【数学】2020届一轮复习人教B版 全称量词与存在量词 学案 8页

全称量词与存在量词 ‎ ‎ ‎【学习目标】‎ ‎1．理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；‎ ‎2．能准确地使用全称量词和存在量词符号“” “ ”来表述相关的教学内容；‎ ‎3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；‎ ‎4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一、全称量词与全称命题 全称量词 全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.‎ 常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“”表示，读作“对任意”.‎ 全称命题 全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.‎ 一般形式：“对中任意一个，有成立”，‎ 记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.‎ 要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.‎ 要点二、存在量词与特称命题 存在量词 定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.‎ 常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“ ”表示，读作“存在 ”.‎ 特称命题 特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.‎ 一般形式：“存在中一个元素，有成立”，‎ 记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.‎ 要点诠释：‎ ‎（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在使 ‎.‎ ‎（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.‎ ‎（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述 要点三、 含有量词的命题的否定 对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题：，‎ 的否定：，；‎ 从一般形式来看，全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意”的否定为“，”.‎ 对含有一个量词的特称命题的否定 ‎ 特称命题：，‎ 的否定：，；‎ 从一般形式来看，特称命题“，”，它的否定并不是简单地对结论部分进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“，”的否定为“，”.‎ 要点诠释：‎ ‎(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；‎ ‎(2) 命题的否定与命题的否命题是不同的.  ‎ ‎(3) 正面词：等于 、 大于  、小于、   是、   都是、  至少一个  、至多一个、  小于等于 否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个 、 大于等于.‎ 要点四、全称命题和特称命题的真假判断 ‎①要判定全称命题“，”是真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明成立；要判定全称命题“，”是假命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得不成立，即举一反例即可.‎ ‎②要判定特称命题“，”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0‎ ‎，使得成立即可；要判定特称命题“，”是假命题，必须证明在集合M中，使 成立得元素不存在.‎ ‎ ‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：量词与全称命题、特称命题 例1.指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号表示.‎ （1） 对任意正实数；‎ （2） 对某个大于10的正整数n，.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）命题（1）中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合.命题（1）可以写成“”.‎ ‎（2）命题（2）中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集合.命题（2）可写成“.‎ ‎【总结升华】 判断一个命题是否含有全称量词和存在量词，关键是看命题中是否有“所有”，“任意”，“任何”，“存在”，“有的”，“至少有”等词语，或隐含有这些词语的意思.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题：‎ （1） 任何一个实数除以1仍等于这个数；‎ （2） 等边三角形的三边相等；‎ （3） 存在实数，使。‎ ‎【答案】（1）全称命题，（2）全称命题，（3）特称命题 ‎【高清课堂：全称量词与存在量词395491例1】‎ ‎【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题.‎ ‎（1）xR，x2+1≥1； ‎ ‎（2）所有素数都是奇数； ‎ ‎（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； ‎ ‎（4）有些整数只有两个正因数. ‎ ‎【答案】‎ ‎（1）有全称量词“任意”，是全称命题；‎ ‎（2）有全称量词“所有”，是全称命题；‎ ‎（3）有存在量词“存在”，是特称命题；‎ ‎（4）有存在量词“有些”；是特称命题。‎ 类型二：判断全称命题、特称命题的真假 例2.判断下列命题的真假：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由于，当时，不成立，故(1)为假命题；‎ ‎（2）由于，当时能使，所以（2）为真命题.‎ ‎【总结升华】‎ ‎（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；‎ ‎（2）要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】试判断下列命题的真假 ‎（1）； ‎ ‎（2）； ‎ ‎（3）；‎ ‎（4）；‎ ‎（5）；‎ ‎【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）假命题；（5）假命题 ‎【变式2】在下列特称命题中假命题的个数是（ ）‎ ‎①有的实数是无限不循环小数；‎ ‎②有些三角形不是等腰三角形；‎ ‎③有的菱形是正方形.‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】A 类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定 例3.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假.‎ ‎（1）三角形的内角和为180°；‎ ‎（2）每个二次函数的图象都开口向下；‎ ‎（3）存在一个四边形不是平行四边形；‎ ‎（4）； ‎ ‎（5）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）是全称命题且为真命题.‎ 命题的否定：三角形的内角和不全为180°，‎ 即存在一个三角形，它的内角和不等于180°，为假命题.‎ ‎（2）是全称命题且为假命题.‎ 命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题.‎ ‎（3）是特称命题且为真命题.‎ 命题的否定：所有的四边形都是平行四边形，为假命题.‎ ‎（4）是全称命题且为真命题.‎ 由于都有，故，为真命题；‎ ‎：，为假命题 ‎（5）是特称命题且为假命题.‎ 因为不存在一个实数，使成立，为假命题；‎ ‎：，为真命题.‎ ‎【总结升华】命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】写出下列命题的否定，并判断真假.‎ ‎（1）； ‎ ‎（2）所有的正方形都是矩形；‎ ‎ （3）； ‎ ‎（4）至少有一个实数x0，使得.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）：（假命题）；‎ ‎（2）：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；‎ ‎（3）：（真命题）； ‎ ‎（4）：（真命题）.‎ ‎【高清课堂：全称量词与存在量词395491 例5】‎ ‎【变式2】 “a和b都不是偶数”的否定形式是（ ） ‎ ‎（A） a和b至少有一个是偶数 ‎ ‎（B） a和b至多有一个是偶数 ‎ ‎（C） a是偶数，b不是偶数 ‎ ‎（D）a和b都是偶数 ‎ ‎.【答案】A ‎【变式3】(2015 湖北文)命题“”的否定是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为，故选C.‎ 类型四：含有量词的命题的应用 例4．已知，，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. ‎ ‎【解析】‎ ‎ q:x2-2x+1-m2≤0Þ[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0‎ ‎ 又∵m>0‎ ‎ ∴不等式的解为1-m≤x≤1+m ‎ ∵是的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p是q 的充分不必要条件”‎ ‎ ∴不等式的解集是x2-2x+1-m2≤0(m>0)的解集的子集.‎ ‎ ‎ ‎ ∴实数m的取值范围是 ‎【总结升华】本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性，使用的技巧与方法是利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】(2015 山东)若“，”是真命题，则实数m的最小值为 。‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】若“，”是真命题 ‎ 则，其中 ‎ ‎ 函数 的最大值为1‎ ‎ ‎ ‎ 即的最小值为1，所以答案应填1.‎ ‎【变式2】（2019 江苏模拟）若函数，g（x）=a（x－a+3）同时满足以下两条件：‎ ‎①，f（x）＜0或g（x）＜0；‎ ‎②，f（x）g（x）＜0。‎ 则实数a的取值范围为________。‎ ‎【答案】‎ ‎∵已知函数，g（x）=a（x－a+3），‎ 根据①，f（x）＜0，或g（x）＜0，‎ 即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值，‎ 由f（x）≥0，求得x≤－1，‎ 即当x≤－1时，g（x）＜0恒成立，‎ 故，解得：a＞2；‎ 根据②，使f（x）·g（x）＜0成立，‎ ‎∴g（1）=a（1－a+3）＞0，‎ 解得：0＜a＜4，‎ 综上可得：a∈（2，4），‎ 故答案为：（2，4）‎ ‎【变式3】已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数.命题q：当时，函数恒成立.如果p或q为真命题，p且q为假命题.求c的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由命题p知：0＜c＜1.‎ 由命题q知：，‎ 要使此式恒成立，则，即.‎ 又由p或q为真，p且q为假知，‎ p、q必有一真一假，‎ 当p为真，q为假时，c的取值范围为.‎ 当p为假，q为真时，c≥1.‎ 综上，c的取值范围为.‎