎21.已知函数 ， 为实数.‎ ‎(1)当 时，讨论 的单调性；‎ ‎(2)若 在区间 上是减函数，求 的取值范围.‎ ‎22.已知函数 ，其中 .‎ ‎(1)讨论 的单调性；‎ ‎(2)当 时，证明： ；‎ ‎(3)试比较 与 （ 且 ）的大小，并证明你的结论.‎ 参考答案 一、选择题答案：1—5 CBCAD 6—10 DBDAA 11—12 AD ‎ 二、填空题答案：‎ ‎13、-2 14、 01　‎ ‎15、 16、VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝‎ 三、解答题答案：‎ ‎17解：由题可得.‎ ‎（1）因为，所以 由，解得或；‎ 由，解得或；‎ 若满足题意，故. …………………………………… 5分 ‎（2）因为为纯虚数，所以，‎ 由，解得或；‎ 由，解得且；‎ 所以. …………………………………………………… 10分 ‎18【解】　因为f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，‎ 所以f′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)‎ ‎＝8(2x－a)(3x－a)，‎ 令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝. ……………………………… 2分 ‎(1)当a>0时，<，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，)‎ ‎(，)‎ ‎(，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 极大值 极小值 所以当x＝时，函数f(x)取得极大值f()＝；‎ 当x＝时，函数f(x)取得极小值f()＝0. ……………………………… 6分 ‎(2)当a<0时，<，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，)‎ ‎(，)‎ ‎(，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 极大值 极小值 所以当x＝时，函数f(x)取得极大值f()＝0；‎ 当x＝时，函数f(x)取得极小值f()＝.‎ 综上，当a>0时，函数f(x)在x＝处取得极大值，在x＝处取得极小值0；‎ 当a<0时，函数f(x)在x＝处取得极大值0，在x＝处取得极小值. ……… 12分 ‎19、解：（1）=4，=8；=16，=32 …………………………………… 4分 ‎（2）猜想：数列的通项公式为. …………………………………… 5分 下面用数学归纳法证明其成立.‎ ‎①当时，猜想成立 ‎②假设当时，猜想成立，即，‎ 那么当时，有，‎ 所以，‎ 即，‎ 解得或，‎ 因为是正项数列，而时，，‎ 所以.‎ 这就是说，当时猜想也成立.‎ 根据①和②可知，猜想成立，即. …………………………………… 12分 ‎20、证明：⑴（反证法）假设结论不成立，即有且，由已知，‎ ‎ 所以有且，故，‎ ‎ 与已知矛盾，假设不成立.所以有与中至少有一个小于成立.‎ ‎……………………………………………………………… 6分 ‎（2）证明：(分析法)要证≥，‎ 只需证≥，‎ 即证≥，‎ 即证≥.‎ 因为≥对一切实数恒成立，‎ 所以 ≥成立. ………………………… 12分 ‎21、解：（1），‎ 当即时，，在R上单调递增；‎ 当即时，由得或，由得.‎ 分别在与单调递增，在单调递减.‎ 综上所述，当时，在R上单调递增；‎ 当时，分别在与单调递增，在单调递减.…… 6分 ‎（2）由已知得在区间上恒成立.‎ 在区间上恒成立.‎ 当时，.‎ 当时，.‎ 而在上单调递增，时，，则.‎ 综上. ………………………………………………………………12分 ‎22、解：（1）函数的定义域为：， ‎ ‎①当时，，所以在上单调递增 ‎ ‎②当时，令，解得 ．‎ 当时，，所以， 所以在上单调递减； ‎ 当时，，所以，所以在上单调递增． ‎ 综上，当时，函数在上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. ……4分 ‎（2）当 时，，要证明，‎ 即证，即证：. ‎ 设，则 ，令得，.‎ 当时，，当时，.‎ 所以为极大值点，且在处取得最大值。‎ 所以，即。故. ………………… 8分 ‎（3）证明：（当且仅当时等号成立），即,‎ 则有+‎ ‎,‎ 故：+ …………… 12分