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- 2021-06-16 发布
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高18级2019—2020学年度上学期学情摸底调研
数学试题
本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.
第一卷(选择题共52分)
一、选择题(本题共13小题,每小题4分,共52分.第1-10题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,第11-13题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得四分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.数列中,x的值是( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】
观察相邻两项的关系,即可得到所求.
【详解】观察数列可得:;;;
所以, 则,
故选:D
【点睛】本题考查观察法得数列的项,属于基础题.
2.数列-1,,-,,…的一个通项公式是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用由数列﹣1,,,,….可知:奇数项的符号为“﹣”,偶数项的符号为“+”,其分母为奇数2n﹣1,分子为n2.即可得出.
【详解】解:由数列﹣1,,,,…
可知:奇数项的符号为“﹣”,偶数项的符号为“+”,
其分母为奇数2n﹣1,分子为n2.
∴此数列的一个通项公式.
故选:A.
考点:数列的通项公式
3.数列中,已知,且,则等于( )
A. 170 B. 171 C. 172 D. 173
【答案】A
【解析】
【分析】
由,则,,,则利用累加法可得,再令,进而求解即可.
【详解】由题,因为,所以,,,
累加可得,即,
当时,,则,
故选:A
【点睛】本题考查累加法处理数列的递推公式,考查等差数列的前项和公式的应用.
4.如图所示是一系列有机物的结构岗图,图中的“小黑点”表示原子,两基点间的“短线”表示化学键,按图中结构第n个图有化学键( )
A. 6n B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由图分别得到第1个图,第2个图,第3个图中化学键的个数,由数的规律找到第个图中化学键的个数.
【详解】由图,第1个图中有6个化学键;
第2个图中有11个化学键;
第3个图中有16个化学键,
观察可得,后一个图比前一个图多5个化学键,
则第个图有个化学键,
故选:B
【点睛】本题考查图形的规律,考查等差数列的通项公式的应用.
5.已知等差数列中,,则的值是( )
A. 20 B. 22 C. 23 D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差数列通项公式可整理为,即,进而整理即可求解.
【详解】由题,因为,所以,
即,
所以,
故选:D
【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用,属于基础题.
6.等比数列的各项都为正数,且,等于( )
A. 12 B. 11 C. 10 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由等比数列的性质可得,再由对数的运算性质求解即可.
【详解】由题,因为,即,
所以,
故选:C
【点睛】本题考查等比数列的性质的应用,考查对数的运算,属于基础题.
7.若,,成等差数列.则x的值为( )
A. 7或 B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差数列中项可得,即,进而求解即可.
【详解】由题,,则,
即,
所以,
故选:D
【点睛】本题考查等差数列中项的应用,考查对数的运算.
8.在等差数列中, , ,则的值为( )
A. 27 B. 30 C. 33 D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】
由等差数列的性质可得,,则可得,再由求解即可.
【详解】由题,因为,则;
因为,则;
所以,
所以
故选:B
【点睛】本题考查等差数列的性质的应用,考查等差数列的定义的应用.
9.若为等差数列,是其前项和,且,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由,即可求出 进而求出答案.
【详解】∵ ,∴,,
故选B.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质,熟记等差数列的性质以及等差数列前项和性质即可,属于基础题型.
10.已知等差数列的前n项和为,若;且A,B,C三点共线(该直线不过点O),则等于( )
A. 90 B. 100 C. 200 D. 201
【答案】B
【解析】
【分析】
由A,B,C三点共线(该直线不过点O)可得,再由等差数列前项和公式求解即可.
【详解】由题,因为A,B,C三点共线(该直线不过点O),
所以,
因为等差数列,所以,
故选:B
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查等差数列的前项和.
11.在等差数列中,首项,公差,前n项和为.以下说法正确的是( )
A. 若,则 B. 若,则是中的最大项
C. 若,则 D. 若,则
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
由可得,利用等差数列的性质可得,即可判断选项A,C;再由,则,即可判断选项B;由可得,则,即可判断选项D.
【详解】若可得,即,则,所以,故A正确;
由可得,故C正确;
又,则,所以,,所以是中的最大项,故B正确;
若,则,因为,所以,则,
所以,即,故D正确,
故选:ABCD
【点睛】本题考查等差数列的性质的应用,考查等差数列的前项和的最大项.
12.已知数列是公比为的等比数列,则以下一定是等比数列的是( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
由等比数列可得,进而对各选项中数列依次作前后两项的比,判断是否为常数,即可得到答案.
【详解】因为数列是公比为的等比数列,则,
对于选项A,,因为不是常数,故A错误;
对于选项B,,因为为常数,故B正确;
对于选项C,,因为为常数,故C正确;
对于选项D,若,即时,该数列不是等比数列,故D错误.
故答案为:BC
【点睛】本题考查等比数列的判断,需注意等比数列各项均不为0.
13.下列命题不正确的是( )
A. 若数列的前n项和为,则数列是等差数列.
B. 等差数列的公差则是递增数列.
C. 常数列既是等差数列,又是等比数列.
D. 等比数列是递增数列,则的公比.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由等比数列的前项和公式判断选项A;由可得,即可判断选项B;当时,该数列不是等比数列,即C错误;当且时,D错误.
【详解】对于选项A,的前n项和,故A错误;
对于选项B,若,则,故B正确;
对于选项C,当时,该常数列不是等比数列,故C错误;
对于选项D, 等比数列是递增数列,,故D错误;
故选:ACD
【点睛】本题考查等差数列的前项和公式,考查数列的单调性的判断,考查等比数列的判断.
第二卷(非选择题 共98分)
二、实验题(本题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填写在题中横线上.)
14.已知等差数列中,,,则其通项公式__________
【答案】
【解析】
∵等差数列{an}中,a4=8,a8=4,
∴,解得a1=11,d=−1,
∴通项公式an=11+(n−1)×(−1)=12−n.
15.等差数列,的前n项和分别为和,若则=________.
【答案】.
【解析】
试题分析:根据等差数列的性质,由.
考点:等差数列的性质.
16.若,两个数列:和都是等差数列,则
______.
【答案】
【解析】
【分析】
由等差数列的定义可得,且,则,即可求解.
【详解】由题,因为是等差数列,所以,即;
因为是等差数列,所以,即,
所以,
故答案为:
【点睛】本题考查等差数列定义的应用,属于基础题.
17.在中,是以为第三项,4为第七项的等差数列的公差,是以为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形的形状是 .
【答案】锐角三角形
【解析】
【分析】
根据已知结合等差数列的性质和等比数列的性质,可求出tanA和tanB,代入两角和的正切公式,结合诱导公式,可得tanC的值,进而判断出三个角的大小,进而判断出三角形的形状.
【详解】设以-4为第三项,4为第七项的等差数列的公差为d
则
即
设以为第三项,9为第六项的等比数列的公比为q
则
即
则
即
故A,B,C均为锐角
故为锐角三角形
故答案为锐角三角形
【点睛】本题考查的知识点是等差数列及等比数列,考查了三角形内角和定理以及两角和的正切公式,属于中档题.
三、解答题(本原共6小题,共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(1)在等差数列中,若公差,是与的等比中项,求数列的通项公式;
(2)在等比数列中, ,.求的通项公式.
【答案】(1)(2)
【解析】
分析】
(1)由等比中项可得,再由等差数列的定义可得,即可求得,进而求解;
(2)由题可得,,进而求解.
【详解】解:(1)由题知
,即,
,
.
(2),
,,
解得,,
.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查等比数列的通项公式,考查等比中项的应用.
19.等差数列的前项和记为,已知.
(1)求通项;
(2)若,求.
【答案】(1);(2)n=11.
【解析】
【详解】试题分析:(1)设等差数列的公差为,根据条件用基本量列方程求解即可;
(2)先求出,再令解方程即可.
试题解析:
1设等差数列的公差为,
由得方程组,解得
所以
2由得方程,
解得
20.已知等差数列中,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)当为何值时,数列的前项和取得最大值?
【答案】(1) .(2) 当时,取得最大值.
【解析】
【分析】
(1)根据题设条件和等差数列的通项公式,化简求得,即可求解,得到答案.
(2)法一:利用等差数列的前n项和公式,求得,再利用二次函数的性质,即可求解;
法二:由(1),求得时,,时,,即可求解,得到结论.
【详解】(1)由题意,等差数列中,,,
则,解得,
所以数列的通项公式为.
(2)法一:,,
,
∴当时,取得最大值.
法二:由(1)知,,∴是递减数列.
令,则,解得.
∵,∴时,,时,.
∴当时,取得最大值.
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解,以及等差数列的前n项和的最值问题,其中解答中熟记等差数列的通项公式,以及等差数列的前n项和的最值问题的求解方法,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
21.设关于的一元二次方程()有两根和且满足.①试用表示;②求证:数列是等比数列.
③当时,求数列的通项公式.
【答案】①②见解析③
【解析】
(1)根据韦达定理,得,,由
得,故
(2)证明:,
若,则,从而,
这时一元二次方程无实数根,故,
所以,数列是公比为的等比数列.
(3)设,则数列是公比的等比数列,又
,所以,所以,.
22.等差数列中, ,,
(1)求数列的前n项和公式;
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)由题可得,即可解得,进而求解;
(2)由(1)先求得,由可得,再分别讨论与的情况,进而求解.
【详解】解:(1)设首项为,公差为,
由,得,
.
(2)由(1)知,,
由得即,
当时,;
当时,
综上,.
【点睛】本题考查等差数列的前项和,考查等差数列的绝对值求和,考查分类讨论思想.
23.设数列的前n项和为,,点在直线
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前n项和为.是否存在正整数m使得恒成立,若存在,求出正整数m的最小值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在,最小的正整数为12.
【解析】
【分析】
(1)将点代入直线方程可得,可解得,再由
求解即可;
(2)由(1)可得,利用裂项相消法可求得,则,即可求解.
【详解】解:(1)由题知,
当时,,
是首项为2,公差为1的等差数列,
,
,
当时,,
又适合上式,
.
(2)存在,
由(1)
,
恒成立,
即,
又,,
存在最小的正整数为12.
【点睛】本题考查等差数列的定义,考查由与的关系求通项公式,考查裂项相消法求数列的和,考查数列的不等式问题.