安徽省池州市第一中学2019-2020学年高二下学期期中教学质量检测数学（理）试题 11页

‎2019～2020学年度第二学期期中教学质量检测 高二数学（理科）试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1．复数在复平面对应的点为（1，－1），且，则=（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎2．方程表示双曲线的充分不必要条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得(　　)‎ A．当n＝4时命题不成立　　　 　B．当n＝6时命题不成立 C．当n＝4时命题成立　　　　 　D．当n＝6时命题成立 ‎4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明 ‎ “设”，索的因应是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．已知MN是棱长为2的正方体内切球的一条直径，则（ ）‎ A．－1 B．1 C．－2 D．2‎ ‎6．下面给出的类比推理中，结论正确的有（　　　）‎ ‎①若数列{an}是等差数列， bn＝(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}也是等差数列；类比推出：若数列{cn}是各项都为正数的等比数列， dn＝，则数列{dn}也是等比数列；‎ ‎②a，b为实数，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比推出：z1，z2为复数，若z12＋z22＝0，‎ 则z1＝z2＝0；‎ ‎③若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)；类比推出：若为三个向量，则；‎ ‎④在平面内，三角形的两边之和大于第三边；类比推出：在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；‎ ‎⑤若三角形周长为l，面积为S，则其内切圆半径r＝；类比推出：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r＝；‎ A．①②③　 　B．①④　 　C．③④⑤　 　　D．①④⑤‎ ‎7．函数的正数零点从小到大构成数列，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．从4名优秀学生中选拔参加池州一中数学、物理、化学三学科培优研讨会，要求每名学生至多被一学科选中，则每学科至少要选用一名学生的情况有（ ）种 A．24 B．36 C．48 D．60‎ ‎9．奇函数满足，且则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为(　　　)‎ A．R 　 B．R 　 C．R 　 D．R ‎11．已知双曲线C ，以为圆心，为半径作圆P，圆P与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，且，则C的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．对于函数，下列结论正确的个数为（　　　　）‎ ‎ ①为减函数 ②存在极小值 ③存在最大值 ④ 无最小值 A．0 B．1 C．2 D．3 ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13．函数在上极大值为M，极小值为N，则M－N=　 　　　.‎ ‎14．，则的最大值为 .‎ ‎15．池州一中5名党员志愿者报名参加某天教师体温检测工作，现学校安排其中3名志愿者分别负责晨、午、晚检各一人，其中志愿者有早读辅导工作不能安排晨检工作，志愿者有晚自习辅导工作不能安排晚检工作，则共有 种不同安排方法。‎ ‎16．已知函数有3个零点，则实数的取值范围为 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）如图在平面四边形OABC中，，AC=2，BC=1，，设，‎ O A B C θ （1） 若，求；‎ （2） 求OB长度的最大值。‎ ‎18．（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.‎ ‎（1）求数列{an}的通项an与前n项和Sn；‎ ‎（2）设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．‎ ‎19．（12分）已知.‎ （1） 若在处取极值，求在点处切线方程；‎ ‎（2）若函数在区间最小值为－1，求.‎ A B E C D P ‎20．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，E为线段BC的中点.‎ ‎（1）证明；‎ ‎（2）已知，且二面角A－BD－P的大小为，‎ ‎ 求AD与平面BDP所成角的正弦值.‎ ‎21．（12分）椭圆E的方程为，A，B为椭圆E的短轴端点，P为椭圆E上除A、B外一点，且直线PA、PB斜率积为，直线与圆O　相切，且与椭圆E交于M、N两点.‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）证明为定值.‎ ‎22．（12分）已知函数.‎ ‎（1）若，求单调区间；‎ ‎（2）当，在内是否存在极值，若存在求该极值的取值范围.‎ ‎2019～2020学年度第二学期期中教学质量检测 高二数学（理科）参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C C A C D D B D A A A C 二、填空题 ‎13． 14． 15．39 16．‎ 三、解答题 ‎17．（1）在Rt△OAC中，显然OA⊥OC，，又∠OCB ‎∴‎ ‎∴ ……………………5分 ‎（2）∵ ‎ ‎∴‎ ‎∴当时，，∴ …………………………10分 ‎（其它解法参照给分）‎ ‎18．解：（1）设d为的公差，依题意得 ∴‎ ‎∴ ， ……………………5分 ‎（2）由（1）知，假设中存在不同的三项式等比数列，‎ 不妨设（r、s、t互不相等）成等比数列 ‎∴ ∴ ∴ …………8分 由于r、s、t，为无理数，所以 ∴ ………10分 得这与矛盾，∴假设不成立，原命题得证 ………………12分 ‎19．解（1）∵，又在处取极值，‎ ‎∴得，且检验满足题意 ……………………2分 ‎∴，切点为（1，1），切线斜率为 ‎∴在点（1，1）的切线方程为 ……………………5分 ‎（2）∵，令得或 若，则时，在[0，1]为增函数 此时舍去 …………7分 若，则，此时时，在[0，1]为减函数 ‎，得满足题意 ………………9分 若，则，此时时，时 在减，在增，‎ 此时解得舍去 ……………………11分 综合以上得 ……………………12分 ‎20．（1）证明：依题意△ABC为等边三角形，E为BC中点，∴AE⊥BC 又PB＝PC，∴PE⊥BC，而 ……………………4分 ‎∴BC⊥平面PAE，又BC平面PBC，∴平面PAE⊥平面PBC ………………6分 ‎（2）由（1）知BC⊥PA，又PA⊥AB，AB∩BC＝B ‎∴PA⊥平面ABCD，连接AC，设AC∩BD＝M 由菱形ABCD知，AC⊥BD，∴BD⊥平面PAM，‎ ‎∴∠PMA为 二面角A—BD—P的平面角，且∠PMA＝‎ ‎∴AM＝PA，不妨设菱形ABCD边长为2，∴AM＝PA＝1，AD＝2 ………………9分 由BD⊥平面PAM，BD平面PBD知平面PAM⊥平面PBD且交线为PM A B E C D P M N 过A作AN⊥PM，N为垂足，‎ ‎∴AN⊥平面PBD ‎ ‎∴∠ADN为直线AD与平面PBD所成角，‎ 在Rt△APM中AN， ‎ 在Rt△ADN中， ‎ AD与平面PBD所成角正弦值为 …………12分 ‎（其它解法参照给分）‎ ‎21．解：（1）设P（）（）为椭圆E上一点，‎ 则，∴，又A（0，1）、B（0，―1）‎ ‎∴直线PA、PB斜率积为，∴‎ ‎∴椭圆E的方程为 ……………………5分 ‎（2）联立直线l：与椭圆E：平方消去x 整理得 ‎，设直线l与椭圆E交于M（x1，y1）、N（x2、y2）‎ 则 ① ②‎ 考虑到直线l与⊙O相切知，∴ ③ ……………………9分 ‎∴‎ 由①②③得 ‎ ‎ ‎∴为定值0 ……………………12分 ‎22．解：（1）‎ 若，则，当时，，当时 ‎∴增区间为，减区间为（0，1] ……………………5分 （2） 令，则 当时由得即 又（）在（1，+）为增函数 且，，∴‎ ‎∴在有唯一零点，设为 ‎∴时，时 ……………………7分 ‎∴在（1，x0）为减函数，在为增函数 又，∴，显然时 而，记，而在为增函数 ‎∴，从而，∴‎ ‎∴在内仅有唯一零点，记为x1，则且，‎ 当时，则，当时，则 ‎∴当时在存在极值 …………………………9分 且为极小值，为极小值点，其中为满足，∴‎ ‎∴极小值 ‎∴当时，极小值 的取值范围为 …………………………12分