湖北省汉阳一中2019-2020学年高二9月月考数学试卷 10页

高二数学试卷 考试时间：120分钟；试卷满分：150分 第I卷（选择题)‎ 一、选择题()‎ ‎1．已知圆始终被直线平分，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知圆C方程为(x－2)2＋(y－1)2＝9，直线l的方程为，‎ 在圆C上到直线l的距离为1的点有几个 (　 　)‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎3．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线 的方程为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．若圆与圆的公共弦的长为，‎ 则 （ ）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎6．已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（ ）‎ A． B．9 C．7 D．‎ ‎7．直线与圆的位置关系是 （ ）‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 ‎8．如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．直线恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为 （ ）‎ A． B．4 C． D．‎ ‎10．已知是圆上任意一点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎11．过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，，若，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点. （ ）‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题()‎ ‎13．若直线与圆相交于A,B两点，且（O为坐标原点），则=_____.‎ ‎14．在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ‎ ‎15．已知直线和圆．有以下几个结论：①直线的倾斜角不是钝角；②直线必过第一、三、四象限；‎ ‎③直线能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧；④直线与圆相交的最大弦长为．其中正确的是_______________．（写出所有正确说法的番号）．‎ ‎16．已知，若在圆上存在 点使得成立，则的取值范围为_____．‎ 三、解答题 ‎17．已知圆O1的方程为，圆O2的圆心为(2,1)．若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝，求圆O2的方程．‎ ‎18．已知的顶点，的平分线所在直线方程为，‎ 边上的高所在直线方程为．‎ ‎（1）求顶点的坐标； （2）求的面积． ‎ ‎19．已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，‎ 线段的中点为，为坐标原点.‎ ‎(1)求的轨迹方程； (2)当时，求的方程及的面积。‎ ‎20．已知圆C：，是直线y=4上的动点．‎ ‎（1）若（2，4），过点作圆C的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）是否存在经过点的直线l与圆C相交于M，N两点，且使得点（–1，–3）为线段MN的中点?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆与直线恒有公共点，且要求使圆的面积最小．‎ ‎（1）求证：直线过定点，并指出定点坐标； （2）写出圆的方程；‎ ‎（3）圆与轴相交于两点，圆内动点使，求的取值范围．‎ ‎22．“把你的心我的心串一串，串一株幸运草串一个同心圆…”一位数学老师一这句歌词为灵感构造了一道名为《爱2019》的题目，请你解答此题：设为坐标原点，直线与圆相切且与圆相交于两不同点，已知 ‎ 、分别是圆、圆上的点．‎ ‎（1）求的值； （2）求面积的最大值；‎ ‎（3）若的外接圆圆心在圆上，已知点，求的取值范围．‎ 答案 ‎1．C【解析】由圆的方程可知圆心坐标为：，又圆始终被直线平分，‎ 可知直线过圆心，，解得：，故选 ‎2．B【解析】圆心C(2,1)，半径r＝3，圆心C到直线3x－4y－12＝0的距离 d＝ ＝2，即r－d＝1.∴在圆C上到直线l的距离为1的点有3个．‎ ‎3．D【解析】试题分析：圆的圆心为点，又因为直线与直线垂直，所以直线的斜率．由点斜式得直线，化简 得，故选D．‎ ‎4．A【解析】设圆上任一点为， 中点为，根据中点坐标 公式得， ，因为在圆上，所以，‎ 即，化为，故选A.‎ ‎5．B【解析】由圆与圆，可得公共弦的方程为，又的圆心坐标为，半径为，由圆的弦长公式可得，解得，故选B.‎ ‎6.【答案】B解析：圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径是．要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是;关于轴的对称点，，故 的最大值 为 ，故选：B．‎ ‎7.【答案】C【解析】圆心到直线的距离，圆的半径为3，‎ ‎0，即直线与圆相交，故选：.‎ ‎8.【答案】D【解析】 由于圆心到坐标原点的距离为，圆的半径；‎ 设圆上的点到坐标原点的距离为，因为上总存在两个点到原点的距离为，，或，‎ ‎，即，解得：或，故选D．‎ ‎9．D【解析】直线恒过定点，‎ 即，∴，解得，，‎ ‎∴，∴， 即，‎ ‎∴ ，当且仅当 时取等号，故选D．‎ ‎10．A【解析】表示圆上一点与点连线的斜率.由图可知，当过的直线与圆相切时，目标函数取得最值；设过且与圆相切的直线方程为，即，因此，根据点到 直线距离公式可得： ，解得.所以.故选A ‎11.【答案】B【解析】由题可知圆心，半径．因为，，所以，又，，所以．‎ 在中，，所以．又，‎ 所以 ．故选B．‎ ‎12.【答案】B【解】设是圆的切线， ‎ 是圆与以为直径的两圆的公共弦，可得以为直径的圆的方程为 ① 又 ， ② ‎ ‎ ①-②得，化为，‎ 由，可得总满足直线方程，即过定点，故选B.‎ ‎13．【解析】若直线3x-4y+5=0与圆交于A、B两点，O为坐标原点，‎ 且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x-4y+5=0的距离，‎ 即，解得r=2，‎ ‎14．【解析】由题意得：半径等于，当且仅当时取等号，‎ 所以半径最大为，所求圆为 ‎15.【答案】①④试题分析：在①中，直线l的方程可化为，‎ 于是直线l的斜率，∵，∴，‎ 当且仅当|m|=1时等号成立．∵m≥0，∴直线l的斜率k的取值范围是，‎ ‎∴直线l的倾斜角不是钝角，故①正确；‎ 在②中，∵直线l的方程为：y=k（x-4），其中0≤k≤，‎ ‎∴当k=0或k=时，直线l不过第一、三、四象限，故②错误；‎ 在③中，直线l的方程为：y=k（x-4），其中0≤k≤，‎ 圆C的方程可化为，∴圆C的圆心为C（4，-2），半径r=2，‎ 于是圆心C到直线l的距离，由0≤k≤，得d≥＞1，即d＞，‎ ‎∴若直线l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于，‎ 故直线l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧，故③错误；由③知圆心C到 直线l的距离d≥，∴直线l与圆C相交的最大弦长为：，故④正确 ‎16． 【解】圆C：（x-m）2+（y+m）2=9，∴圆心为C（m，-m），半径为3，设P（x，y），则由PA2+PB2=20，得（x+1）2+y2+（x-5）2+y2=20，即x2+y2-4x+3=0，∴（x-2）2+y2=1，在圆C：x2+y2-2mx+2my+2m2-9=0（m∈R）上存在点P使得PA2+PB2=20成立,转化为：圆C：（x-m）2+（x+m）2=9与圆：（x-2）2+y2=1有交点，转化为：圆心距小于等于两圆半径之和，大于等于两圆半径之差，即3-1≤≤3+1，解得：-2≤m≤0‎ 或2≤m≤3.故答案为：-2≤m≤0或2≤m≤3．‎ ‎17. 【解析】设圆，因为圆，此两圆的 方程相减，即得两圆公共弦，则圆心到直线的距离，‎ 故或者，故圆或者．‎ ‎18． 解：(1)直线,则,直线AC的方程为, ‎ 由，所以点C的坐标．‎ ‎(2),所以直线BC的方程为, ‎ ‎,即．, ‎ 点B到直线AC:的距离为.则.‎ ‎19．解：（1）圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，‎ 设，则，，‎ 由题设知，故，即.‎ 由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是.‎ ‎（2）由（1）可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.‎ 由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而.‎ 因为ON的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为.‎ 又，O到的距离为，，所以的面积为.‎ ‎20.【解】（1）当过点P的切线的斜率存在时，设过点P的圆C的切线方程为y–4=k（x–2），‎ 即kx–y–2k+4=0，又圆C：x2+（y+4）2=4，即圆心C（0，–4），半径r=2，‎ 所以圆心C到切线的距离为2，所以=2，解得k=，‎ 此时切线的方程为y–4=（x–2），即15x–8y+2=0．‎ 当过点P的切线的斜率不存在时，过点P的圆C的切线方程为x=2．‎ 所以切线的方程为15x–8y+2=0或x=2．‎ ‎（2）存在满足条件的直线l．因为弦MN的中点为（–1，–3），圆心C（0，–4），‎ 所以圆心与中点连线的斜率为=–1，则直线l的斜率为1，故可设P（x0，4），‎ 直线l的方程为y–4=x–x0，又圆心到直线l的距离为，解得x0=10或x0=6，‎ 此时直线l的方程为y–4=x–10或y–4=x–6．又点（–1，–3）不在直线y–4=x–10上，‎ 故不满足题意，所以存在经过点P的直线l与圆C相交于M，N两点，且使得 点（–1，–3）为线段MN的中点，此时直线l的方程为x–y–2=0．‎ ‎21. 解：（1）直线过定点M(4,3) ‎ ‎（2）要使圆的面积最小，定点M(4,3)在圆上，则圆的方程为 ‎（3）设，则 ‎，由 得 ‎ 整理得 ‎ ‎ 即.‎ ‎22. 试题解析：（1）如图所示，直线l与圆C1：x2+y2=1相切的切点P是弦AB的中点，‎ 且OP⊥AB，AB=2AP=2，解得r=2；‎ ‎（2）△OEF的面积S=|OE|×|OF|•sin∠EOF，‎ 故当OE⊥OF时，△OEF面积的最大值为：S=|OE|×|OF|=×1×2=1；‎ ‎（3）△OEF的外接圆圆心P在圆C1上，即PE=PF=PO=1，‎ 则△OEF的外接圆与C2内切，且∠EOP=60°，不妨令P（cosα，sinα），则 F（2cosα，2sinα），E（cos（α+60°），sin（α+60°）），∵点D（3，0），‎ ‎∴=（cos（α+60°）﹣3，sin（α+60°）），=（2cosα﹣3，2sinα），‎ ‎ |DE|2+|DF|2=[cos（α+60°）﹣3]2+sin2（α+60°）+（2cosα﹣3）2+（2sinα）2‎ ‎=23﹣15cosα+3sinα=6sin（α﹣φ）+23，其中tanφ=，‎ 故|DE|2+|DF|2的取值范围为[23﹣6，23+6]‎