【数学】2020届一轮复习人教A版全称量词与存在量词学案理 5页

第三节　全称量词与存在量词 ‎[考纲传真]　1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确地对会有一个量词的命题进行否定．‎ ‎1．全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ‎∀‎ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ‎∃‎ ‎2.全称命题和特称命题 名称 形式 全称命题 特称命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 简记 ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎∃x0∈M，p(x0)‎ 否定 ‎∃x0∈M，p(x0)‎ ‎∀x∈M，p(x)‎ 含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词． ( )‎ ‎(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( )‎ ‎(3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词． ( )‎ ‎(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，非p(x)的真假性相反． ( )‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2．下列命题中全称命题的个数是( )‎ ‎①任意一个自然数都是正整数；‎ ‎②有的等差数列也是等比数列；‎ ‎③三角形的内角和是180°.‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎[答案]　C ‎3．下列命题中的假命题是( )‎ A．∀x∈R,2x－1＞0‎ B．∀x∈N*，(x－1)2＞0‎ C．∃x∈R，lg x＜1‎ D．∃x∈R，tan x＝2‎ B　[对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，故B项是假命题．]‎ ‎4．命题：“∃x0∈R，x－ax0＋1＜0”的否定为________．‎ ‎∀x∈R，x2－ax＋1≥0　[因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，x－ax0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2－ax＋1≥0”．]‎ ‎5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．‎ ‎[－8,0]　[当a＝0时，不等式显然成立．‎ 当a≠0时，依题意知 解得－8≤a＜0.‎ 综上可知－8≤a≤0.]‎ ‎ ‎ 全称命题与特称命题的辨析 ‎【例1】　判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．‎ ‎(1)对任意x∈N,2x＋1是奇数；‎ ‎(2)每一个矩形的对角线都互相平分；‎ ‎(3)对任意x∈R，－x2－1＜0；‎ ‎(4)对某些实数x，有3x＋2＞0；‎ ‎(5)存在x0∈Q，x＝3；‎ ‎(6)不相交的两条直线是平行直线．‎ ‎[解]　(1)是全称命题．因为对任意x∈N,2x＋1都是奇数，所以“对任意x∈N,2x＋1是奇数”是真命题．‎ ‎(2)是全称命题．由矩形的性质可知此命题是真命题．‎ ‎(3)是全称命题．因为对任意x∈R，－x2－1＜0恒成立，所以是真命题．‎ ‎(4)命题中含有存在量词“某些”，故为特称命题，又当x＞－时，3x＋2＞0，故命题为真命题．‎ ‎(5)含有“存在”量词，故为特称命题，由于使x2＝3成立的实数只有x＝±，不属于有理数，故命题为假命题．‎ ‎(6)是全称命题．不相交的两条直线还可能是异面直线．故是假命题．‎ ‎[规律方法]　判定一个语句是全称命题还是特称命题的步骤,‎ ‎1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题.‎ (2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题.‎ (3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质.‎ ‎ 用全称量词或存在量词表示下列语句：‎ ‎(1)有理数都能写成分数形式；‎ ‎(2)方程x2＋2x＋8＝0有实数解；‎ ‎(3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0.‎ ‎[解]　(1)任意一个有理数都能写成分数形式．‎ ‎(2)存在实数x，使方程x2＋2x＋8＝0成立．‎ ‎(3)存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0.‎ 含有一个量词的命题的否定 ‎【例2】　(1)(2019·武汉模拟)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )‎ A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1‎ B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1‎ C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1‎ D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1‎ ‎(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是( )‎ A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2‎ B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2‎ C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2‎ D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2‎ ‎(1)A　(2)D　[(1)改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1，故选A.‎ ‎(2)结合全(特)称命题的否定形式可知，D选项正确．]‎ ‎[规律方法]　1.对全称(特称)命题进行否定的两步操作 ‎(1)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．‎ ‎(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．‎ ‎2．全称命题、特称命题的真假判断方法 ‎(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．‎ ‎(2)要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．‎ ‎ (1)命题：“∃x0＞0，使2x0(x0－a)＞1”，这个命题的否定是( )‎ A．∀x＞0，使2x(x－a)＞1‎ B．∀x＞0，使2x(x－a)≤1‎ C．∀x≤0，使2x(x－a)≤1‎ D．∀x≤0，使2x(x－a)＞1‎ ‎(2)下列命题中，真命题是( )‎ A．∀x∈R，x2－x－1＞0‎ B．∀α，β∈R，sin(α＋β)＜sin α＋sin β C．∃x∈R，x2－x＋1＝0‎ D．∃α，β∈R，sin(α＋β)＝cos α＋cos β ‎(1)B　(2)D　[(1)命题的否定为∀x＞0，使2x(x－a)≤1，故选B.‎ ‎(2)因为x2－x－1＝2－≥－，所以A是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B是假命题．x2－x＋1＝2＋≥，所以C是假命题．当α＝β＝时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D是真命题，故选D.]‎ 根据命题的真假求参数的取值范围 ‎【例3】　(1)已知命题“∃x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )‎ A．(－∞，－1) B．(－1,3)‎ C．(－3，＋∞) D．(－3,1)‎ ‎(2)已知p：∃x0∈R，mx＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p和q都是假命题，则实数m的取值范围为( )‎ A．m≥2 B．m≤－2‎ C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2‎ ‎(1)B　(2)A　[(1)原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0，由题意知，为真命题，‎ 则Δ＝(a－1)2－4×2×＜0，‎ 则－2＜a－1＜2，则－1＜a＜3，故选B.‎ ‎(2)依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，∀x∈R，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.‎ 因此，由p，q均为假命题得 即m≥2，故选A.]‎ ‎[规律方法]　根据命题的真假求参数的取值范围的方法与步骤 (1)求出当命题p，q为真时所含参数的取值范围.‎ (2)根据命题p，q的真假情况，利用集合的运算(并、交、补)求出参数的取值范围.‎ ‎ 已知命题p：∀x∈[1,2]，使得ex－a≥0.若非p是假命题，则实数a的取值范围为( )‎ A．(－∞，e2] B．(－∞，e]‎ C．[e，＋∞) D．[e2，＋∞)‎ B　[非p是假命题，则p是真命题，当x∈[1,2]时，e≤ex≤e2，由题意知a≤(ex)min，x∈[1,2]，因此a≤e，故选B.]‎