- 804.00 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数(是虚数单位)为纯虚数,则实数的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.用反证法证明命题:“若实数,满足,则,全为0”,其反设正确的是
( )
A.,至少有一个为0 B.,至少有一个不为0
C.,全不为0 D.,全为0
3.若函数在定义域内可导,则“函数在处导数为0”是“为的极值点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知物体的运动方程为(是时间,是位移),则物体在时刻时的速度
为( )
A. B. C. D.
5.已知复数满足,则=( )
A. B. C.5 D.10
6.=( )
A. B. C. D.
7.已知函数,则函数f(x)的单调递增区间是( )
A.(-∞,1) B.(0,1)
C.(,1) D.(1,+∞)
8.若函数存在极值,则实数的取值范围是( )
A.(-1,1) B.[-1,1] C.(1,) D.(,-1)
9.若直线经过点(8,3),且与曲线相切,则直线的斜率为( )
A. B. C.或 D.或
10.已知,且,则(为虚数单位)的最小值是( )
A. B. C. D.
11.设,是方程的两个不等实根,记(),下列两个命题:①数列的任意一项都是正整数;②数列第5项为10. 则( )
A.①正确,②错误 B.①错误,②正确
C.①②都正确 D.①②都错误
12.已知函数的定义域为R,导函数为,且满足>,,则不等式<的解集为( )
A.(,0) B.(,2) C.(0,) D.(2,)
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知的导函数为,且满足关系式,则的值为 .
14.圆上点P(,)处的切线方程为.类比此结论,椭圆
(>>0)上点P(,)处的切线方程为 .
15.由曲线(x≥0)与它在处切线以及x轴所围成的图形的面积为 .
16.若关于的不等式≤有正整数解,则实数的最小值为__________.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10)
已知函数.
(1)曲线上与直线平行的切线方程;
(2)求过点且与曲线相切的切线方程.
18.(本小题满分12)
已知,,均为正实数.
(Ⅰ)用分析法证明:≤;
(Ⅱ)用综合法证明:若=1,则≥8.
19.(本小题满分12分)
在数列的前项和为,,满足(≥2).
(Ⅰ)求,,并猜想表达式;
(Ⅱ)试用数学归纳法证明你的猜想.
20.(本小题满分12分)
若函数,当时,函数有极值.
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)若方程有3个不同的根,求实数的取值范围.
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若对任意,≥0恒成立,求实数的取值范围.
22.(本小题满分12分)
已知函数,,其中.
(Ⅰ)若函数在区间(1,e)存在零点,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若对任意的,都有≥成立,求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
D
B
A
B
A
C
A
A
C
二、填空题
13. 14. 15. 16.6
三、解答题
17.解(1)曲线方程为:
令,则,
则曲线上与直线平行的切线的切点为:,
则曲线上与直线平行的切线方程是:,
即。
(2) 满足题意;
时,设切点则
切线方程为:
将点P代入可得
,
直线方程为:,
综上,直线方程为:或。
18.(Ⅰ)证明:因为>0,>0,所以>0.
要证明 ≤,
只需证 ≤,
只需证 ≤,
只需证 ≥0,
即证 ≥0.
因为不等式≥0显然成立,从而原不等式成立. ……………………5分
(Ⅱ)因为,,均为正实数,则由基本不等式,得
≥,≥,≥,
所以 ≥,
因为,所以≥8. …………………10分
.
19.(Ⅰ)由,得(≥2).
∵ , ∴ ,
,,
猜想:. ………………………………6分
(Ⅱ)证明:① 当时,左边=,右边=,猜想成立.
② 假设当()时猜想成立,即,
那么,,
即当时猜想也成立.
根据①②,可知猜想对任何都成立. ……………………………12分
(课本上的习题)
20.解:(Ⅰ),由题意得,
解得,,经检验,,符合题意,
故,. ……………………………………5分
(Ⅱ)由(1)知 ,,
令,得或.
当变化时, ,的变化情况如下表:
-2
2
+
0
—
0
+
因此,当时,有极大值,当时,有极小值,
所以函数的图象大致如图所示.
若有3个不同的根,则直线与函数的图象有3个交点,所以. ……………………12分
21.(Ⅰ)解:函数的定义域为R,.
(1)当≤0时,因为>0,所以>0,函数在(,)上单调递增;
……………………2分
(2)当>0时,由>0,得>,由<0,得<,
所以,函数在(,)上单调递减,在(,)上单调递增.
……………………5分
(Ⅱ)解:(1)由(Ⅰ)知,当<0时,在(,)上单调递增,
因为>0,<0,所以存在(,0),使=0.
所以,当(,)时,<0,不合题意.
说明:当<0时,<1,则<0,≥0不恒成立.
(2)当=0时,>0恒成立;
(3)当>0时,=≥0恒成立,等价于对任意,≥恒成立,
令,则,
当(,1)时,>0,为增函数;当(1,)时,<0,为
减函数,所以,于是≥,所以 0<≤.
综上,实数的取值范围为[0,]. ……………………………………12分
22.(Ⅰ)解:,其定义域为,
∵<0,∴在区间(0,)上单调递减.
要使函数在区间(1,e)内存在零点,当且仅当
所以实数a的取值范围为(0,). ……………………………………4分
(Ⅱ)解:对任意的都有≥成立等价于对任意的都
有≥.
当[1,]时,.∴函数在上是增函数.
∴.
∵,.
∴当时,<0,当时,>0,
∴在(0,a)上单调递减,在(a,)单调递增.
① 当时,∴函数在[1,]上是增函数,∴.
由≥,得≥,又,∴,不合题意.
② 当1≤≤时,∴函数在上是减函数,在上是增函数.
∴.
由≥,得≥,又1≤≤,∴≤≤.
③ 当,∴函数在上是减函数.∴.
由≥,得≥,又,∴.
综上所述,的取值范围为. ……………………………………12分