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- 2021-06-16 发布
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南京师大附中2019-2020学年度第二学期
高一年级期中考试数学试卷
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角是( ).
A. B. C. D.
2. 若,则( ).
A. B. C. D.
3. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 已知.则边b的长为( ).
A. B. C. D.
4. 已知,均为锐角,则( ).
A. B. C. D.
5. 在△ABC中,.则△ABC的形状一定是( ).
A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
6. 过点向圆引圆的两条切线PA,PB,则弦AB的长为( ).
A. B. C. D.
7. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 若满足的三角形有两个,则边长a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
8. 直线与曲线有两个不同的交点,则实数k的取值范围是( ).
A. B. C. D.
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 在每小题给出的四个选项中,有不止一项是符合题目要求的. 全部选对的得5分,选对但不全的得3分,错选或不答的得0分.
9. 若圆与圆相切,则m的值可以是( ).
A. B. C. D.
10. 下列命题中正确的有( ).
A. 空间内三点确定一个平面
B. 棱柱的侧面一定是平行四边形
C. 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交,则交点只可能在两个平面的交线上
D. 一条直线与三角形的两边都相交,则这条直线必在三角形所在的平面内
11. 两直线,与x轴相交且能构成三角形,则m不能取到的值有( ).
A. B. C. D.
12. 已知圆上存在两个点到点的距离为,则m的可能的值为( ).
A. B. C. D.
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 已知直线和,直线m分别与交于A,B两点,则线段AB长度的最小值为 .
14. 函数的最大值为 .
15. 已知△ABC,AB=AC=4,BC=2,点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是 , .
16. 在平面直角坐标系xOy中,过点的直线与圆交于A,B两点,且,则直线的方程为 .
四、解答题:本大题共6小题,共70分.
17. (本小题满分10分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求的值;
(2)若,△ABC的面积为,求边长b的值.
18. (本小题满分10分)
(1)用符号表示下来语句,并画出同时满足这四个语句的一个几何图形:
①直线在平面内;
②直线不在平面内;
③直线与平面交于点;
④直线不经过点.
(2)如图,在长方体中,为棱的中点,为棱的三等分点,画出由三点所确定的平面与平面的交线.(保留作图痕迹)
19. (本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中,已知两直线和,定点.
(1)若与相交于点P,求直线AP的方程;
(2)若恰好是△ABC的角平分线BD所在的直线,是中线CM所在的直线,求△ABC的边BC所在直线的方程.
20. (本小题满分12分)
(1)已知,求的值;
(2)记函数,求的值域.
21. (本小题满分12分)
为了美化环境,某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪,休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD. 其中百米,百米,且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形. 拟修建两条小路AC,BD(路的宽度忽略不计),设,.
(1)当时,求小路AC的长度;
(2)当草坪ABCD的面积最大时,求此小路BD的长度.
22. (本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在轴上的圆经过两点和,直线的方程为.
(1)求圆的方程;
(2)当时,为直线上的定点,若圆上存在唯一一点满足,求定点的坐标;
(3)设点A,B为圆上任意两个不同的点,若以AB为直径的圆与直线都没有公共点,求实数的取值范围.
南京师大附中2019-2020学年度第二学期
高一年级期中考试数学试卷 · 解析
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角是( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【考点】直线的斜率与倾斜角
2. 若,则( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【考点】二倍角公式;诱导公式
3. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 已知.则边b的长为( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在△ABC中,由余弦定理,带入数据,解得或(舍).
【考点】余弦定理解三角形
4. 已知,均为锐角,则( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为为锐角,且,所以,,于是,又为锐角,所以.
【考点】同角三角函数关系;两角和与差的三角函数
5. 在△ABC中,.则△ABC的形状一定是( ).
A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
【答案】A
【解析】因为,所以,即,即,
于是,所以,△ABC为等腰三角形.
【考点】两角和与差的三角函数;诱导公式
6. 过点向圆引圆的两条切线PA,PB,则弦AB的长为( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,半径,所以,
由面积法可知,
【考点】圆的切线问题;与圆有关的几何问题
7. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 若满足的三角形有两个,则边长a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图,,垂线段,所以时,三角形有两解.
【考点】判断三角形解的个数
8. 直线与曲线有两个不同的交点,则实数k的取值范围是( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】曲线可化简为.于是过点(2,0)的直线与该半圆有两个交点,数形结合,解得.
【考点】直线与圆的位置关系
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 在每小题给出的四个选项中,有不止一项是符合题目要求的. 全部选对的得5分,选对但不全的得3分,错选或不答的得0分.
9. 若圆与圆相切,则m的值可以是( ).
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】圆可化简为.
于是,解得或.
【考点】圆的方程;圆与圆的位置关系
10. 下列命题中正确的有( ).
A. 空间内三点确定一个平面
B. 棱柱的侧面一定是平行四边形
C. 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交,则交点只可能在两个平面的交线上
D. 一条直线与三角形的两边都相交,则这条直线必在三角形所在的平面内
【答案】BC
【解析】对于A选项,要强调该三点不在同一直线上,故A错误;
对于B选项,由棱柱的定义可知,其侧面一定是平行四边形,故B正确;
对于C选项,可用反证法证明,故C正确;
对于D选项,要强调该直线不经过给定两边的交点,故D错误.
【考点】点、线、面的位置关系
11. 两直线,与x轴相交且能构成三角形,则m不能取到的值有( ).
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】由题知,三条直线中任意两条均有交点,且三条直线不能经过同一点. 于是:
①;②;③.综上,且且.
【考点】平面内两直线的位置关系
12. 已知圆上存在两个点到点的距离为,则m的可能的值为( ).
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】由题知,圆与圆相交.
故,即,
解得,选ACD
【考点】点与圆的位置关系;圆与圆的位置关系
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 已知直线和,直线m分别与交于A,B两点,则线段AB长度的最小值为 .
【答案】
【解析】由题知,,两直线间的距离
【考点】平行线之间的距离公式
14. 函数的最大值为 .
【答案】
【解析】,
最大值
【考点】三角恒等变换;辅助角公式;三角函数的图像和性质
15. 已知△ABC,AB=AC=4,BC=2,点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是 , .
【答案】;
【解析】△BDC的面积为△ABC面积的一半,
△ABC中,BC边上的高为,△ABC的面积为,
所以△BDC的面积为.
,
解得,显然为锐角,所以
【考点】三角形面积公式;正余弦定理解三角形
16. 在平面直角坐标系xOy中,过点的直线与圆交于A,B两点,且,则直线的方程为 .
【答案】
【解析】由题知,点A为MB的中点,设直线,将直线带入圆的方程,结合,解得,
【考点】直线和圆的位置关系,韦达定理
四、解答题:本大题共6小题,共70分.
17. (本小题满分10分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求的值;
(2)若,△ABC的面积为,求边长b的值.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理,设,
则,带入,化简得
,因为,所以;
(2)由(1)可知,,,又,
所以,解得.
在△ABC中,由余弦定理,所以
,解得.
【考点】解三角形;三角恒等变换
18. (本小题满分10分)
(1)用符号表示下来语句,并画出同时满足这四个语句的一个几何图形:
①直线在平面内;
②直线不在平面内;
③直线与平面交于点;
④直线不经过点.
(2)如图,在长方体中,为棱的中点,为棱的三等分点,画出由三点所确定的平面与平面的交线.(保留作图痕迹)
【答案】(1);;;;示意图如下:
(2)如图,直线IL即为所求.
【考点】空间点、线、面之间的位置关系
19. (本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中,已知两直线和,定点.
(1)若与相交于点P,求直线AP的方程;
(2)若恰好是△ABC的角平分线BD所在的直线,是中线CM所在的直线,求△ABC的边BC所在直线的方程.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)联立两直线,解得P(0,-1),所以直线AP的斜率k=3,AP:y=3x-1.
(2)设点B的坐标为,则点,所以,
解得,即,所以. 由到角公式得,
,即,解得,
所以BC所在直线方程为
化简得
【考点】直线方程;两直线的位置关系;到角公式
20. (本小题满分12分)
(1)已知,求的值;
(2)记函数,求的值域.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)因为,所以
即 ,所以
(2)记,显然,所以.
将两边平方,得
故
所以,
所以的值域为
【考点】同角三角函数关系式;三角函数的图像和性质
21. (本小题满分12分)
为了美化环境,某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪,休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD. 其中百米,百米,且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形. 拟修建两条小路AC,BD(路的宽度忽略不计),设,.
(1)当时,求小路AC的长度;
(2)当草坪ABCD的面积最大时,求此小路BD的长度.
【答案】(1)百米;(2)百米.
【解析】(1)当时,在△ABD中,由余弦定理得
,
因为为钝角,所以
在△ADC中,由余弦定理得,
(2)在△ABD中,由余弦定理得
所以
于是.所以,
当时,S最大,此时,
又因为,所以,解得
所以此时
答:(1)百米,(2)当四边形面积最大时,小路百米.
【考点】解三角形的应用
22. (本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在轴上的圆经过两点和,直线的方程为.
(1)求圆的方程;
(2)当时,为直线上的定点,若圆上存在唯一一点满足,求定点的坐标;
(3)设点A,B为圆上任意两个不同的点,若以AB为直径的圆与直线都没有公共点,求实数的取值范围.
【答案】(1);
(2)或 ;
(3).
【解析】(1)设圆的方程为,将M,N坐标带入,得:
,解得,所以圆的方程为.
(2)设,,则,
化简得,此圆与圆C相切,所以有
,解得,所以
或
(3)记以AB为直径的圆为圆M,设圆M上有一动点,
设.则圆M的半径.于是
,其中为的夹角,.
因为,所以.
故点在以为圆心,为半径的圆的内部(含边界),
所以点C到直线l的距离,即,解得.
【考点】圆与方程;阿波罗尼斯圆;隐圆问题