【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第四章第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例学案 26页

第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例 ‎1．向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 设θ是a与b 的夹角，则θ的 取值范围是 ‎0°≤θ≤180°‎ θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b ‎2.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 ‎|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，‎ ‎|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 ‎3.向量数量积的运算律 ‎(1)a·b＝b·a.‎ ‎(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．‎ ‎(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎4．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.‎ 结论 几何表示 坐标表示 模 ‎|a|＝ ‎|a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0‎ x1x2＋y1y2＝0‎ ‎|a·b|与|a||b|的关系 ‎|a·b|≤|a||b ‎|x1x2＋y1y2|≤ ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　)‎ ‎(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　)‎ ‎(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　)‎ ‎(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　)‎ ‎(5)两个向量的夹角的范围是.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×‎ ‎2．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|的值为(　　)‎ A．12　　　　　　　　　 B．6‎ C．3 D．3‎ 解析：选B　因为a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，‎ 所以|b|＝＝6.‎ ‎3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin，则b·(‎2a－b)等于(　　)‎ A．2 B．－1‎ C．－6 D．－18‎ 解析：选D　∵a与b的夹角的余弦值为sin＝－，‎ ‎∴a·b＝－3，b·(‎2a－b)＝‎2a·b－b2＝－18.‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)‎ A．a⊥b B．|a|＝|b|‎ C．a∥b D．|a|＞|b|‎ 解析：选A　∵|a＋b|＝|a－b|，‎ ‎∴|a＋b|2＝|a－b|2，‎ ‎∴a2＋b2＋‎2a·b＝a2＋b2－‎2a·b，‎ ‎∴a·b＝0，∴a⊥b.‎ ‎5．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.‎ 解析：因为a＋b＝(m－1,3)，a＋b与a垂直，‎ 所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.‎ 答案：7‎ ‎6．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．‎ 解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为 ‎|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.‎ 答案：－2‎ 　　　　 ‎[考什么·怎么考]‎ 平面向量数量积的概念与计算是高考对平面向量考查的一个重点内容，主要有利用数量积定义求值、在具体平面图形中计算数量积的值，一般难度较小，属于基础题.‎ 考法(一)　利用数量积定义进行运算 ‎1．设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与‎2a－b平行，那么a与b的数量积等于(　　)‎ A．－　　　　　　　 B．－ C. D. 解析：选D　a＋2b＝(－1＋‎2m,4)，‎2a－b＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋‎2m)－4(－2－m)＝0，解得m＝－，‎ 所以a·b＝－1×＋2×1＝.‎ ‎2．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.‎ 解析：因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝＝2，又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos 60°＝2××＝10.‎ 答案：10‎ ‎3．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.‎ 解析：b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3|e1|2－2e1·e2－8|e2|2.其中|e1|2＝|e2|2＝1，e1·e2＝|e1|·|e2|·cos＝1×1×＝，所以b1·b2＝－6.‎ 答案：－6‎ ‎[题型技法]　向量数量积的2种运算方法 方法 运用提示 适用题型 定义法 当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cos θ 适用于已知向量的模及夹角的向量数量积的有关计算问题．(如第2,3题)‎ 坐标法 当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2‎ 适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题．(如第1题)‎ 考法(二)　平面图形中数量积的运算 ‎4．(2018·云南第一次统一检测)在▱ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝(　　)‎ A．48 B．36‎ C．24 D．12‎ 解析：选C　·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×82－×62＝24.‎ ‎5．(2018·石家庄质检)在△ABC中，已知与的夹角为90°，||＝2，||＝1，M为BC上的一点，且＝λ＋μ (λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________．‎ 解析：法一：∵＝－，·＝0，‎ ‎∴(λ＋μ)·(－)＝0，‎ ‎∵与的夹角为90°，||＝2，||＝1，‎ ‎∴－λ||2＋μ||2＝0，‎ 即－4λ＋μ＝0，∴＝.‎ 法二：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，所以＝(0,2)，＝(1,0)，＝(1，－2)．设M(x，y)，则＝(x，y)，所以·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又＝λ＋μ，即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝.‎ 答案： ‎6．(2017·北京高考)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为________．‎ 解析：法一：由题意知，＝(2,0)，令P(cos α，sin α)，则＝(cos α＋2，sin α)，·＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P(1,0)时“＝”成立，故·的最大值为6.‎ 法二：由题意知，＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则·＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，当且仅当x＝1，P(1,0)时“＝”成立，故·的最大值为6.‎ 法三：·表示在方向上的投影与||的乘积．当点P在点B(1,0)处时，·有最大值，此时·＝2×3＝6.‎ 答案：6‎ ‎[题型技法]　计算有关平面几何中数量积的方法 ‎(1)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b ‎，然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．‎ ‎(2)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算法则求得．‎ 　　　　 平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题.,常见的命题角度有：‎ (1)平面向量的模；‎ (2)平面向量的夹角；‎ (3)平面向量的垂直.‎ ‎[题点全练]‎ 角度(一)　平面向量的模 ‎1．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.‎ 解析：由题意，a·b＝|a|·|b|cos 60°＝2×1×＝1，所以|a＋2b|＝＝＝2.‎ 答案：2 ‎2.如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________.‎ 解析：·＝||·||cos 60°＝1×3×＝，又＝(＋)，所以2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)，即2＝(1＋3＋9)＝，所以||＝.‎ 答案： ‎[题型技法]　求向量模的常用方法 ‎(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝.‎ ‎(2)若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±‎2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．‎ 角度(二)　平面向量的夹角 ‎3．(2018·成都二诊)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b 的夹角是(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选A　因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋‎4a·b＝1＋1＋4×1××cos＝3，‎ 所以|a＋2b|＝.‎ 又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos＋2×＝＋＝，‎ 所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，‎ 所以a＋2b与b的夹角为.‎ ‎4．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．1 D．2‎ 解析：选D　∵a＝(1,2)，b＝(4,2)，∴c＝ma＋b＝(m＋4，‎2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，∴a·c＝‎5m＋8，b·c＝‎8m＋20.‎ ‎∵c与a的夹角等于c与b的夹角，‎ ‎∴＝，∴＝，解得m＝2.‎ ‎[题型技法]　求向量夹角问题的方法 ‎(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；‎ ‎(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝.‎ ‎[注意]　〈a，b〉∈[0，π]．‎ 角度(三)　平面向量的垂直 ‎5．(2018·湘中名校联考)已知向量a＝(x，)，b＝(x，－)，若(‎2a＋b)⊥b，则|a|＝(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 解析：选D　因为(‎2a＋b)⊥b，所以(‎2a＋b)·b＝0，‎ 即(3x，)·(x，－)＝3x2－3＝0，解得x＝±1，‎ 所以a＝(±1，)，|a|＝ ＝2.‎ ‎6．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．‎ 解析：由⊥，知·＝0，即·＝(λ＋)·(－)＝(λ－1)·－λ2＋2＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝.‎ 答案： ‎[题型技法]‎ ‎1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．‎ ‎2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．‎ ‎[题“根”探求]‎ ‎1．平面向量数量积的性质要记牢 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 ‎(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0；‎ ‎(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b|a||b|；‎ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝；‎ ‎(4)cos θ＝；‎ ‎(5)|a·b|≤|a||b|.‎ ‎2．思维趋向要明确 ‎(1)看到向量的模?想到向量模的两种计算公式．‎ ‎(2)看到向量的夹角?想到向量的夹角公式．‎ ‎(3)看到两向量垂直?想到两向量的数量积为零．‎ ‎3．二级结论要谨记 ‎(1)求向量夹角的取值范围：‎ ‎①向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且向量a，b不共线；‎ ‎②向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且向量a，b不共线．‎ ‎(2)向量的绝对值三角不等式：‎ ‎||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，可用来求向量模的取值范围．‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1．(2018·广东五校协作体诊断)已知向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)，若|a＋b|＝|a－b|，则实数λ的值为(　　)‎ A．－1 B．2‎ C．1 D．－2‎ 解析：选A　法一：a＋b＝(2λ＋2,2)，a－b＝(－2,0)，由|a＋b|＝|a－b|，可得(2λ＋2)2＋4＝4，解得λ＝－1.‎ 法二：由|a＋b|＝|a－b|，可得a2＋b2＋‎2a·b＝a2＋b2－‎2a·b，所以a·b＝0，故a·b＝(λ，1)·(λ＋2,1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1.‎ ‎2．(2017·山东高考)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．‎ 解析：由题意，得＝cos 60°，‎ 故＝，解得λ＝.‎ 答案： ‎3．已知·＝0，||＝1，||＝2，·＝0，则||的最大值为________．‎ 解析：由·＝0可知，⊥.‎ 故以B为坐标原点，分别以BA，BC所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，‎ 则由题意，可得B(0,0)，A(1,0)，C(0,2)．设D(x，y)，‎ 则＝(x－1，y)，＝(－x,2－y)．‎ 由·＝0，可得(x－1)(－x)＋y(2－y)＝0，‎ 整理得2＋(y－1)2＝.‎ 所以点D在以E为圆心，半径r＝的圆上．‎ 因为||表示B，D两点间的距离，而||＝＝.‎ 所以||的最大值为||＋r＝＋＝.‎ 答案： 　　　　 平面向量与三角函数的综合在高考中常有考查.题型多以解答题形式呈现，难度中等，其共同特点是充分体现平面向量的载体性与工具性.‎ ‎[典题领悟]‎ ‎(2017·江苏高考)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．‎ ‎(1)若a∥b，求x的值；‎ ‎(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．‎ ‎[思维路径]‎ ‎(1)要求x的值，需得到x的关系式．由已知条件及两向量共线的坐标表示可得到关于x的三角函数式，进而求得x的值．‎ ‎(2)要求f(x)的最值，需把f(x)的关系式表示出来，由已知条件及f(x)＝a·b可得到f(x)的关系式是三角函数式，进而把问题转化为三角函数的最值问题，可求解．‎ 解：(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，‎ 所以－cos x＝3sin x.‎ 则tan x＝－.‎ 又x∈[0，π]，所以x＝.‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)‎ ‎＝3cos x－sin x＝2cos.‎ 因为x∈[0，π]，所以x＋∈，‎ 从而－1≤cos≤.‎ 于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；‎ 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.‎ ‎[解题师说]‎ 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 ‎(1)给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．‎ ‎(2)给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．‎ ‎[冲关演练]‎ 已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．‎ 解：(1)f(x)＝a·b＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos，‎ 由2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，‎ ‎∴cos＝－1.‎ ‎∵0I3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，‎ ‎∴OB·，即I1>I3，‎ ‎∴I30，∴n>m.‎ 从而∠DBC>45°，又∠BCO＝45°，∴∠BOC为锐角．‎ 从而∠AOB为钝角．故I1<0，I3<0，I2>0.‎ 又OA1)，＝－λ2 (λ2>1)，‎ 从而I3＝·＝λ1λ2·＝λ1λ2I1，‎ 又λ1λ2>1，I1<0，I3<0，∴I30，n>0)，若m＋n＝1，则||的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　由＝(3,1)，＝(－1,3)，‎ 得＝m －n＝(‎3m＋n，m－3n)．‎ 因为m＋n＝1(m>0，n>0)，所以n＝1－m，且0I3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，‎ ‎∴OB·，即I1>I3，‎ ‎∴I30，∴n>m.‎ 从而∠DBC>45°，又∠BCO＝45°，∴∠BOC为锐角．‎ 从而∠AOB为钝角．故I1<0，I3<0，I2>0.‎ 又OA1)，＝－λ2 (λ2>1)，‎ 从而I3＝·＝λ1λ2·＝λ1λ2I1，‎ 又λ1λ2>1，I1<0，I3<0，∴I3