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- 2021-06-16 发布
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热点二十四 绝对值不等式和不等式的证明(选修4-5)
【名师精讲指南篇】
【高考真题再现】
1.【2014全国卷1】若,且.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)是否存在,使得?并说明理由.
2.【2015全国卷1】已知函数,.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围.
【解析】(1)当时,,即.
当时,,无解;
当时,,解得;
当时,,解得.
综上所述,当时,的解集为.
(2),,作图,图像与轴所围成三角形的三个顶点为,,,,即,解得,所以的取值范围是.
3.【2015全国卷】设,,,均为正数,且.证明:
(1)若,则;
(2)是的充要条件.
【解析】(1)因为,,由题设,,得,因此.
(2)( i)若,则,即.因为,所以,由(Ⅰ)得.
( ii)若,则,
即.因为,所以,
于是,因此.
综上,是的充要条件.
4.【2016全国卷2】已知函数,为不等式的解集.
(1)求;
(2)证明:当时,.
【解析】(1)当时,,所以;
当时,恒成立;
当时,,所以.
综上可得,.
(2)当时,有,即, 则,则,即.
5.【2016全国1】已知函数.
(1)在如图所示的图形中,画出的图像;
(2)求不等式的解集.
【解析 】由题意得.其图像如图所示.
(2)当时,,解得或,故;
当时,,解得或,故或;
当时,,解得或,故或.
综上所述,该不等式的解集为.
6.【2016全国3】已知函数
(1)当时,求不等式的解集;
(2)设函数当时,,求的取值范围.
【热点深度剖析】
2014年高考本题考查基本不等式的灵活应用.2015年全国卷1考查绝对值不等式的解法,全国卷2考查不等式的证明及充要条件;2016年3套试卷都考查了绝对值不等式的解法,又分别考查了不等式的证明、绝对值函数的图象及恒成立问题. 从三年试题来看,高考对这部分要求不是太高,会解绝对值不等式,会利用柯西不等式,基本不等式求最值,而解绝对值不等式是高考的热点,预测2017年高考全国卷1可能会考不等式的证明,全国卷2,3可能会考绝对值不等式的解法,另外柯西不等式全国卷还没有考查过,应引起重视.
【重点知识整合】
1、含绝对值不等式的解法
①|ax+b|≤c(c>0)⇔-c≤ax+b≤c,
|ax+b|≥c(c>0)⇔ax+b≥c或ax+b≤-c,
②|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c型不等式的解法.
解法1:S1 令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根.
S2 把这些根由小到大排序,它们把实数轴分成若干个小区间.
S3 在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得的不等式在这个区间上的解集.
S4 这些解集的并集就是原不等式的解集.
解法2:构造函数f(x)=|x-a|+|x-b|-c,写出f(x)的分段解析式作出图象,找出使f(x)≤0(或f(x)≥0)的x的取值范围即可.
解法3:利用绝对值的几何意义求解,|x-a|+|x-b|表示数轴上点P(x)到点A(a)、B(b)距离的和.关键找出到A、B两点距离之和为c的点,“≤”取中间,“≥”取两边.
注意这里c≥|a-b|,若c<|a-b|,则|x-a|+|x-b|≤c的解集为,|x-a|+|x-b|≥c的解集为R.
2、几个重要的不等式
(1)定理1 a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
定理2 ≥(a,b∈R+),当且仅当a=b时取等号.
定理3 ≥(a,b,c∈R+),当且仅当a=b=c时,取等号.
定理4 (a1+a2+…+an)≥(ai∈R+,i=1,2,…,n),仅当a1=a2=…=an时取等号.
(2)绝对值三角不等式
①定理1 |a|+|b|≥|a+b|(a,b∈R),仅当ab≥0时等号成立.
②定理2 设a、b、c∈R,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
③推论 ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
(3)分式不等式
若a>b>n>0,m>0,则<<.
3、不等式的证明方法
(1)比较法:依据a>b⇔a-b>0,aB. ⇒A