2018届二轮复习第15讲分段函数常见题型解法学案（全国通用） 15页

‎【知识要点】‎ ‎ 分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题.‎ 1、 求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为：‎ ‎，不要写成.注意分段函数的每一段的自变量的取值范围的交集为空集，并集为函数的定义域.一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面. ‎ ‎ 2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.‎ ‎ 3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并.‎ ‎4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合.‎ ‎5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.‎ ‎6、分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性. ‎ ‎7、分段函数的零点问题，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的. ‎ 虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. ‎ ‎ 【方法讲评】‎ 题型一 分段函数的解析式问题 解题方法 一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.‎ ‎【例1】已知函数对实数满足 ‎，若当时，.‎ ‎（1）求时，的解析式；（2）求方程的实数解的个数.‎ ‎（2） 是奇函数，且以2为周期.方程的实数解的个数也就是函数的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像，由图像得交点个数为2，所以方程的实数解的个数为2.‎ ‎【点评】（1）本题的第一问，根据题意要把分成三个部分，即,再一段一段地求. 在求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性、对称性等. (2)本题第2问解的个数，一般利用数形结合解答. ‎ ‎【反馈检测1】已知定义在上的函数.‎ ‎（Ⅰ）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设，求函数在上的最大值的表达式．‎ 题型二 分段函数的求值 解题方法 先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并. 学. . ‎ ‎【例2】已知函数 ，若 ，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】当 即时， （舍）；‎ 当 即时， ，故选A.‎ ‎【点评】（1）要计算的值，就要看自变量在分段函数的哪一段，但是由于无法确定，所以要就分类讨论. （2）分类讨论时，注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.当时 ，解得，要舍去.‎ ‎【例3】【2017山东，文9】设,若,则 （ ）‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【点评】（1）要化简，必须要讨论的范围，要分和 讨论.当时，可以解方程，得方程没有解.也可以直接由单调性得到.‎ ‎【反馈检测2】已知函数,若，则 ．‎ ‎ ‎ 题型三 分段函数解不等式 解题方法 先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.‎ ‎【例3】已知函数则的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【点评】（1）本题中的自变量不确定它在函数的哪一段，所以要分类讨论. (2)当时，计算要注意确定的范围，，所以求要代入第一段的解析式.数学思维一定要注意逻辑和严谨. (3)分类讨论时，一定要注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并. ‎ ‎【反馈检测3】已知函数则的解集为 ‎__________．‎ ‎ 【反馈检测4】【2017课标3，理15】设函数则满足的x的取值范围是_________.‎ ‎ ‎ 题型四 分段函数奇偶性 解题方法 方法一：定义法.方法二：数形结合.‎ ‎【例4】判断函数的奇偶性 ‎【解析】由题得函数的定义域关于原点对称.‎ 设,则，‎ 设则，‎ 所以函数是奇函数.‎ ‎【点评】（1）对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函数，所以要分类讨论. （2）注意，当求要代入下面的解析式，因为,不是还代入上面一段的解析式. ‎ ‎【反馈检测5】已知函数是定义在上的奇函数，且当时.‎ ‎（1）求的解析式；（2）判断的单调性（不必证明）；‎ ‎（3） 若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.‎ 题型五 分段函数最值（值域）‎ 解题方法 方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.‎ ‎【例5】若函数的值域是，则实数的取值范围是 .‎ ‎【点评】（1）分段函数求最值（值域），方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.（2）本题既可以用方法一，也可以利用数形结合分析解答. （3）对于对数函数，如果没有说明与的大小关系，一般要分类讨论.‎ ‎【反馈检测6】设若是的最小值，则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【反馈检测7】已知函数的值域为R，则常数的取值范围是（ )‎ A. B. C. D. ‎ 题型六 分段函数单调性 解题方法 方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性. ‎ ‎【例6】若 是上的增函数，那么的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【点评】（1）函数是一个分段函数是增函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是增函数；条件二：左边一段的最大值必须小于等于右边一段的最小值. 函数是一个分段函数是减函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是减函数；条件二：左边一段的最小值必须大于等于右边一段的最大值. （3）一个分段函数是增函数，不能理解为只需每一段是增函数. 这是一个必要不充分条件.‎ ‎【反馈检测8】已知函数在区间上是增函数,则常数的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 题型七 分段函数零点问题 解题方法 方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.‎ ‎【例7】已知函数则函数的所有零点构成的集合为__________．‎ ‎【点评】（1）分段函数的零点问题，一般有三种方法，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的. （2）本题由于函数的图像不方便作出，所以选择解方程的方法解答. （3）在函数中，由于没有确定的取值范围，所以要分类讨论.‎ ‎【例8】已知函数，若函数仅有一个零点，则的取值范围是________.‎ ‎【解析】 ‎ 函数 ，若函数 仅有一个零点，即 ，只有一个解，‎ 在平面直角坐标系中画出， 的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时， ‎ ‎ ，故答案为.‎ ‎【点评】（1）直接画的图像比较困难，所以可以利用方程+图像的方法. 分离参数得到，再画图数形结合分析. 学. . ‎ ‎【例9】已知函数关于的方程，有不同的实数解，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】‎ ‎【点评】本题考查了类二次方程实数根的相关问题，以及数形结合思想方法的体现，这种嵌入式的方程形式也是高考考查的热点，这种嵌入式的方程首先从二次方程的实数根入手，一般因式分解后都能求实根，得到和，然后再根据导数判断函数的单调性和极值等性质，画出函数的图象，若直线和函数的交点个数得到参数的取值范围.‎ ‎【反馈检测9】已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（ ）（注： 为自然对数的底数）‎ A. B. C. D. ‎ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第15讲：‎ 分段函数中常见题型解法参考答案 ‎【反馈检测1答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ 方法二：不等式恒成立等价于恒成立 .‎ 即等价于对一切恒成立， ‎ 即恒成立，得恒成立， ‎ 当时，，， ‎ 因此，实数的取值范围是． ‎ ‎【反馈检测2答案】或1‎ ‎【反馈检测2详细解析】当时，，则，即 ‎；当时，，则，即。综上或，应填答案或1.‎ ‎【反馈检测3答案】‎ ‎【反馈检测3详细解析】时， 可得,解得;‎ 时， ,解得;所以 综上可得的解集为 ‎【反馈检测4答案】‎ ‎【反馈检测4详细解析】由题意： ‎ ‎ ，函数 在区间 三段区间内均单调递增， ，‎ 可知x的取值范围是： .‎ ‎【反馈检测5答案】（1） ；（2） 增函数；（3） .学. . ‎ ‎【反馈检测6答案】D ‎【反馈检测6详细解析】.若，则当时，函数的最小值为， ，不符合题意.排除两个选项.若，则当时，函数，最小值为，当时，根据对勾函数的性质可知，当时，函数取得最小值为，故符合题意，排除，故选.‎ ‎【反馈检测6答案】A ‎【反馈检测6详细解析】函数 ，当 时， 时， 的最小值小于 ，因为 的开口向上，对称轴为 ，若 ，当 时，函数是增函数，最小值为 ，可得 ，解得 ；若 ，最小值为 ，可得 ，解得 ，常数的取值范围是，故选A.‎ ‎【反馈检测9详细解析】‎ 作出函数的图象如图，当对应的直线和直线平行时，满足两个和尚图象有两个不同的交点，当直线和函数相切时，当x>1时，函数,设切点为，则切线斜率，则对应的切线方程为,即，‎ ‎∵直线切线方程为，,解得，‎ 即此时,此时直线与只有一个交点，不满足条件，‎ 若方程恰有两个不同的实根时，则满足.‎ 实数的取值范围是 . 故本题选择C选项.‎ ‎ ‎