2019届二轮复习（理）第十一章计数原理与概率分布第70讲课件（25张）（全国通用） 25页

第 70 讲　二项式定理及其应用 考试要求　 1. 二项式定理 (B 级要求 ) ； 2. 高考中对本讲的考查主要是利用通项公式求展开式中某项的系数、某特定的项、项的系数最值问题及几个二项式和或积的展开式中某项的系数等 . 要关注赋值法思想的运用 . 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×”) 诊 断 自 测 2.( 教材改编 )( x － y ) n 的二项展开式中，第 m 项的系数是 ________. 3. (2017· 山东卷 ) 已知 (1 ＋ 3 x ) n 的展开式中含有 x 2 项的系数是 54 ，则 n ＝ ________. 答案 　 63 1. 二项式定理 知 识 梳 理 二项式定理 ( a ＋ b ) n ＝ ____ __ __ ____ _______________________ ( n ∈ N * ) 二项展开式的通项公式 T r ＋ 1 ＝ C a n － r b r ，它表示 第 ________ 项 二项式系数 二项展开式中各项的系数 C( r ∈ {0 ， 1 ， 2 ， … ， n }) r ＋ 1 2. 二项式系数的性质 1 1 3. 二项展开式形式上的特点 n ＋ 1 降幂 升幂 考点一　二项展开式 (2) ( 一题多解 )(2015· 全国 Ⅰ 卷改编 ) ( x 2 ＋ x ＋ y ) 5 的展开式中， x 5 y 2 的系数为 ________. (2) 法一　 利用二项展开式的通项公式求解 . ( x 2 ＋ x ＋ y ) 5 ＝ [( x 2 ＋ x ) ＋ y ] 5 ， 法二　 利用组合知识求解 . 答案　 (1)10 　 (2)30 【例 1 － 2 】 (1) (2015· 全国 Ⅱ 卷 ) ( a ＋ x )(1 ＋ x ) 4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32 ，则 a ＝ ____________. 解析　 (1) 设 ( a ＋ x )(1 ＋ x ) 4 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ a 3 x 3 ＋ a 4 x 4 ＋ a 5 x 5 ， 令 x ＝ 1 ，得 16( a ＋ 1) ＝ a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ， ① 令 x ＝－ 1 ，得 0 ＝ a 0 － a 1 ＋ a 2 － a 3 ＋ a 4 － a 5 . ② ① － ② ，得 16( a ＋ 1) ＝ 2( a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ) ， 即展开式中 x 的奇数次幂的系数之和为 a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＝ 8( a ＋ 1) ，所以 8( a ＋ 1) ＝ 32 ，解得 a ＝ 3. 规律方法 　求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求 ( 求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等 ) ，解出项数 r ＋ 1 ，代回通项公式即可 . 【训练 1 】 (2017· 全国 Ⅲ 卷 ) ( x ＋ y )(2 x － y ) 5 的展开式中 x 3 y 3 的系数为 ________. 解析　 由二项式定理可得，展开式中含 x 3 y 3 的项为 则 x 3 y 3 的系数为 40. 答案　 40 考点二　二项式系数的和或各项系数的和的问题 【例 2 】 在 (2 x － 3 y ) 10 的展开式中，求： (1) 二项式系数的和； (2) 各项系数的和； (3) 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4) 奇数项系数和与偶数项系数和； (5) x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和 . 解　 设 (2 x － 3 y ) 10 ＝ a 0 x 10 ＋ a 1 x 9 y ＋ a 2 x 8 y 2 ＋ … ＋ a 10 y 10 ， (*) 各项系数的和为 a 0 ＋ a 1 ＋ … ＋ a 10 ，奇数项系数和为 a 0 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 10 ，偶数项系数和为 a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＋ … ＋ a 9 ， x 的奇次项系数和为 a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＋ … ＋ a 9 ， x 的偶次项系数和为 a 0 ＋ a 2 ＋ a 4 ＋ … ＋ a 10 . 由于 (*) 是恒等式，故可用 “ 赋值法 ” 求出相关的系数和 . (4) 令 x ＝ y ＝ 1 ，得到 a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 10 ＝ 1 ， ① 令 x ＝ 1 ， y ＝－ 1( 或 x ＝－ 1 ， y ＝ 1) ， 得 a 0 － a 1 ＋ a 2 － a 3 ＋ … ＋ a 10 ＝ 5 10 ， ② ① ＋ ② 得 2( a 0 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 10 ) ＝ 1 ＋ 5 10 ， 【训练 2 】 (1)( 2018· 淮安月考 ) 设 m 为正整数， ( x ＋ y ) 2 m 展开式的二项式系数的最大值为 a ， ( x ＋ y ) 2 m ＋ 1 展开式的二项式系数的最大值为 b ，若 13 a ＝ 7 b ，则 m ＝ ________. 经检验符合题意 . 答案　 6 (2) 解　 当 x ＝ 0 时，左边＝ 1 ，右边＝ a 0 ， ∴ a 0 ＝ 1. 考点三　二项式定理的应用 【例 3 】 (1) 设 a ∈ Z 且 0 ≤ a ＜ 13 ，若 51 2 016 ＋ a 能被 13 整除，则 a ＝ ________. (2)1.02 8 的近似值是 ________( 精确到小数点后三位 ). (3) 用二项式定理证明 2 n >2 n ＋ 1( n ≥ 3 ， n ∈ N * ). 答案　 (1)12 　 (2)1.172 (3) 证明 　当 n ≥ 3 ， n ∈ N * . 规律方法 　 (1) 整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项 . (2) 二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式 . ∵ 前 10 项均能被 88 整除， ∴ 余数是 1. 答案 　 1