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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习人教B版绝对值不等式和不等式的证明学案

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‎ ‎ 热点二十四 绝对值不等式和不等式的证明(选修4-5)‎ ‎【名师精讲指南篇】‎ ‎【高考真题再现】‎ ‎1.【2014全国卷1】若,且.‎ ‎(Ⅰ)求的最小值;‎ ‎(Ⅱ)是否存在,使得?并说明理由.‎ ‎2.【2015全国卷1】已知函数,.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围.‎ ‎【解析】(1)当时,,即.‎ 当时,,无解;‎ 当时,,解得;‎ 当时,,解得.‎ 综上所述,当时,的解集为.‎ ‎(2),,作图,图像与轴所围成三角形的三个顶点为,,,,即,解得,所以的取值范围是.‎ ‎3.【2015全国卷】设,,,均为正数,且.证明:‎ ‎(1)若,则;‎ ‎(2)是的充要条件.‎ ‎【解析】(1)因为,,由题设,,得,因此.‎ ‎(2)( i)若,则,即.因为,所以,由(Ⅰ)得.‎ ‎( ii)若,则,‎ 即.因为,所以,‎ 于是,因此.‎ 综上,是的充要条件.‎ ‎4.【2016全国卷2】已知函数,为不等式的解集.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)证明:当时,.‎ ‎【解析】(1)当时,,所以;‎ 当时,恒成立;‎ 当时,,所以.‎ 综上可得,.‎ ‎(2)当时,有,即, 则,则,即.‎ ‎5.【2016全国1】已知函数.‎ ‎(1)在如图所示的图形中,画出的图像;‎ ‎(2)求不等式的解集.‎ ‎【解析 】由题意得.其图像如图所示.‎ ‎(2)当时,,解得或,故;‎ 当时,,解得或,故或;‎ 当时,,解得或,故或.‎ 综上所述,该不等式的解集为.‎ ‎6.【2016全国3】已知函数 ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)设函数当时,,求的取值范围. ‎ ‎【热点深度剖析】‎ ‎2014年高考本题考查基本不等式的灵活应用.2015年全国卷1考查绝对值不等式的解法,全国卷2考查不等式的证明及充要条件;2016年3套试卷都考查了绝对值不等式的解法,又分别考查了不等式的证明、绝对值函数的图象及恒成立问题. 从三年试题来看,高考对这部分要求不是太高,会解绝对值不等式,会利用柯西不等式,基本不等式求最值,而解绝对值不等式是高考的热点,预测2017年高考全国卷1可能会考不等式的证明,全国卷2,3可能会考绝对值不等式的解法,另外柯西不等式全国卷还没有考查过,应引起重视.‎ ‎【重点知识整合】‎ ‎1、含绝对值不等式的解法 ‎①|ax+b|≤c(c>0)⇔-c≤ax+b≤c,‎ ‎|ax+b|≥c(c>0)⇔ax+b≥c或ax+b≤-c,‎ ‎②|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c型不等式的解法.‎ 解法1:S1 令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根.‎ S2 把这些根由小到大排序,它们把实数轴分成若干个小区间.‎ S3 在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得的不等式在这个区间上的解集.‎ S4 这些解集的并集就是原不等式的解集.‎ 解法2:构造函数f(x)=|x-a|+|x-b|-c,写出f(x)的分段解析式作出图象,找出使f(x)≤0(或f(x)≥0)的x的取值范围即可.‎ 解法3:利用绝对值的几何意义求解,|x-a|+|x-b|表示数轴上点P(x)到点A(a)、B(b)距离的和.关键找出到A、B两点距离之和为c的点,“≤”取中间,“≥”取两边.‎ 注意这里c≥|a-b|,若c<|a-b|,则|x-a|+|x-b|≤c的解集为,|x-a|+|x-b|≥c的解集为R.‎ ‎2、几个重要的不等式 ‎(1)定理‎1 ‎a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.‎ 定理2 ≥(a,b∈R+),当且仅当a=b时取等号.‎ 定理3 ≥(a,b,c∈R+),当且仅当a=b=c时,取等号.‎ 定理4 (a1+a2+…+an)≥(ai∈R+,i=1,2,…,n),仅当a1=a2=…=an时取等号.‎ ‎(2)绝对值三角不等式 ‎①定理1 |a|+|b|≥|a+b|(a,b∈R),仅当ab≥0时等号成立.‎ ‎②定理2 设a、b、c∈R,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.‎ ‎③推论 ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.‎ ‎(3)分式不等式 若a>b>n>0,m>0,则<<.‎ ‎3、不等式的证明方法 ‎(1)比较法:依据a>b⇔a-b>0,aB.  ⇒A