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  • 2021-06-16 发布

山西省运城市永济涑北中学2019-2020学年高二3月月考数学试卷

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理科数学试题 ‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数(是虚数单位)为纯虚数,则实数的值为( )‎ A.-2       B.-1       C.1      D.2‎ ‎2.用反证法证明命题:“若实数,满足,则,全为0”,其反设正确的是 ‎ ( )‎ ‎ A.,至少有一个为0 B.,至少有一个不为0‎ ‎  C.,全不为0         D.,全为0‎ ‎3.若函数在定义域内可导,则“函数在处导数为0”是“为的极值点”的( )‎ A.充分不必要条件         B.必要不充分条件 C.充分必要条件       D.既不充分也不必要条件 ‎4.已知物体的运动方程为(是时间,是位移),则物体在时刻时的速度 为(  ) ‎ A. B.       C.        D.‎ ‎5.已知复数满足,则=( )‎ A.       B.        C.5        D.10‎ ‎6.=(   )‎ ‎ A.        B.        C.       D.‎ ‎7.已知函数,则函数f(x)的单调递增区间是(   )‎ A.(-∞,1) B.(0,1)‎ C.(,1) D.(1,+∞)‎ ‎8.若函数存在极值,则实数的取值范围是( )‎ ‎ A.(-1,1)   B.[-1,1]    C.(1,)   D.(,-1)‎ ‎9.若直线经过点(8,3),且与曲线相切,则直线的斜率为( )‎ A.      B.       C.或     D.或 ‎10.已知,且,则(为虚数单位)的最小值是( )‎ A.     B.     C.      D.‎ ‎11.设,是方程的两个不等实根,记(),下列两个命题:①数列的任意一项都是正整数;②数列第5项为10. 则(   )‎ A.①正确,②错误 B.①错误,②正确 C.①②都正确 D.①②都错误 ‎12.已知函数的定义域为R,导函数为,且满足>,,则不等式<的解集为(   )‎ ‎  A.(,0)    B.(,2) C.(0,)    D.(2,)‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知的导函数为,且满足关系式,则的值为   .‎ ‎14.圆上点P(,)处的切线方程为.类比此结论,椭圆 ‎(>>0)上点P(,)处的切线方程为 .‎ ‎15.由曲线(x≥0)与它在处切线以及x轴所围成的图形的面积为 .‎ ‎16.若关于的不等式≤有正整数解,则实数的最小值为__________.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本小题满分10)‎ 已知函数.‎ ‎(1)曲线上与直线平行的切线方程;‎ ‎(2)求过点且与曲线相切的切线方程.‎ ‎18.(本小题满分12)‎ 已知,,均为正实数.‎ ‎(Ⅰ)用分析法证明:≤;‎ ‎(Ⅱ)用综合法证明:若=1,则≥8.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 在数列的前项和为,,满足(≥2).‎ ‎(Ⅰ)求,,并猜想表达式;‎ ‎(Ⅱ)试用数学归纳法证明你的猜想.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 若函数,当时,函数有极值.‎ ‎(Ⅰ)求,的值;‎ ‎(Ⅱ)若方程有3个不同的根,求实数的取值范围.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若对任意,≥0恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知函数,,其中.‎ ‎(Ⅰ)若函数在区间(1,e)存在零点,求实数a的取值范围; ‎ ‎(Ⅱ)若对任意的,都有≥成立,求实数的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B B D B A B A C A A C 二、填空题 ‎13.  14. 15. 16.6‎ 三、解答题 ‎17.解(1)曲线方程为: ‎ 令,则,‎ 则曲线上与直线平行的切线的切点为:,‎ 则曲线上与直线平行的切线方程是:,‎ 即。‎ (2) 满足题意;‎ ‎ 时,设切点则 ‎ 切线方程为:‎ ‎ 将点P代入可得 ‎,‎ 直线方程为:,‎ 综上,直线方程为:或。‎ ‎18.(Ⅰ)证明:因为>0,>0,所以>0.‎ 要证明 ≤,‎ 只需证 ≤,‎ 只需证 ≤,‎ 只需证  ≥0,‎ 即证 ≥0.‎ 因为不等式≥0显然成立,从而原不等式成立. ……………………5分 ‎ (Ⅱ)因为,,均为正实数,则由基本不等式,得 ‎    ≥,≥,≥,‎ ‎    所以 ≥,‎ ‎ 因为,所以≥8.   …………………10分 ‎.‎ ‎19.(Ⅰ)由,得(≥2).‎ ‎  ∵ , ∴ ,‎ ‎,,‎ 猜想:.            ………………………………6分 ‎  (Ⅱ)证明:① 当时,左边=,右边=,猜想成立.‎ ‎  ② 假设当()时猜想成立,即,‎ ‎ 那么,,‎ ‎ 即当时猜想也成立. ‎ ‎ 根据①②,可知猜想对任何都成立. ……………………………12分 ‎(课本上的习题)‎ ‎20.解:(Ⅰ),由题意得,‎ 解得,,经检验,,符合题意,‎ 故,. ……………………………………5分 ‎(Ⅱ)由(1)知 ,,‎ 令,得或.‎ 当变化时, ,的变化情况如下表:‎ ‎-2‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 因此,当时,有极大值,当时,有极小值,‎ 所以函数的图象大致如图所示.‎ 若有3个不同的根,则直线与函数的图象有3个交点,所以.   ……………………12分 ‎21.(Ⅰ)解:函数的定义域为R,.‎ ‎(1)当≤0时,因为>0,所以>0,函数在(,)上单调递增;‎ ‎                         ……………………2分 ‎(2)当>0时,由>0,得>,由<0,得<,‎ 所以,函数在(,)上单调递减,在(,)上单调递增.‎ ‎ ……………………5分 ‎(Ⅱ)解:(1)由(Ⅰ)知,当<0时,在(,)上单调递增,‎ ‎ 因为>0,<0,所以存在(,0),使=0.‎ 所以,当(,)时,<0,不合题意.‎ ‎ 说明:当<0时,<1,则<0,≥0不恒成立.‎ ‎(2)当=0时,>0恒成立;‎ ‎(3)当>0时,=≥0恒成立,等价于对任意,≥恒成立,‎ 令,则,‎ 当(,1)时,>0,为增函数;当(1,)时,<0,为 减函数,所以,于是≥,所以 0<≤.‎ 综上,实数的取值范围为[0,].   ……………………………………12分 ‎22.(Ⅰ)解:,其定义域为, ‎ ‎∵<0,∴在区间(0,)上单调递减. ‎ 要使函数在区间(1,e)内存在零点,当且仅当 所以实数a的取值范围为(0,).    ……………………………………4分 ‎(Ⅱ)解:对任意的都有≥成立等价于对任意的都 有≥. ‎ ‎ 当[1,]时,.∴函数在上是增函数.‎ ‎∴. ‎ ‎∵,.‎ ‎∴当时,<0,当时,>0,‎ ‎∴在(0,a)上单调递减,在(a,)单调递增.‎ ‎① 当时,∴函数在[1,]上是增函数,∴.‎ 由≥,得≥,又,∴,不合题意.‎ ‎② 当1≤≤时,∴函数在上是减函数,在上是增函数.‎ ‎∴.‎ 由≥,得≥,又1≤≤,∴≤≤. ‎ ‎③ 当,∴函数在上是减函数.∴.‎ 由≥,得≥,又,∴.‎ 综上所述,的取值范围为. ……………………………………12分