河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高二10月月考数学试题 18页

石家庄二中2019-2020学年高二数学月考题 一、选择题.‎ ‎1.抛物线的焦点到准线的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线的标准方程求出焦点坐标及准线方程，则可求得焦点到准线距离．‎ ‎【详解】解：由抛物线的标准方程：，可知焦点在轴上，，，‎ 则焦点坐标，准线方程： ‎ ‎∴焦点到准线距离 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程及性质，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎2.已知双曲线，则其渐近线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用双曲线方程求解双曲线的渐近线即可．‎ ‎【详解】解：双曲线方程为，则渐近线方程为：‎ 即．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．‎ ‎3.已知椭圆：，直线过的一个焦点，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线过的一个焦点，得，利用椭圆的性质求出，解出离心率即可．‎ ‎【详解】椭圆：，直线过椭圆的一个焦点，可得，‎ 则，所以椭圆的离心率为：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．‎ ‎4.已知双曲线的焦点在轴上，若焦距为，则a=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的简单性质，列出关系式求解即可．‎ ‎【详解】解：双曲线的焦点x轴上，焦距为4，‎ 可得：‎ 解得．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎5.过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|＝（ ）‎ A. B. C. 5 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意得p＝2，‎ ‎∴．选D．‎ ‎6.若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，双曲线位于一、三象限的渐近线的斜率小于或等于，满足，由此结合双曲线基本量的平方关系和离心率的公式，化简整理即可得到该双曲线的离心率的取值范围．‎ ‎【详解】∵双曲线与直线无交点，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程，满足 得，两边平方得，即，‎ ‎∴，得即，‎ ‎∵双曲线的离心率为大于1的正数，‎ ‎，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题给出双曲线与直线无交点，求双曲线离心率的取值范围，考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．‎ ‎7.设椭圆和双曲线的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值等于 A. 3 B. 2 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意知,‎ ‎,‎ ‎,‎ 以上两式平方相减可得 ‎,，故选A.‎ ‎8.已知定圆， ，动圆满足与外切且与内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设动圆圆心，半径为，则，‎ 可得，利用椭圆的定义，即可求动圆圆心的轨迹方程．‎ ‎【详解】解：设动圆圆心的坐标为，半径为，则，‎ ‎∴，‎ 由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，则，‎ ‎，椭圆的方程为：‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎9.关于曲线：性质的叙述，正确的是（ ）‎ A. 一定是椭圆 B. 可能为抛物线 C. 离心率为定值 D. 焦点为定点 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目给出曲线方程，对参数进行分类讨论，最后得出答案.‎ ‎【详解】因为曲线方程没有一次项，不可能为抛物线，故B错误；‎ 因为可正也可负，所以曲线可能为椭圆或双曲线.若曲线为椭圆，则，∴，，离心率不是定值，焦点，，为定点；‎ 若曲线为双曲线，方程为，则，∴，，离心率不是定值，焦点，，为定点；故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥曲线的标准方程和性质,体现了分类讨论的思想.‎ ‎10.如图，已知直线：与抛物线相交于A、B两点，且满足，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线方程可知直线恒过定点，过A、B分别作于M，于N，根据，推断出，点B为AP的中点、连接OB，‎ 进而可知，由此求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用点B在直线上求得直线的斜率．‎ ‎【详解】解：抛物线的准线为，直线恒过定点，‎ 如图过A、B分别作于M，于N，‎ 由，则，点B为AP的中点、连接OB，则，‎ ‎，点B的横坐标为，故点B的坐标为 把代入直线，解得 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，考查抛物线的定义，考查直线斜率的计算，属于中档题．‎ ‎11.已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设A（，），B（，），因为A、B在椭圆上将两式相减可得直线AB的斜率与直线 OM的斜率的关系，建立关于a，b，c的方程，从而求出所求；‎ ‎【详解】设A（，），B（，），又的中点为，则 又因为A、B在椭圆上 所以 两式相减，得：‎ ‎∵,‎ ‎∴，∴，平方可得, ∴=,，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了点差法求斜率，以及椭圆的几何性质，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．‎ ‎12.抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：设在直线上的投影分别是，则，，又是中点，所以，则，在中，所以，即，所以，故选B．‎ 考点：抛物线的性质．‎ ‎【名师点晴】在直线与抛物线位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦的中点到准线的距离首先等于两点到准线距离之和的一半，然后转化为两点到焦点的距离，从而与弦长之间可通过余弦定理建立关系．‎ 二、填空题.‎ ‎13.抛物线的焦点坐标是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将抛物线方程化为标准形式，由此求得焦点坐标 ‎【详解】依题意，抛物线的标准方程为，故，且抛物线开口向右，焦点在轴的正半轴上，故焦点为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题.‎ ‎14.点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为7，则___________.‎ ‎【答案】22‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用三角形的中位线的性质，可得，再利用双曲线的定义，，即可求得．‎ ‎【详解】解：设双曲线的左焦点为，连接，则是的中位线，‎ 到坐标原点的距离为7，‎ 又由双曲线的定义，‎ 得 故答案为：22．‎ ‎【点睛】本题以双曲线的标准方程为载体，考查双曲线的定义，考查三角形中位线的性质，属于基础题．‎ ‎15.如图所示，点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，则的最小值为___________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得圆的圆心和半径，由二次函数可得P与圆心距离的最小值，减掉半径即可。‎ ‎【详解】解：圆可化为，‎ 故圆的圆心（2，0），半径为1.‎ 设抛物线上任意一点，故有，‎ 与（2，0）的距离 当时， 与（2，0）的距离取最小值2，‎ 的最小值为，‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数知识解决解析几何的最值问题，是基础题。‎ ‎16.已知椭圆，点是椭圆上在第一象限上的点，分别为椭圆的左、右焦点，是坐标原点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为,若,则椭圆的离心率为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像，，又，得，利用即可求出离心率。‎ ‎【详解】由题意画出图像 由题意可知 由椭圆定义可知，固有，连接OA，知OA是三角形的中位线，，又，得 则，即，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查椭圆定义的灵活运用，利用垂直平分产生相等线段，对线段相等进行等量代换，是中档题。‎ 三、解答题.‎ ‎17.已知抛物线C：过点 求抛物线C的方程；‎ 设F为抛物线C的焦点，直线l：与抛物线C交于A，B两点，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点的坐标代入抛物线，进行求解即可．‎ ‎（2）联立方程组，利用根与系数之间的关系结合三角形的面积公式进行求解．‎ ‎【详解】（1）因为抛物线：过点，‎ 所以，解得，所以抛物线的方程为．‎ ‎（2）由抛物线的方程可知，直线与轴交于点，‎ 联立直线与抛物线方程，消去可得，‎ 所以，所以，‎ 所以的面积为．‎ ‎【点睛】直线与抛物线的位置关系，可通过联立直线方程和抛物线方程消去（或）得到关于（或）的方程，再利用韦达定理简化目标代数式，也可以直接求出相应的根，再考虑与交点有关的数学问题．‎ ‎18.已知椭圆的右焦点为，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点的直线交椭园于，两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1).(2) 或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，得到，进而求出，即可得到椭圆方程；‎ ‎（2）先由题意设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，设，，由韦达定理，根据的面积，求出，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）由题意可知， ‎ 离心率，所以 所以 所以椭圆的方程为， ‎ ‎（2）由题意可以设直线的方程为，‎ 由得， ‎ 设，‎ 所以，，.‎ 所以的面积创 因为的面积为，所以.‎ 解得. ‎ 所以直线的方程为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆方程，以及椭圆中的直线问题，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.‎ ‎19.在直角坐标系中，抛物线与直线 交于，两点.‎ ‎（1）当时，分别求抛物线在点和处的切线方程；‎ ‎（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由.‎ ‎【答案】(1) 过点和点切线方程分别为.(2)存在点 ‎，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线l的方程代入抛物线C的方程，求出点M、N的坐标，再联立方程，判别式为零，可求出抛物线C在点M、N处的切线方程；‎ ‎（2）设点P为符合题意的点，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式计算直线PM和直线PN的斜率之和为0，求出的值，即可解决该问题．‎ ‎【详解】（1）由题意知时，联立，‎ 解得，．‎ 设过点的切线方程为，‎ 联立得：，‎ 由题意：，即，解得，‎ 根据对称性，过点的切线斜率为，‎ 所以过点和点的切线方程分别为. ‎ ‎（2）存在符合题意的点，证明如下：‎ 设点为符合题意的点，，，直线，的斜率分别为，．联立方程，得，故，，‎ 从而．‎ 当时，有，则直线与直线的倾斜角互补，‎ 故，所以点符合题意．‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．‎ ‎20.椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点M（0，-1），直线l经过点N（2，1）且与椭圆C相交于A,B两点（异于点M），记直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，证明 为定值，并求出该定值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据已知得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；(Ⅱ)先考虑直线l的斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，直线l的方程与椭圆的标准方程联立得到韦达定理，再求出，化简即得其为定值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）将代入中，由可得，‎ 所以弦长为， ‎ 故有，解得，‎ 所以椭圆的方程为：． ‎ ‎（Ⅱ）若直线l的斜率不存在，即直线的方程为x=2，与椭圆只有一个交点，不符合题意。‎ 设直线l的斜率为k，若k=0，直线l与椭圆只有一个交点，不符合题意，故k≠0.‎ 所以直线l的方程为，即， 直线l的方程与椭圆的标准方程联立得：‎ 消去y得:,‎ 设，则，‎ ‎,‎ 把代入上式，得 ‎，命题得证.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎