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- 2021-06-16 发布
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大连育明高级中学2019-2020学年(上)期中考试
高一数学试卷
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题(每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集,集合,则为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算,再计算,最后求得到答案.
【详解】,,
故选:
【点睛】本题考查了集合的混合运算,意在考查学生的计算能力.
2.已知,若,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据得到,再根据范围大小关系得到答案.
【详解】
,故
故选:
【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数范围,判断是解题的关键.
3.命题的否定是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据命题的否定的定义得到答案.
【详解】命题的否定是:
故选:
【点睛】本题考查了命题的否定,属于基础题型.
4.下列四组函数,表示同一函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的定义域和表达式是否相等依次判断每个选项得到答案.
【详解】A. 定义域为,定义域为,不相同,排除;
B. ,,表达式不相同,排除;
C. 定义域为,定义域为,不相同,排除;
D. 定义域为,定义域为,都相同.
故选:
【点睛】本题考查了相同函数的判断,确定定义域和表达式是解题的关键.
5.设,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据单调性得到,,再计算得到答案.
【详解】;;;
,即
故选:
【点睛】本题考查了数值的大小比较, 意在考查学生的综合应用能力.
6.下列四个命题,期中真命题的个数是( )
①每一个素数都是奇数;②至少有一个等腰三角形不是直角三角形;③;④是的充分不必要条件.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
依次判断每个选项的正误:①举反例2不满足;②找出一个等腰三角形即可;③举反例;④根据范围判断正确,据此判断得到答案.
【详解】①每一个素数都是奇数;2是素数但不是奇数,错误;
②至少有一个等腰三角形不是直角三角形;存在非直角的等腰三角形,正确;
③;当时,不成立,错误;
④是的充分不必要条件;可以得到,不能得到,正确.
故选:
【点睛】本题考查了命题真假判断,意在考查学生的推断能力.
7.函数为上的增函数,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数为递增函数,满足每一个分段为递增,且间断处满足,计算得到答案.
【详解】为上的增函数
则满足: 解得
故选:
【点睛】本题考查了分段函数的单调性,忽略掉间断处的大小关系是容易发生的错误.
8.若函数的图像如图所示,则的图像可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数图像判断得到,再根据函数的平移法则得到答案.
【详解】根据函数的图像知:
,根据函数平移法则知:满足条件
故选:
【点睛】本题考查了函数图像的识别,意在考查学生的对于函数图像的应用能力.
9.定义在上的增函数,满足对于任意正实数恒有,且,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件先计算,再化简得到,根据函数的单调性和定义域计算得到答案.
【详解】且,取则
化简为
根据函数的单调性和定义域得到: 解得
故选:
【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式,忽略定义域是容易发生的错误.
10.已知函数,满足的解集为,若存在实数使成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的解得到,化简得到,利用绝对值不等式得到
得到答案.
【详解】函数,满足的解集为
解集为对比知:
存在实数使成立,即
即 ,,当时等号成立.
故
故选:
【点睛】本题考查了不等式的存在性问题,转化为函数的最值是解题的关键.
11.函数在上的最大值为,最小值为N,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简得到,设判断为奇函数,则
,根据奇函数性质得到答案.
【详解】
设则,为奇函数.
,
即
故选:
【点睛】本题考查了函数最大最小值,构造判断为奇函数是解题的关键.
12.定义域为的偶函数,当时,,若关于的方程有且仅有6个不等的实数根,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据偶函数画出函数图像,得到的根的个数情况,根据
有且仅有6个不等的实数根得到 或
,再根据韦达定理得到答案.
【详解】当时,,为偶函数
画出函数图像,如图所示:
根据图像知:
当时:无解;
当时:有2个根;
当时:有4个根;
当时:有2个根;
当时:有1个根;
当时:无解;
有且仅有6个不等的实数根
和满足: 或
则满足:
则满足:
综上所述:
故选:
【点睛】本题考查了函数的零点问题,意在考查学生对于函数图像,韦达定理,不等式的综合应用能力.
第Ⅱ卷(共60分)
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.计算:
(1)________________;
(2)若,则__________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
①直接计算得到答案.
②根据解得和,代入计算得到答案.
【详解】①
②,易知,则
故
【点睛】本题考查了化简求值,意在考查学生的计算能力.
14.函数的定义域为,则的定义域为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据抽象函数的定义域法则得到不等式,计算得到答案.
【详解】函数的定义域为
则的定义域满足:解得
故答案为:
【点睛】本题考查了抽象函数的定义域,意在考查学生对于抽象函数定义域的掌握情况.
15.已知a>0,b>0,ab -(a+b)=1,求a+b的最小值 .
【答案】
【解析】
试题分析:根据基本关系式,所以原式转化为不等式就是,设,所以,解得,所以最小值是.
考点:基本不等式求最值
16.下列四个命题,其中真命题的序号是_______________.
(1)得最小值为2;
(2)且,则恒成立;
(3),则恒成立;
(4),其中表示三数中最大一个数,则的最小值为.
【答案】(2)(3)(4)
【解析】
【分析】
依次判断每个选项的正误:(1)等号成立的条件不满足;(2)两式相减恒大于0;(3)利用均值不等式再累加得到证明;(4),根据范围大小得到分段函数求在最值,判断得到答案.
【详解】(1),当,即时成立,错误;
(2)且,则,
故恒成立,正确;
(3),不等式累加得到,当时等号成立,正确;
(4)不妨设,则
,故当时,有最小值为,正确.
故答案为:(2)(3)(4)
【点睛】本题考查了不等式的综合应用,意在考查学生对于不等式的应用能力.
三、解答题(本题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知集合,若“”是“”的必要条件,求实数的值.
【答案】
【解析】
【分析】
解得,根据条件得到,讨论,,三种情况计算得到答案.
【详解】
“”是“”的必要条件,故
当时:;
当时:根据韦达定理:不成立;
当时:根据韦达定理:不成立.
综上所述:
【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数,忽略掉空集的情况是容易发生的错误.
18.二次函数满足.
(1)求的解析式;
(2)解关于的不等式.
【答案】(1);(2)详见解析。
【解析】
【分析】
(1)设二次函数为,代入数据计算得到答案.
(2)化简得到,讨论的取值范围得到答案.
【详解】(1)设二次函数为
;;
解得: ,
(2)即
化简得到:
当即时:解得:;
当即时:代入得到;
当即时:
①当时:解得或;
②当时:得到;
③当时:解得:或.
综上所述:
时:;
时:;
时:;
时:;
时:
【点睛】本题考查了二次函数的解析式,分类讨论解不等式,意在考查学生的分类求解的能力.
19.已知定义域为的奇函数,且时.
(1)求时的解析式;
(2)求证:在上为增函数;
(3)解关于的不等式.
【答案】(1);(2)详见解析;(3)
【解析】
分析】
(1)先计算,再设,代入函数化简得到答案.
(2)设,计算判断为正得到证明.
(3)得到不等式,设,化简得到计算得到答案.
【详解】(1)已知定义域为的奇函数,则
当时,则,
综上所述:
(2)设,则
故,,,故
即函数单调递增.
(3),
根据(2)知:得到:
设,则 即,即
解得.
不等式的解集为.
【点睛】本题考查了利用奇函数性质求解析式,函数单调性
证明,利用函数单调性解不等式,意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
20.已知我国华为公司生产某款手机的年固定成本为万元,每生产万只还需另投入万元.设公司一年内共生产该款手机万只并全部销售完,每万只的销售收入为万元,且.
(Ⅰ)写出年利润(万元)关于年产量(万只)的函数的解析式;
(Ⅱ)当年产量为多少万只时,公司在该款手机的生产中获得的利润最大?并求出最大利润.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)见解析.
【解析】
【详解】试题分析:(1)利用利润等于收入减去成本,可得分段函数解析式;
(2)分段求出函数的最大值,比较可得结论.
试题解析:(1)当时,,
当时,,
所以.
(2)①当时,,所以;
②当时,,
由于,
当且仅当,即时,取等号,
所以的最大值为,
综合①②可知,当时,取得最大值为.
21.已知函数.
(1)求函数在区间上的最小值;
(2)若存在不相等的实数同时满足,求的取值范围.
【答案】(1)时:;时:;(2)
【解析】
【分析】
(1)设,化简得到函数,讨论对称轴范围和两种情况计算得到答案.
(2)根据化简得到,代入函数得到,设
得到函数,根据函数的单调性得到取值范围.
【详解】(1),设,,对称轴为
当时:;
当时:.
综上所述:时:;时:
(2),则
化简得到:
即
设则
易知函数在单调递增,故即
【点睛】本题考查了函数的最值问题,求参数的取值范围,意在考查学生对于函数性质和换元法的灵活运用.
22.已知函数.
(1)当时,解不等式;
(2)若时,恒成立,求的取值范围;
(3)关于的方程在区间内恰有一解,求的取值范围.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
【分析】
(1)将代入,得到不等式,计算得到答案.
(2)根据题意得到恒成立,设,根据函数的单调性得到取值范围.
(3)化简得到方程,讨论,,三种情况,计算得到答案.
【详解】(1)当时,,即
(2),设
时:单调递增;单调递增.故在单调递增.
故
(3)即
化简得到:,在区间内恰有一解
当时,方程有解为,满足条件;
当时:
当,时,方程有唯一解为,满足条件;
当,即时
若不是方程的解,则满足:
若是方程的解,即,解得方程为:,满足;
综上所述:
【点睛】本题考查了解不等式,恒成立问题,知解的个数求参数,分类讨论是常用的技巧,漏解是容易发生的错误.