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- 2021-06-16 发布
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第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
[考纲传真] (教师用书独具)1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
(对应学生用书第115页)
[基础知识填充]
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr⇔相离．
(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：联立两个圆的方程组成方程组的解的情况
相离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r2－r1|0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
(2)(2018·汉中模拟)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________.
(1)B (2)1 [(1)法一：由得两交点为(0,0)，(－a，a)．∵圆M截直线所得线段长度为2，∴＝2.又a>0，∴a＝2.
∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2.
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴两圆相交．
法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)⇔x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∴M(0，a)，r1＝A．
∵圆M截直线x＋y＝0所得线段的长度为2，∴圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝＝，解得a＝2.
以下同法一．
(2)方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4.
两式相减得：2ay＝2，则y＝.
由已知条件＝，即a＝1.]
[规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．
2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．
[变式训练2] (1)圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)(2017·山西太原模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
(1)B (2)C [(1)将两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0化为标准形式分别为(x－3)2＋(y＋8)2＝112，(x＋2)2＋(y－4)2＝82.因此两圆的圆心和半径分别为O1(3，－8)，r1＝11；Q2(－2,4)，r2＝8.故圆心距|O1O2|＝＝13.又|r1＋r2|＞|O1O2|＞|r1－r2|，因此两圆相交，公切线只有2条．
(2)圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m＜25)．从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C．]
直线与圆的综合问题
(2016·江苏高考改编)如图841，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N
的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．
【导学号：79170281】
图841
[解] 圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圆心M(6,7)，半径为5. 1分
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以0
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