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  • 2021-06-16 发布

山东省临沂市临沭县第一中学2019-2020学年高二上学期开学考试数学试题

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高18级2019—2020学年度上学期学情摸底调研 数学试题 本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.‎ 第一卷(选择题共52分)‎ 一、选择题(本题共13小题,每小题4分,共52分.第1-10题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,第11-13题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得四分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)‎ ‎1.数列中,x的值是( )‎ A. 12 B. ‎13 ‎C. 14 D. 15‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察相邻两项的关系,即可得到所求.‎ ‎【详解】观察数列可得:;;;‎ 所以, 则,‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查观察法得数列的项,属于基础题.‎ ‎2.数列-1,,-,,…的一个通项公式是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用由数列﹣1,,,,….可知:奇数项的符号为“﹣”,偶数项的符号为“+”,其分母为奇数2n﹣1,分子为n2.即可得出.‎ ‎【详解】解:由数列﹣1,,,,…‎ 可知:奇数项的符号为“﹣”,偶数项的符号为“+”,‎ 其分母为奇数2n﹣1,分子为n2.‎ ‎∴此数列的一个通项公式.‎ 故选:A.‎ 考点:数列的通项公式 ‎3.数列中,已知,且,则等于( )‎ A. 170 B. ‎171 ‎C. 172 D. 173‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,则,,,则利用累加法可得,再令,进而求解即可.‎ ‎【详解】由题,因为,所以,,,‎ 累加可得,即,‎ 当时,,则,‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查累加法处理数列的递推公式,考查等差数列的前项和公式的应用.‎ ‎4.如图所示是一系列有机物的结构岗图,图中的“小黑点”表示原子,两基点间的“短线”表示化学键,按图中结构第n个图有化学键( )‎ A. 6n B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图分别得到第1个图,第2个图,第3个图中化学键的个数,由数的规律找到第个图中化学键的个数.‎ ‎【详解】由图,第1个图中有6个化学键;‎ 第2个图中有11个化学键;‎ 第3个图中有16个化学键,‎ 观察可得,后一个图比前一个图多5个化学键,‎ 则第个图有个化学键,‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查图形的规律,考查等差数列的通项公式的应用.‎ ‎5.已知等差数列中,,则的值是( )‎ A. 20 B. ‎22 ‎C. 23 D. 24‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列通项公式可整理为,即,进而整理即可求解.‎ ‎【详解】由题,因为,所以,‎ 即,‎ 所以,‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用,属于基础题.‎ ‎6.等比数列的各项都为正数,且,等于( )‎ A. 12 B. ‎11 ‎C. 10 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的性质可得,再由对数的运算性质求解即可.‎ ‎【详解】由题,因为,即,‎ 所以,‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查等比数列的性质的应用,考查对数的运算,属于基础题.‎ ‎7.若,,成等差数列.则x的值为( )‎ A. 7或 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列中项可得,即,进而求解即可.‎ ‎【详解】由题,,则,‎ 即,‎ 所以,‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查等差数列中项的应用,考查对数的运算.‎ ‎8.在等差数列中, , ,则的值为( )‎ A. 27 B. ‎30 ‎C. 33 D. 36‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质可得,,则可得,再由求解即可.‎ ‎【详解】由题,因为,则;‎ 因为,则;‎ 所以,‎ 所以 故选:B ‎【点睛】本题考查等差数列的性质的应用,考查等差数列的定义的应用.‎ ‎9.若为等差数列,是其前项和,且,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,即可求出 进而求出答案.‎ ‎【详解】∵ ,∴,,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质,熟记等差数列的性质以及等差数列前项和性质即可,属于基础题型.‎ ‎10.已知等差数列的前n项和为,若;且A,B,C三点共线(该直线不过点O),则等于( )‎ A. 90 B. ‎100 ‎C. 200 D. 201‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由A,B,C三点共线(该直线不过点O)可得,再由等差数列前项和公式求解即可.‎ ‎【详解】由题,因为A,B,C三点共线(该直线不过点O),‎ 所以,‎ 因为等差数列,所以,‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查等差数列的前项和.‎ ‎11.在等差数列中,首项,公差,前n项和为.以下说法正确的是( )‎ A. 若,则 B. 若,则是中的最大项 C. 若,则 D. 若,则 ‎【答案】ABCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得,利用等差数列的性质可得,即可判断选项A,C;再由,则,即可判断选项B;由可得,则,即可判断选项D.‎ ‎【详解】若可得,即,则,所以,故A正确;‎ 由可得,故C正确;‎ 又,则,所以,,所以是中的最大项,故B正确;‎ 若,则,因为,所以,则,‎ 所以,即,故D正确,‎ 故选:ABCD ‎【点睛】本题考查等差数列的性质的应用,考查等差数列的前项和的最大项.‎ ‎12.已知数列是公比为的等比数列,则以下一定是等比数列的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列可得,进而对各选项中数列依次作前后两项的比,判断是否为常数,即可得到答案.‎ ‎【详解】因为数列是公比为的等比数列,则,‎ 对于选项A,,因为不是常数,故A错误;‎ 对于选项B,,因为为常数,故B正确;‎ 对于选项C,,因为为常数,故C正确;‎ 对于选项D,若,即时,该数列不是等比数列,故D错误. ‎ 故答案为:BC ‎【点睛】本题考查等比数列的判断,需注意等比数列各项均不为0.‎ ‎13.下列命题不正确的是( )‎ A. 若数列的前n项和为,则数列是等差数列.‎ B. 等差数列的公差则是递增数列.‎ C. 常数列既是等差数列,又是等比数列.‎ D. 等比数列是递增数列,则的公比.‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的前项和公式判断选项A;由可得,即可判断选项B;当时,该数列不是等比数列,即C错误;当且时,D错误.‎ ‎【详解】对于选项A,的前n项和,故A错误;‎ 对于选项B,若,则,故B正确;‎ 对于选项C,当时,该常数列不是等比数列,故C错误;‎ 对于选项D, 等比数列是递增数列,,故D错误;‎ 故选:ACD ‎【点睛】本题考查等差数列的前项和公式,考查数列的单调性的判断,考查等比数列的判断.‎ 第二卷(非选择题 共98分)‎ 二、实验题(本题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填写在题中横线上.)‎ ‎14.已知等差数列中,,,则其通项公式__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵等差数列{an}中,a4=8,a8=4,‎ ‎∴,解得a1=11,d=−1,‎ ‎∴通项公式an=11+(n−1)×(−1)=12−n.‎ ‎15.等差数列,的前n项和分别为和,若则=________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:根据等差数列的性质,由.‎ 考点:等差数列的性质.‎ ‎16.若,两个数列:和都是等差数列,则 ‎______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的定义可得,且,则,即可求解.‎ ‎【详解】由题,因为是等差数列,所以,即;‎ 因为是等差数列,所以,即,‎ 所以,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查等差数列定义的应用,属于基础题.‎ ‎17.在中,是以为第三项,4为第七项的等差数列的公差,是以为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形的形状是 .‎ ‎【答案】锐角三角形 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知结合等差数列的性质和等比数列的性质,可求出tanA和tanB,代入两角和的正切公式,结合诱导公式,可得tanC的值,进而判断出三个角的大小,进而判断出三角形的形状.‎ ‎【详解】设以-4为第三项,4为第七项的等差数列的公差为d 则 即 设以为第三项,9为第六项的等比数列的公比为q 则 即 ‎ 则 即 故A,B,C均为锐角 故为锐角三角形 故答案为锐角三角形 ‎【点睛】本题考查的知识点是等差数列及等比数列,考查了三角形内角和定理以及两角和的正切公式,属于中档题.‎ 三、解答题(本原共6小题,共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎18.(1)在等差数列中,若公差,是与的等比中项,求数列的通项公式;‎ ‎(2)在等比数列中, ,.求的通项公式.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)由等比中项可得,再由等差数列的定义可得,即可求得,进而求解;‎ ‎(2)由题可得,,进而求解.‎ ‎【详解】解:(1)由题知 ‎,即,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎(2),‎ ‎,,‎ 解得,,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查等比数列的通项公式,考查等比中项的应用.‎ ‎19.等差数列的前项和记为,已知.‎ ‎(1)求通项;‎ ‎(2)若,求.‎ ‎【答案】(1);(2)n=11.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:(1)设等差数列的公差为,根据条件用基本量列方程求解即可;‎ ‎(2)先求出,再令解方程即可.‎ 试题解析:‎ ‎1设等差数列的公差为,‎ 由得方程组,解得 所以 ‎2由得方程,‎ 解得 ‎20.已知等差数列中,,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)当为何值时,数列的前项和取得最大值?‎ ‎【答案】(1) .(2) 当时,取得最大值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题设条件和等差数列的通项公式,化简求得,即可求解,得到答案.‎ ‎(2)法一:利用等差数列的前n项和公式,求得,再利用二次函数的性质,即可求解;‎ 法二:由(1),求得时,,时,,即可求解,得到结论.‎ ‎【详解】(1)由题意,等差数列中,,,‎ 则,解得,‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎(2)法一:,,‎ ‎,‎ ‎∴当时,取得最大值.‎ 法二:由(1)知,,∴是递减数列.‎ 令,则,解得.‎ ‎∵,∴时,,时,.‎ ‎∴当时,取得最大值.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解,以及等差数列的前n项和的最值问题,其中解答中熟记等差数列的通项公式,以及等差数列的前n项和的最值问题的求解方法,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.‎ ‎21.设关于的一元二次方程()有两根和且满足.①试用表示;②求证:数列是等比数列.‎ ‎③当时,求数列的通项公式.‎ ‎【答案】①②见解析③‎ ‎【解析】‎ ‎(1)根据韦达定理,得,,由 得,故 ‎(2)证明:,‎ 若,则,从而,‎ 这时一元二次方程无实数根,故,‎ 所以,数列是公比为的等比数列.‎ ‎(3)设,则数列是公比的等比数列,又 ‎,所以,所以,.‎ ‎22.等差数列中, ,,‎ ‎(1)求数列的前n项和公式;‎ ‎(2)求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题可得,即可解得,进而求解;‎ ‎(2)由(1)先求得,由可得,再分别讨论与的情况,进而求解.‎ ‎【详解】解:(1)设首项为,公差为,‎ 由,得,‎ ‎.‎ ‎(2)由(1)知,,‎ 由得即,‎ 当时,;‎ 当时,‎ 综上,.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前项和,考查等差数列的绝对值求和,考查分类讨论思想.‎ ‎23.设数列的前n项和为,,点在直线 ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设数列的前n项和为.是否存在正整数m使得恒成立,若存在,求出正整数m的最小值,若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)(2)存在,最小的正整数为12.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将点代入直线方程可得,可解得,再由 求解即可;‎ ‎(2)由(1)可得,利用裂项相消法可求得,则,即可求解.‎ ‎【详解】解:(1)由题知,‎ 当时,,‎ 是首项为2,公差为1的等差数列, ‎ ‎,‎ ‎,‎ 当时,,‎ 又适合上式,‎ ‎.‎ ‎(2)存在,‎ 由(1)‎ ‎,‎ 恒成立,‎ 即,‎ 又,,‎ 存在最小的正整数为12.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的定义,考查由与的关系求通项公式,考查裂项相消法求数列的和,考查数列的不等式问题.‎