2019届二轮复习解题技巧第1讲　概率课件（40张）（全国通用） 40页

第 1 讲　 概 　率 专题 三 　 概率与统计 板块三　专题突破核心考点 [ 考情考向分析 ] 1. 以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用 . 2. 将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力 . 热点分类突破 真题押题精练 内容索引 热点分类突破 古典概型的概率 热点一　 古典概型 例 1 　 (2017· 山东 ) 某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A 1 ， A 2 ， A 3 和 3 个欧洲国家 B 1 ， B 2 ， B 3 中选择 2 个国家去旅游 . (1) 若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率； 解答 解　 由题意知，从 6 个国家中任选 2 个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有 { A 1 ， A 2 } ， { A 1 ， A 3 } ， { A 1 ， B 1 } ， { A 1 ， B 2 } ， { A 1 ， B 3 } ， { A 2 ， A 3 } ， { A 2 ， B 1 } ， { A 2 ， B 2 } ， { A 2 ， B 3 } ， { A 3 ， B 1 } ， { A 3 ， B 2 } ， { A 3 ， B 3 } ， { B 1 ， B 2 } ， { B 1 ， B 3 } ， { B 2 ， B 3 } ，共 15 个 . 所选 2 个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有 { A 1 ， A 2 } ， { A 1 ， A 3 } ， { A 2 ， A 3 } ，共 3 个 ， (2) 若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A 1 但不包括 B 1 的概率 . 解答 解　 从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，其一切可能的结果组成的基本事件有 { A 1 ， B 1 } ， { A 1 ， B 2 } ， { A 1 ， B 3 } ， { A 2 ， B 1 } ， { A 2 ， B 2 } ， { A 2 ， B 3 } ， { A 3 ， B 1 } ， { A 3 ， B 2 } ， { A 3 ， B 3 } ，共 9 个 . 包括 A 1 但不包括 B 1 的事件所包含的基本事件有 { A 1 ， B 2 } ， { A 1 ， B 3 } ，共 2 个， 求古典概型概率的步骤 (1) 反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意 . (2) 判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件 . (3) 利用列举法求出总的基本事件的个数 n 及事件 A 中包含的基本事件的个数 m . 思维升华 解答 跟踪演练 1 　 (2018· 北京朝阳区模拟 ) 今年，楼市火爆，特别是一线城市，某一线城市采取 “ 限价房 ” 摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有 n 套房源，则设置 n 个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有 20 户家庭去抽取 6 套房源 . (1) 求每个家庭中签的概率； 解　 因为共有 20 户家庭去抽取 6 套房源且每个家庭中签的概率都是相同的， (2) 已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号 . 目前该小区剩余房源有某单元 27,28 两个楼层共 6 套房，其中，第 27 层有 2 套房，房间号分别记为 2702,2703 ；第 28 层 4 套房，房间号分别记为 2803,2804,2806,2808. ① 求该单元 27,28 两个楼层所剩下 6 套房的房间号的平均数； 解 答 解　 该单元 27,28 两个楼层所剩下 6 套房的房间号的平均数 ② 求甲、乙两个家庭能住在同一层楼的概率 . 解 答 解　 将这 6 套房编号，记第 27 层 2 套房分别为 X ， Y ，第 28 层 4 套房分别为 a ， b ， c ， d ， 则甲、乙两个家庭选房可能的结果有 ( X ， Y ) ， ( X ， a ) ， ( X ， b ) ， ( X ， c ) ， ( X ， d ) ， ( Y ， a ) ， ( Y ， b ) ， ( Y ， c ) ， ( Y ， d ) ， ( a ， b ) ， ( a ， c ) ， ( a ， d ) ， ( b ， c ) ， ( b ， d ) ， ( c ， d ) ，共 15 种 . 其中甲、乙两个家庭能住在同一楼层的可能情况有 ( X ， Y ) ， ( a ， b ) ， ( a ， c ) ， ( a ， d ) ， ( b ， c ) ， ( b ， d ) ， ( c ， d ) ，共 7 种， 热点二　 几何 概型 1. 几何概型的概率公式： 2. 几何概型应满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性 . 答案 例 2 　 (1)(2018· 北京朝阳区模拟 ) 若在集合 { x | － 2< x ≤ 3} 中随机取一个元素 m ，则 “ log 2 m 大于 1 ” 的概率为 √ 解析 解析　 若 log 2 m >1 ，可以求得 m >2 ， 答案 (2)(2018· 衡水调研 ) 甲、乙两人各自在 400 m 长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过 50 m 的概率是 √ 解析 解析　 设甲、乙两人跑的路程分别为 x m ， y m ， 面积为 160 000 m 2 ，相距不超过 50 m ，满足 | x － y | ≤ 50 ，表示的区域如图阴影部分所示， 所以在任一时刻两人在跑道上相距不超过 50 m 的概率为 当试验结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解 . 利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域 . 思维升华 跟踪演练 2 　 (1)(2018· 安徽省 “ 皖南八校 ” 联考 )2018 年平昌冬季奥运会于 2 月 9 日～ 2 月 25 日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比值 P ，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟在长为 8 、宽为 5 的长方形内随机取了 N 个点，经统计落入五环及其内部的点数为 n 个，圆环半径为 1 ，则比值 P 的近似值为 答案 解析 √ 解析　 设奥运五环所占的面积为 S 1 ，矩形的面积为 S ＝ 8 × 5 ＝ 40. 由在长方形内随机取了 N 个点，经统计落入五环及其内部的点数为 n 个， 单独五个环的面积为 S 3 ＝ 5π × 1 2 ＝ 5π ， 答案 (2)(2018· 延安模拟 ) 某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻，时长均为 5 分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是 ________. 解析 解析　 由题意知这是一个几何概型， ∵ 电台在每小时的整点和半点开始播送新闻， ∴ 事件总数包含的时间长度是 30 ， 又新闻时长均为 5 分钟， ∴ 一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是 P ＝ . 热点三　 互斥事件 与 对立事件 1. 事件 A ， B 互斥，那么事件 A ∪ B 发生 ( 即 A ， B 中至少有一个发生 ) 的概率，等于事件 A ， B 分别发生的概率的和，即 P ( A ∪ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ). 2. 在一次试验中，对立事件 A 和 B 不会同时发生，但一定有一个发生，因此有 P ( B ) ＝ 1 － P ( A ). 例 3 　 国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中 7 ～ 10 环的概率如下表所示： 解答 命中环数 10 9 8 7 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 求该射击队员在一次射击中： (1) 命中 9 环或 10 环的概率； 解　 记事件 “ 射击一次，命中 k 环 ” 为 A k ( k ∈ N ， k ≤ 10) ，则事件 A k 之间彼此互斥 . 设 “ 射击一次，命中 9 环或 10 环 ” 为事件 A ，那么当 A 9 ， A 10 之一发生时，事件 A 发生 ， 由 互斥事件概率的加法公式得 P ( A ) ＝ P ( A 9 ) ＋ P ( A 10 ) ＝ 0.28 ＋ 0.32 ＝ 0.6. (2) 至少命中 8 环的概率； 解答 解　 设 “ 射击一次，至少命中 8 环 ” 为事件 B ， 那么 当 A 8 ， A 9 ， A 10 之一发生时，事件 B 发生 ， 由 互斥事件概率的加法公式得 P ( B ) ＝ P ( A 8 ) ＋ P ( A 9 ) ＋ P ( A 10 ) ＝ 0.18 ＋ 0.28 ＋ 0.32 ＝ 0.78. (3) 命中不足 8 环的概率 . 解答 解　 设 “ 射击一次命中不足 8 环 ” 为事件 C ， 由于 事件 C 与事件 B 互为对立事件 ， 故 P ( C ) ＝ 1 － P ( B ) ＝ 1 － 0.78 ＝ 0.22. 事件的互斥和对立是既有联系又有区别的两个概念，要充分利用对立事件是必然有一个发生的互斥事件 . 在判断这些问题时，先要判断两个事件是不是互斥事件 ( 即是否不可能同时发生 ) ，然后判断这两个事件是不是对立事件 ( 即是否必然有一个发生 ). 在解答与两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌，全面考虑，防止出现错误 . 思维升华 跟踪演练 3 　 (1) 从装有 3 个红球、 2 个白球的袋中任取 3 个球，若事件 A ＝ “ 所取的 3 个球中至少有 1 个白球 ” ，则事件 A 的对立事件是 A.1 个白球 2 个红 球 B.2 个白球 1 个红球 C.3 个都是红 球 D . 至少有一个红球 答案 解析 √ 解析　 事件 A ＝ “ 所取的 3 个球中至少有 1 个白球 ” ，说明有白球，白球的个数可能是 1 或 2 ，事件 “ 1 个白球、 2 个红球 ” ， “ 2 个白球、 1 个红球 ” ， “ 至少有一个红球 ” 与 A 都能同时发生，既不互斥，也不对立 . (2) 现有 4 张卡片，正面分别标有 1,2,3,4 ，背面完全相同 . 将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽 . 若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是 答案 解析 √ 真题押题精练 1.(2017· 全国 Ⅱ 改编 ) 从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 ______. 真题体验 答案 解析 解析　 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图： 基本事件的总数为 25 ，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10 ， 解析 答案 2.(2016· 全国 Ⅰ 改编 ) 某公司的班车在 7 ： 30,8 ： 00,8 ： 30 发车，小明在 7 ： 50 至 8 ： 30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 ________. 解析　 如图所示，画出时间轴： 小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中，而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过 10 分钟， 答案 3.(2016· 北京改编 ) 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半 . 甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒 . 重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则下列说法正确的是 ______. (1) 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球； (2) 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多； (3) 乙盒中红球不多于丙盒中红球； (4) 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 . 解析 (2) 解析　 取两个球往盒子中放有 4 种情况： ① 红＋红，则乙盒中红球数加 1 ； ② 黑＋黑，则丙盒中黑球数加 1 ； ③ 红＋黑 ( 红球放入甲盒中 ) ，则乙盒中黑球数加 1 ； ④ 黑＋红 ( 黑球放入甲盒中 ) ，则丙盒中红球数加 1. 因为红球和黑球个数一样，所以 ① 和 ② 的情况一样多 . ③ 和 ④ 的情况完全随机， ③ 和 ④ 对 (2) 中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响 . ① 和 ② 出现的次数是一样的，所以对 (2) 中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样 . 故 (2) 正确 . 答案 解析 4.(2017· 江苏 ) 记函数 f ( x ) ＝ 的 定义域为 D . 在区间 [ － 4,5 ] 上随机取一个数 x ，则 x ∈ D 的概率是 ________. 解析　 设事件 “ 在区间 [ － 4,5 ] 上随机取一个数 x ，则 x ∈ D ” 为事件 A ， 由 6 ＋ x － x 2 ≥ 0 ，解得－ 2 ≤ x ≤ 3 ， ∴ D ＝ [ － 2,3 ]. 如图，区间 [ － 4,5 ] 的长度为 9 ，定义域 D 的长度为 5 ， 押题预测 答案 解析 押题依据 押题依据 　古典概型是高考考查概率问题的核心，考查频率很高 . 古典概型和函数、方程、不等式、向量等知识的交汇是高考命题的热点 . 1. 将一颗骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为 m 和 n ，则函数 y ＝ mx 3 － nx ＋ 1 在 [1 ，＋ ∞ ) 上为增函数的概率是 √ 解析　 将一颗骰子抛掷两次，所得向上的点数 ( m ， n ) 的所有事件为 (1,1) ， (1,2) ， … ， (6,6) ，共 36 个 . 所以 y ′ ＝ 2 mx 2 － n ≥ 0 在 [1 ，＋ ∞ ) 上恒成立，所以 2 m ≥ n ，则不满足条件的 ( m ， n ) 有 (1,3) ， (1,4) ， (1,5) ， (1,6) ， (2,5) ， (2,6) ，共 6 种情况 ， 所以 满足条件的共有 30 种情况， 答案 解析 押题依据 押题依据 　与长度 ( 角度、弧度、周长等 ) 有关的几何概型问题也是高考命题的热点，在高考中多以选择题或填空题的形式出现，题目难度不大 . 2. 已知集合 M ＝ { x | － 1< x <4 ， x ∈ R } ， N ＝ { x | x 2 － 3 x ＋ 2 ≤ 0} ，在集合 M 中任取一个元素 x ，则 “ x ∈ ( M ∩ N ) ” 的概率是 √ 解析　 因为 M ＝ { x | － 1< x <4 ， x ∈ R } ＝ ( － 1,4) ， N ＝ { x | x 2 － 3 x ＋ 2 ≤ 0} ＝ [1,2] ，所以 M ∩ N ＝ [1,2] ， 答案 解析 押题依据 3. 在一种游戏规则中规定，要将一枚质地均匀的铜板扔到一个边长为 8 的小方块上 ( 铜板的直径是 4) ，若铜板完整地扔到小方块上即可晋级 . 现有一人把铜板扔在小方块上，则晋级的概率 P 为 √ 押题依据 　与面积有关的几何概型问题是高考考查的重点，常以圆、三角形、四边形等几何图形为载体，在高考中多以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下 . 解析　 由题意分析知，铜板要完整地落在小方块上，则铜板圆心到小方块各边的最短距离不小于铜板半径，