2019届二轮复习分析法、综合法与反证法课件（16张）（全国通用） 16页

考点一    直接证明 考点清单 考向基础 直接证明中最基本的两种证明方法是① 　综合法     和② 　分析法     . (1)综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过 一系列推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做 综合法. 综合法又称为③ 　由因导果法     (顺推证法). (2)分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件, 直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条 件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法. 分析法又称为④ 　执果索因法     (逆推证法). 考向突破 考向一    综合法 例1     (2019届江苏连云港板浦高级中学检测)如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PC ⊥底面 ABCD , ABCD 是直角梯形, AB ⊥ AD , AB ∥ CD , AB =2 AD =2 CD =2, E 是 PB 的中点. (1)求证: EC ∥平面 PAD ; (2)求证:平面 EAC ⊥平面 PBC .   证明 　(1)作线段 AB 的中点 F ,连接 EF , CF (图略), 则 AF = CD , AF ∥ CD , 所以四边形 ADCF 是平行四边形, 则 CF ∥ AD . 又 EF ∥ AP ,且 CF ∩ EF = F , AD ∩ PA = A , 所以平面 CFE ∥平面 PAD . 又 EC ⊂ 平面 CEF , 所以 EC ∥平面 PAD . (2)因为 PC ⊥底面 ABCD ,所以 PC ⊥ AC . 因为四边形 ABCD 是直角梯形, AB ⊥ AD , 且 AB =2 AD =2 CD =2, 所以 AC =   , BC =   . 所以 AB 2 = AC 2 + BC 2 , 所以 AC ⊥ BC . 因为 PC ∩ BC = C , 所以 AC ⊥平面 PBC . 因为 AC ⊂ 平面 EAC , 所以平面 EAC ⊥平面 PBC . 考向二    分析法 例2 已知函数 f ( x )=3 x -2 x ,试证:对于任意的 x 1 , x 2 ∈R,均有   ≥ f . 证明 　要证明   ≥ f   , 即证明   ≥   -2·   , 因此只要证明   -( x 1 + x 2 ) ≥   -( x 1 + x 2 ), 即证明   ≥   , 因此只要证明   ≥   . 由于 x 1 , x 2 ∈R时,   >0,   >0, 所以   ≥   (当且仅当 x 1 = x 2 时,取“=”)显然成立, 故原结论成立. 考点二    间接证明 考向基础 反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确推理,最后得出矛盾,因 此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法. 考向突破 考向    反证法 例     (2019届江苏郑集高级中学检测)设数列{ a n }是公比为 q 的等比数列, S n 是它的前 n 项和. (1)求证:数列{ S n }不是等比数列; (2)数列{ S n }是等差数列吗?为什么? 解析 　(1)证明:假设数列{ S n }是等比数列,则   = S 1 S 3 , 即   (1+ q ) 2 = a 1 · a 1 ·(1+ q + q 2 ). 因为 a 1 ≠ 0,所以(1+ q ) 2 =1+ q + q 2 , 即 q =0,这与公比 q ≠ 0矛盾, 所以数列{ S n }不是等比数列. (2)当 q =1时, S n = na 1 ,故{ S n }是等差数列; 当 q ≠ 1时,{ S n }不是等差数列, 否则2 S 2 = S 1 + S 3 ,即2 a 1 (1+ q )= a 1 + a 1 (1+ q + q 2 ), 得 q =0,这与公比 q ≠ 0矛盾. 综上,当 q =1时,数列{ S n }是等差数列;当 q ≠ 1时,数列{ S n }不是等差数列. 方法一    综合法证题的方法 综合法证题的思路 1. 分析条件,选择方向.分析题目中的已知条件及已知条件与结论之间的 联系,选择相关的定理,公式等,确定恰当的解题方法. 2. 转化条件,组织过程.把已知条件转化成解题所需要的语言,主要是文 字、符号、图形三种语言之间的转化. 3. 适当调整,回顾反思.解题后回顾解题过程,对解题步骤进行恰当的调 整,并对一些语言进行适当的修饰,反思总结解题方法. 方法技巧 例1     (2019届江苏武进高级中学检测)设数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且(3 - m ) S n +2 ma n = m +3( n ∈N * ).其中 m ≠ -3且 m ≠ 0. (1)求证:{ a n }是等比数列; (2)若数列{ a n }的公比 q = f ( m ),数列{ b n }满足 b 1 = a 1 , b n =   f ( b n -1 )( n ∈N * , n ≥ 2), 求证:   为等差数列. 证明 　(1)由(3- m ) S n +2 ma n = m +3, 得(3- m ) S n +1 +2 ma n +1 = m +3. 两式相减,得(3+ m ) a n +1 =2 ma n , m ≠ -3且 m ≠ 0, 所以   =   ,所以{ a n }是等比数列. (2)因为(3- m ) S n +2 ma n = m +3, 所以(3- m ) a 1 +2 ma 1 = m +3, 所以 a 1 =1, b 1 = a 1 =1, q = f ( m )=   , 所以当 n ∈N * 且 n ≥ 2时, b n =   f ( b n -1 )=   ·   , 得 b n b n -1 +3 b n =3 b n -1 ,即   -   =   , 所以   是首项为1,公差为   的等差数列. 方法二    分析法证题的方法 1. 分析法的思路是“执果索因”,逐步寻找结论成立的充分条件,即从 “未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质 或已经证明成立的结论等,通常采用“要证——只需证——已知”的格 式,在表达中要注意叙述形式的规范性. 2. 分析法证明问题的适用范围:当已知条件与结论之间的联系不够明 显、直接或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时,往往采用分析 法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,常考虑用分析法. 例2 　已知函数 f ( x )=tan x , x ∈   ,若 x 1 , x 2 ∈   ,且 x 1 ≠ x 2 ,求证:   [ f ( x 1 ) + f ( x 2 )]> f   . 证明 　要证   [ f ( x 1 )+ f ( x 2 )]> f   , 即证明   (tan x 1 +tan x 2 )>tan   , 只需证明     >tan   , 只需证明   >   . 由于 x 1 , x 2 ∈   ,故 x 1 + x 2 ∈(0,π). 所以cos x 1 cos x 2 >0,sin( x 1 + x 2 )>0,1+cos( x 1 + x 2 )>0. 故只需证明1+cos( x 1 + x 2 )>2cos x 1 cos x 2 , 即证1+cos x 1 cos x 2 -sin x 1 sin x 2 >2cos x 1 cos x 2 ,即证cos( x 1 - x 2 )<1. 由 x 1 , x 2 ∈   , x 1 ≠ x 2 知上式显然成立,因此   [ f ( x 1 )+ f ( x 2 )]> f   . 方法三    反证法证题的方法 反证法证题的一般步骤 (1) 反设 :假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题)成立;(否 定结论) (2) 归谬:将“反设”作为条件 ,由此出发经过正确的推理,导出矛盾—— 与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾; (推导矛盾) (3) 立论 :因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然 原命题结论的反面不成立,从而肯定了原命题成立.(命题成立) 例3     (2019届江苏建湖高级中学检测)设{ a n }是公比为 q 的等比数列. (1)推导{ a n }的前 n 项和公式; (2)设 q ≠ 1,证明数列{ a n +1}不是等比数列. 解析 　(1)设{ a n }的前 n 项和为 S n , 当 q =1时, S n = a 1 + a 1 + … + a 1 = na 1 ; 当 q ≠ 1时, S n = a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + … + a 1 q n -1 ,① qS n = a 1 q + a 1 q 2 + … + a 1 q n ,② ①-②得,(1- q ) S n = a 1 - a 1 q n ,所以 S n =   , 所以 S n =   (2)证明:假设{ a n +1}是等比数列,则对任意的 k ∈N * , ( a k +1 +1) 2 =( a k +1)( a k +2 +1),   +2 a k +1 +1= a k a k +2 + a k + a k +2 +1, 即   q 2 k +2 a 1 q k = a 1 q k -1 · a 1 q k +1 + a 1 q k -1 + a 1 q k +1 . 因为 a 1 ≠ 0,所以2 q k = q k -1 + q k +1 . 因为 q ≠ 0,所以 q 2 -2 q +1=0,所以 q =1,这与已知矛盾. 所以假设错误,原命题成立.