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- 2021-06-16 发布
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安徽省滁州市民办高中2019-2020学年
高二下学期期末考试(理)
注意事项:
1.答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将选择题答案用2B铅笔正确填写在答题卡上;请将非选择题答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知复数 满足 ,则复数 的虚部是( )
A. B.
C. D.
2.(1)已知,求证,用反证法证明此命题时,可假设;(2)已知, ,求证方程的两根的绝对值都小于1.用反证法证明此命题时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1. 以下结论正确的是
A. (1)与(2)的假设都错误 B. (1)与(2)的假设都正确
C. (1)的假设正确,(2)的假设错误 D. (1)的假设错误,(2)的假设正确
3.命题“,使得”的否定形式是( )
A. ,使得 B. ,使得
C. ,使得 D. ,使得
4.下列命题错误的是( )
A. 命题“若,则方程有实数根”的逆否命题为:“若方程无实数根,则”
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 若为假命题,则均为假命题
D. 对于命题,使得,则,均有
5.若直线与曲线有公共点,则b的取值范围是( )
A. [, ] B. [,3]
C. [-1, ] D. [,3]
6.设双曲线的中心为点,若直线和相交于点,直线交双曲线于,直线交双曲线于,且使则称和为“直线对”.现有所成的角为60°的“直线对”只有2对,且在右支上存在一点,使,则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知抛物线的焦点为,准线为,过点的直线与抛物线交于两点,若MR ,垂足为,且,则直线的斜率为
A. B.
C. D.
8.如图,设椭圆()的右顶点为,右焦点为, 为椭圆在第二象限上的点,直线交椭圆于点,若直线平分线段于,则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
9.已知函数 的图象如图所示,其中 为函数 的导函数,则 的大致图象是( )
10.下列命题中正确的是( )
A. 命题“, ”的否定是“”
B. 命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件
C. 若“,则”的否命题为真
D. 若实数,则满足的概率为.
11.设直线,圆,则下列说法中正确的是( )
A. 直线与圆有可能无公共点
B. 若直线的一个方向向量为,则
C. 若直线平分圆的周长,则或
D. 若直线与圆有两个不同交点,则线段的长的最小值为
12.若函数 在 上有最大值3,则该函数在 上的最小值是( )
A. B.0
C. D.1
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知椭圆与直线, ,过椭圆上一点作的平行线,分别交于两点,若为定值,则__________.
14.已知函数的图象是曲线,若曲线不存在与直线垂直的切线,则实数的取值范围是__________.
15.已知抛物线的焦点为,准线为,过上一点作抛物线的两条切线,切点分别为,若,则__________.
16.将集合中所有的数按照上小下大,左小右大的原则写成如下的三角形表:
则该数表中,从小到大第50个数为__________.
三、解答题(共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17.(10分)已知集合是函数的定义域,集合是不等式()的解集, : , : .
(1)若,求实数的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
18. (12分)已知圆恰好经过椭圆的两个焦点和两个顶点.
(1)求椭圆的方程;
(2)经过原点的直线 (不与坐标轴重合)交椭圆于两点, 轴,垂足为,连接并延长交椭圆于,证明:以线段为直径的圆经过点.
19. (12分)已知椭圆的方程为,双曲线的一条渐近线与轴所成的夹角为,且双曲线的焦距为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设分别为椭圆的左,右焦点,过作直线 (与轴不重合)交椭圆于, 两点,线段的中点为,记直线的斜率为,求的取值范围.
20. (12分)一个圆柱形圆木的底面半径为1 m,长为10 m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分.现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形ABCD(如图所示,其中O为圆心,C,D在半圆上),设 ,木梁的体积为V(单位:
m3),表面积为S(单位:m2).
(1)求V关于θ的函数表达式;
(2)求 的值,使体积V最大;
(3)问当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大?请说明理由.
21. (12分)已知函数在点处的切线方程为
.
(1)求函数的解析式;
(2)求的单调区间和极值.
22. (12分)如图所示,在△ABC中,a=b·cos C+c·cos B,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,在四面体PABC中,S1 , S2 , S3 , S分别表示△PAB,△PBC,△PCA,△
ABC的面积,α,β,γ依次表示面PAB,面PBC,面PCA与底面ABC所成二面角的大小.写出对四面体性质的猜想,并证明你的结论
参考答案
1.C 2.D 3.D 4.C 5.D 6.D
7.C 8.B 9.B 10.C 11.D 12.C
13.4 14. 15. 16.1040
17.(1) ;(2) .
解析:
(1)由条件得: ,
若,则必须满足
所以, 的取值范围为:
(2)易得: : 或,
∵是的充分不必要条件,
∴是的真子集
则,解得:
∴的取值范围为:
18.解析:(1)由题意可知, , ,
所以椭圆的方程为.
(2)证明:设直线的斜率为, ,在直线的方程为,
.
直线的斜率为,所以直线的方程为,
联立得,
记横坐标分別为.由韦达定理知: ,
所以,于是,
所以直线的斜率为,
因为.所以,
所以以线段为直径的圆一定经过点.
19.(1);(2).
解析:(1)一条渐近线与轴所成的夹角为知,即,
又,所以,解得, ,
所以椭圆的方程为.
(2)由(1)知,设, ,设直线的方程为.
联立得,
由得,
∴,
又,所以直线的斜率.
①当时, ;
②当时, ,即.
综合①②可知,直线的斜率的取值范围是.
20.(1)解: , .
则 ,
(2)解: .
令 ,得 ,或 (舍).∵ ,∴ .
当 时, , , 为增函数;
当 时, , , 为减函数.
∴当 时,体积V最大
(3)解:是,理由如下:
木梁的侧面积 , .
, .
设 , ,则 ,
∴当 ,即 时, 最大.又由(2)知 时, 取得最大值,所以 时,木梁的表面积S最大.
综上,当木梁的体积V最大时,其表面积S也最大
21.(1)(2),
解析:(1)求导,由题则,
解得
所以
(2)定义域为, 令,
解得或,
所以在区间和单调递增,在区间单调递减.
故,
22.解:类比三角形中的结论,猜想在四面体中的结论为S=S1·cos α+S2·cos β+S3·cos γ.
证明:如图,设点在底面的射影为点,过点作,交于,
连接,
就是平面PAB与底面ABC所成的二面角,则 ,
,
同理, ,
又 , S=S1·cos α+S2·cos β+S3·cos γ