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  • 2021-06-16 发布

【数学】2021届一轮复习人教A版(理)第二章第四讲 指数与指数函数

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第四讲 指数与指数函数 ‎                   ‎ ‎1.下列说法正确的个数为(  )‎ ‎①nan=(na)n=a(n∈N*);‎ ‎②分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘;‎ ‎③函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数;‎ ‎④若am0,且a≠1),则m0,a≠1)的定义域和值域都是[ - 1,0],则a+b=   . ‎ ‎5.[2015福建,15,4分]若函数f (x)=2|x - a|(a∈R)满足f (1+x)=f (1 - x),且f (x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于   . ‎ 考法1指数幂的运算 ‎1计算:‎ ‎(1)( - 3‎3‎‎8‎‎)‎‎-‎‎2‎‎3‎‎+(‎0.002‎)‎‎-‎‎1‎‎2‎ - 10‎×(‎‎5‎ - 2) - 1‎+‎(‎2‎‎-‎‎3‎)0;‎ ‎(2)a‎3‎b‎2‎‎3‎ab‎2‎‎(‎a‎1‎‎4‎b‎1‎‎2‎‎)‎‎4‎a‎-‎‎1‎‎3‎b‎1‎‎3‎(a>0,b>0);‎ ‎(3)若x‎1‎‎2‎‎+‎x‎-‎‎1‎‎2‎=3,求x‎3‎‎2‎‎+x‎-‎‎3‎‎2‎-3‎x‎2‎‎+x‎-2‎-2‎的值.‎ ‎(1)原式=( - 1‎)‎‎-‎‎2‎‎3‎‎×‎(3‎3‎‎8‎‎)‎‎-‎‎2‎‎3‎‎+‎(‎1‎‎500‎‎)‎‎-‎‎1‎‎2‎‎-‎10‎‎5‎‎-2‎+‎1=(‎27‎‎8‎‎)‎‎-‎‎2‎‎3‎‎+‎50‎0‎‎1‎‎2‎ - 10‎×‎(‎5‎‎+‎2)‎+‎1=‎4‎‎9‎‎+‎10‎5‎ - 10‎5‎ - 20‎+‎1= - ‎167‎‎9‎.‎ ‎(2)原式=‎(‎a‎3‎b‎2‎a‎1‎‎3‎b‎2‎‎3‎‎)‎‎1‎‎2‎ab‎2‎a‎-‎‎1‎‎3‎b‎1‎‎3‎‎=‎a‎3‎‎2‎‎+‎1‎‎6‎-1+‎‎1‎‎3‎·b‎1+‎1‎‎3‎-2-‎‎1‎‎3‎=ab - 1.‎ ‎(3)由x‎1‎‎2‎‎+‎x‎-‎‎1‎‎2‎=3,两边平方,得x‎+‎x - 1=7,‎ ‎∴x2‎+‎x - 2=47.∴x2‎+‎x - 2 - 2=45.‎ 由(x‎1‎‎2‎‎+‎x‎-‎‎1‎‎2‎)3=33,得x‎3‎‎2‎‎+‎3x‎1‎‎2‎‎+‎3x‎-‎‎1‎‎2‎‎+‎x‎-‎‎3‎‎2‎=27.‎ ‎∴x‎3‎‎2‎‎+‎x‎-‎‎3‎‎2‎=18,∴x‎3‎‎2‎‎+‎x‎-‎‎3‎‎2‎ - 3=15.‎ ‎∴x‎3‎‎2‎‎+x‎-‎‎3‎‎2‎-3‎x‎2‎‎+x‎-2‎-2‎‎=‎‎1‎‎3‎.‎ 考法2指数函数的图象及应用 ‎2(1)已知函数y=kx+a的图象如图2 - 4 - 2所示,则函数y=ax+k的图象可能是 图2 - 4 - 2‎ ‎(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是    . ‎ ‎(1)由y=kx+a的图象→确定k,a的取值范围→y=ax+k的图象 ‎(2)函数y=2x+1的图象→作关于x轴对称的图形→|y|=2x+1即为上述曲线→观察与y=b相交情况→求b的取值范围 ‎(1)由函数y=kx+a的图象可得k<0,0 - 1,所以 - 10且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是    . ‎ 考法3指数函数的性质及应用 命题角度1 比较大小 ‎3 [2016全国卷Ⅲ,6,5分][理]已知a=‎2‎‎4‎‎3‎,b=‎4‎‎2‎‎5‎,c=2‎5‎‎1‎‎3‎,则(  )‎ A.b0时,10在x∈( - ∞,1]时恒成立,则实数a的取值范围为    . ‎ ‎(1)因为f (x)=3x - (‎1‎‎3‎)x,且定义域为R,所以f ( - x)=3 - x - (‎1‎‎3‎) - x=(‎1‎‎3‎)x - 3x= - [3x - (‎1‎‎3‎)x]= - f (x),即函数f (x)是奇函数.‎ 又y=3x在R上是增函数,y=(‎1‎‎3‎)x在R上是减函数,所以f (x)=3x - (‎1‎‎3‎)x在R上是增函数.故选A.‎ ‎(2)从已知不等式中分离出实数a,得a> - [(‎1‎‎4‎)x+(‎1‎‎2‎)x].‎ 因为y=(‎1‎‎4‎)x,y=(‎1‎‎2‎)x均为减函数,‎ 所以y= - [(‎1‎‎4‎)x+(‎1‎‎2‎)x]为增函数.‎ 所以当x≤1时, - [(‎1‎‎4‎)x+(‎1‎‎2‎)x]≤ - ‎3‎‎4‎.‎ 所以实数a的取值范围为( - ‎3‎‎4‎,+∞).‎ ‎3.[2019湖南五市十校联考]若f (x)=ex - ae - x为奇函数,则满足f (x - 1)>‎1‎e‎2‎ - e2的x的取值范围是(  )‎ A.( - 2,+∞) B.( - 1,+∞)‎ C.(2,+∞) D.(3,+∞)‎ 命题角度3 与指数函数有关的复合函数问题 ‎5已知函数f (x)=(‎1‎‎3‎‎)‎ax‎2‎-4x+3‎.‎ ‎(1)若a= - 1,则f (x)的单调递增区间为    ,单调递减区间为    ; ‎ ‎(2)若f (x)有最大值3,则a的值为    ; ‎ ‎(3)若f (x)的值域是(0,+∞),则a的值为    . ‎ ‎(1)当a= - 1时,f (x)=(‎1‎‎3‎‎)‎‎-x‎2‎-4x+3‎,‎ 令u= - x2 - 4x+3= - (x+2)2+7,‎ 则该函数在( - ∞, - 2)上单调递增,在( - 2,+∞)上单调递减.而y=(‎1‎‎3‎)u在R上单调递减,‎ 所以函数f (x)在( - ∞, - 2)上单调递减,在( - 2,+∞)上单调递增,‎ 即函数f (x)的单调递增区间是( - 2,+∞),单调递减区间是( - ∞, - 2).‎ ‎(2)令h(x)=ax2 - 4x+3,则f (x)=(‎1‎‎3‎)h(x),‎ 因为f (x)有最大值3,所以h(x)有最小值 - 1,‎ 因此必有a>0,‎‎12a-16‎‎4a‎=-1,‎解得a=1,即当f (x)有最大值3时,a的值为1.‎ ‎(3)令g(x)=ax2 - 4x+3,由f (x)的值域是(0,+∞)知,g(x)=ax2 - 4x+3的值域为R,则必有a=0.‎ ‎4.[改编题]已知函数f (x)=2|2x - m| (m为常数).若f (x)在[2,+∞)上单调递增,则m的取值范围是    . ‎ 易错 忽略对底数a的分类讨论而出错 ‎6已知函数y=a2x+2ax - 1(a>0,且a≠1),当x≥0时,则函数的值域为    . ‎ 易忽略对底数a的分类讨论而出错.(1)当a>1时,如果x≥0,那么ax≥1;(2)当01时,∵ x≥0,∴t≥1,∴当a>1时,y≥2.‎ 当01时,函数的值域是[2,+∞);‎ 当01和01时,函数f (x)在[ - 1,0]上单调递增,‎ 由题意可得f( - 1)= - 1,‎f(0)=0,‎即a‎ - 1‎‎+b= - 1,‎a‎0‎‎+b=0,‎显然无解.‎ 所以a+b= - ‎3‎‎2‎.‎ ‎5.1 因为f (1+x)=f (1 - x),所以函数f (x)的图象关于直线x=1对称,所以a=1,所以函数f (x)=2|x - 1|的图象如图D 2 - 4 - 1所示,因为函数f (x)在[m,+∞)上单调递增,所以m≥1,所以实数m的最小值为1.‎ 图D 2 - 4 - 1‎ ‎1.(1)(0,1) 曲线y=|2x - 1|与直线y=b的图象如图D 2 - 4 - 2所示,由图象可得,如果曲线y=|2x - 1|与直线y=b有两个公共点,则b的取值范围是(0,1).‎ 图D 2 - 4 - 2‎ ‎(2)( - ∞,0] 因为函数y=|2x - 1|的单调递减区间为( - ∞,0],所以k≤0,即k的取值范围为( - ∞,0].‎ ‎(3)(0,‎1‎‎2‎) y=|ax - 1|的图象是由y=ax先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的.‎ 当a>1时,两图象只有一个交点,不合题意,如图D 2 - 4 - 3(1);当00时,11.因为当x>0时,bx1,可得ab>1,所以a>b.所以1‎1‎e‎2‎ - e2=‎ f ( - 2),所以x - 1> - 2,解得x> - 1,故选B.‎ ‎4.( - ∞,4] 令t=|2x - m|,则t=|2x - m|在[m‎2‎,+∞)上单调递增,在( - ∞,m‎2‎]上单调递减.因为f (x)=2t在R上为增函数,所以若函数f (x)=2|2x - m|在[2,+∞)上单调递增,则m‎2‎≤2,即m≤4,所以m的取值范围是( - ∞,4].‎

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