【数学】2019届文科一轮复习人教A版5-4数列求和教案 8页

第四节　数列求和 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．‎ ‎(对应学生用书第73页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．公式法 ‎ (1)等差数列的前n项和公式：‎ ‎ Sn＝＝na1＋d；‎ ‎ (2)等比数列的前n项和公式：‎ ‎ Sn＝ ‎2．分组转化法 ‎ 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．‎ ‎3．裂项相消法 ‎ (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．‎ ‎ (2)裂项时常用的三种变形：‎ ‎ ①＝；‎ ‎ ②＝＝；‎ ‎ ③＝－.‎ ‎4．错位相减法 ‎ 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解．‎ ‎5．倒序相加法 ‎ 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”‎ 的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．‎ ‎6．并项求和法 ‎ 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．‎ ‎ 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12‎ ‎ ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　　)‎ ‎ (2)当n≥2时，＝.(　　)‎ ‎ (3)求Sn＝a＋‎2a2＋‎3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　　)‎ ‎ (4)如果数列{an}是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么Skm＝mSk.(　　)‎ ‎ [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(　　)‎ ‎ A．1　　　　　　　　　　 B． ‎ C． D． ‎ B　[∵an＝＝－，‎ ‎ ∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…－＝.]‎ ‎3．(2018·开封模拟)已知等比数列{an}中，a2·a8＝‎4a5，等差数列{bn}中，b4＋b6＝a5，则数列{bn}的前9项和S9等于(　　) 【导学号：79170174】‎ ‎ A．9 B．18‎ ‎ C．36 D．72‎ ‎ B　[∵a2·a8＝‎4a5，即a＝‎4a5，∴a5＝4，‎ ‎ ∴a5＝b4＋b6＝2b5＝4，∴b5＝2，‎ ‎ ∴S9＝9b5＝18，故选B．]‎ ‎4．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝__________.‎ ‎ 2n＋1－2＋n2　[Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.]‎ ‎5．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝__________.‎ ‎ 4－　[设S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×，‎ ‎ 则S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×.‎ ‎ 两式相减得S＝3×＋－.‎ ‎ ∴S＝3＋－ ‎ ＝3＋－ ‎ ＝4－.]‎ ‎(对应学生用书第74页)‎ 分组转化求和 ‎　(2016·北京高考)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.‎ ‎ (1)求{an}的通项公式；‎ ‎ (2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．‎ ‎ [解]　(1)设等比数列{bn}的公比为q，则q＝＝＝3，‎ ‎ 所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n＝1,2,3，…)． 2分 ‎ 设等差数列{an}的公差为D．‎ ‎ 因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，‎ ‎ 所以1＋13d＝27，即d＝2.‎ ‎ 所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…). 5分 ‎ (2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1.‎ ‎ 因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 7分 ‎ 从而数列{cn}的前n项和 ‎ Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1‎ ‎ ＝＋＝n2＋. 12分 ‎ [规律方法]　　分组转化法求和的常见类型 ‎ (1)若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．‎ ‎ (2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．‎ ‎ 易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论．‎ ‎[变式训练1]　(2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.‎ ‎ (1)求通项公式an；‎ ‎ (2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．‎ ‎ [解]　(1)由题意得则 2分 ‎ 又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，‎ ‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*. 5分 ‎ (2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则b1＝2，b2＝1.‎ ‎ 当n≥3时，由于3n－1>n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3. 8分 ‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3，‎ ‎ 当n≥3时，Tn＝3＋－＝，‎ ‎ 所以Tn＝12分 裂项相消法求和 ‎　(2018·郑州模拟)若An和Bn分别表示数列{an}和{bn}的前n项的和，对任意正整数n，an＝2(n＋1)，3An－Bn＝4n.‎ ‎ (1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎ (2)记cn＝，求{cn}的前n项和Sn.‎ ‎ [解]　(1)由于an＝2(n＋1)，∴{an}为等差数列，且a1＝4. 2分 ‎ ∴An＝＝＝n2＋3n，‎ ‎ ∴Bn＝3An－4n＝3(n2＋3n)－4n＝3n2＋5n，‎ ‎ 当n＝1时，b1＝B1＝8，‎ ‎ 当n≥2时，bn＝Bn－Bn－1＝3n2＋5n－[3(n－1)2＋5(n－1)]＝6n＋2.由于b1＝8适合上式，∴bn＝6n＋2. 5分 ‎ (2)由(1)知cn＝＝ ‎ ＝， 7分 ‎ ∴Sn＝ ‎ ‎ ＝ ‎ ＝－. 12分 ‎ [规律方法]　　1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵捎，要注意消去了哪些项，保留了哪些项，从而达到求和的目的．‎ ‎ 2．消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．‎ ‎[变式训练2]　(2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋‎3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.‎ ‎ (1)求{an}的通项公式；‎ ‎ (2)求数列的前n项和. 【导学号：79170175】‎ ‎ [解]　(1)因为a1＋‎3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，‎ ‎ a1＋‎3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)， 2分 ‎ 两式相减得(2n－1)an＝2，‎ ‎ 所以an＝(n≥2). 4分 ‎ 又由题设可得a1＝2，满足上式，‎ ‎ 所以{an}的通项公式为an＝. 6分 ‎ (2)记的前n项和为Sn.‎ ‎ 由(1)知＝＝－， 9分 ‎ 则Sn＝－＋－＋…＋－＝. 12分 错位相减法求和 ‎　(2016·山东高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.‎ ‎ (1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎ (2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎ [解]　(1)由题意知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.‎ ‎ 当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式．‎ ‎ 所以an＝6n＋5. 2分 ‎ 设数列{bn}的公差为D．‎ ‎ 由即 ‎ 解得所以bn＝3n＋1. 5分 ‎ (2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1. 7分 ‎ 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，‎ ‎ 得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，‎ ‎ 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]， 9分 ‎ 两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]‎ ‎ ＝3× ‎ ＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2. 12分 ‎ [规律方法]　　1.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，若{bn}的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论．‎ ‎ 2．在书写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，即公比q的同次幂项相减，转化为等比数列求和．‎ ‎[变式训练3]　(2017·天津高考)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－‎2a1，S11＝11b4.‎ ‎ (1)求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎ (2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*)．‎ ‎ [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.‎ ‎ 由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12.‎ ‎ 而b1＝2，所以q2＋q－6＝0，解得q＝－3或q＝2.‎ ‎ 又因为q>0，所以q＝2.‎ ‎ 所以bn＝2n. 3分 ‎ 由b3＝a4－‎2a1，可得3d－a1＝8.①.‎ ‎ 由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.②，‎ ‎ 联立①②，解得a1＝1，d＝3，‎ ‎ 由此可得an＝3n－2. 6分 ‎ 所以，数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n.‎ ‎ (2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn.由a2n＝6n－2，‎ ‎ 得Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，‎ ‎ 2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1. 8分 ‎ 上述两式相减，得 ‎ －Tn＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1＝－4－(6n－2)×2n＋1＝－(3n－4)2n＋2－16， 10分 ‎ 所以Tn＝(3n－4)2n＋2＋16.‎ ‎ 所以，数列{a2nbn}的前n项和为(3n－4)2n＋2＋16. 12分