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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习人教B版 全称量词与存在量词 学案

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全称量词与存在量词 ‎ ‎ ‎【学习目标】‎ ‎1.理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念;‎ ‎2.能准确地使用全称量词和存在量词符号“” “ ”来表述相关的教学内容;‎ ‎3.掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法;‎ ‎4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一、全称量词与全称命题 全称量词 全称量词:在指定范围内,表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.‎ 常见全称量词:“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“”表示,读作“对任意”.‎ 全称命题 全称命题:含有全称量词的命题,叫做全称命题.‎ 一般形式:“对中任意一个,有成立”,‎ 记作:,(其中为给定的集合,是关于的语句).‎ 要点诠释:有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词,例如:(1)“末位是0的整数,可以被5整除”;(2)“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”;(3)“负数的平方是正数”;都是全称命题.‎ 要点二、存在量词与特称命题 存在量词 定义:表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.‎ 常见存在量词:“有一个”,“存在一个”,“至少有一个”,“有的”,“有些”等.通常用符号“ ”表示,读作“存在 ”.‎ 特称命题 特称命题:含有存在量词的命题,叫做特称命题.‎ 一般形式:“存在中一个元素,有成立”,‎ 记作:,(其中为给定的集合,是关于的语句).‎ 要点诠释:‎ ‎(1)一个特称命题中也可以包含多个变量,例如:存在使 ‎.‎ ‎(2)有些特称命题也可能省略了存在量词.‎ ‎(3)同一个全称命题或特称命题,可以有不同的表述 要点三、 含有量词的命题的否定 对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题:,‎ 的否定:,;‎ 从一般形式来看,全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定,还需对全称量词进行否定,使之成为存在量词,也即“任意”的否定为“,”.‎ 对含有一个量词的特称命题的否定 ‎ 特称命题:,‎ 的否定:,;‎ 从一般形式来看,特称命题“,”,它的否定并不是简单地对结论部分进行否定,还需对存在量词进行否定,使之成为全称量词,也即“,”的否定为“,”.‎ 要点诠释:‎ ‎(1) 全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题;‎ ‎(2) 命题的否定与命题的否命题是不同的.  ‎ ‎(3) 正面词:等于 、 大于  、小于、   是、   都是、  至少一个  、至多一个、  小于等于 否定词:不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个 、 大于等于.‎ 要点四、全称命题和特称命题的真假判断 ‎①要判定全称命题“,”是真命题,必须对集合M中的每一个元素x,证明成立;要判定全称命题“,”是假命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使得不成立,即举一反例即可.‎ ‎②要判定特称命题“,”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0‎ ‎,使得成立即可;要判定特称命题“,”是假命题,必须证明在集合M中,使 成立得元素不存在.‎ ‎ ‎ ‎【典型例题】‎ 类型一:量词与全称命题、特称命题 例1.指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围,并把量词用相应的数学符号表示.‎ (1) 对任意正实数;‎ (2) 对某个大于10的正整数n,.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)命题(1)中有量词“任意”,这是一个全称量词,它的作用范围是正实数集合.命题(1)可以写成“”.‎ ‎(2)命题(2)中有量词“某个”,这是一个存在量词,它的作用范围是大于10的正整数集合.命题(2)可写成“.‎ ‎【总结升华】 判断一个命题是否含有全称量词和存在量词,关键是看命题中是否有“所有”,“任意”,“任何”,“存在”,“有的”,“至少有”等词语,或隐含有这些词语的意思.‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题:‎ (1) 任何一个实数除以1仍等于这个数;‎ (2) 等边三角形的三边相等;‎ (3) 存在实数,使。‎ ‎【答案】(1)全称命题,(2)全称命题,(3)特称命题 ‎【高清课堂:全称量词与存在量词395491例1】‎ ‎【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题.‎ ‎(1)xR,x2+1≥1; ‎ ‎(2)所有素数都是奇数; ‎ ‎(3)存在两个相交平面垂直于同一条直线; ‎ ‎(4)有些整数只有两个正因数. ‎ ‎【答案】‎ ‎(1)有全称量词“任意”,是全称命题;‎ ‎(2)有全称量词“所有”,是全称命题;‎ ‎(3)有存在量词“存在”,是特称命题;‎ ‎(4)有存在量词“有些”;是特称命题。‎ 类型二:判断全称命题、特称命题的真假 例2.判断下列命题的真假:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由于,当时,不成立,故(1)为假命题;‎ ‎(2)由于,当时能使,所以(2)为真命题.‎ ‎【总结升华】‎ ‎(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素,验证成立;要判断全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个,使不成立即可;‎ ‎(2)要判断一个特称命题的真假,依据:只要在限定集合M中,至少能找到一个,使成立,则这个特称命题就是真命题,否则就是假命题.‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】试判断下列命题的真假 ‎(1); ‎ ‎(2); ‎ ‎(3);‎ ‎(4);‎ ‎(5);‎ ‎【答案】(1)真命题;(2)假命题;(3)假命题;(4)假命题;(5)假命题 ‎【变式2】在下列特称命题中假命题的个数是( )‎ ‎①有的实数是无限不循环小数;‎ ‎②有些三角形不是等腰三角形;‎ ‎③有的菱形是正方形.‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【答案】A 类型三:含有一个量词的全称命题与特称命题的否定 例3.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假;写出这些命题的否定并判断真假.‎ ‎(1)三角形的内角和为180°;‎ ‎(2)每个二次函数的图象都开口向下;‎ ‎(3)存在一个四边形不是平行四边形;‎ ‎(4); ‎ ‎(5).‎ ‎【解析】‎ ‎(1)是全称命题且为真命题.‎ 命题的否定:三角形的内角和不全为180°,‎ 即存在一个三角形,它的内角和不等于180°,为假命题.‎ ‎(2)是全称命题且为假命题.‎ 命题的否定:存在一个二次函数的图象开口不向下,为真命题.‎ ‎(3)是特称命题且为真命题.‎ 命题的否定:所有的四边形都是平行四边形,为假命题.‎ ‎(4)是全称命题且为真命题.‎ 由于都有,故,为真命题;‎ ‎:,为假命题 ‎(5)是特称命题且为假命题.‎ 因为不存在一个实数,使成立,为假命题;‎ ‎:,为真命题.‎ ‎【总结升华】命题的否定要与否命题区别开来,全称命题的否定是特称命题,而特称命题的否定是全称命题.‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】写出下列命题的否定,并判断真假.‎ ‎(1); ‎ ‎(2)所有的正方形都是矩形;‎ ‎ (3); ‎ ‎(4)至少有一个实数x0,使得.‎ ‎【答案】‎ ‎(1):(假命题);‎ ‎(2):至少存在一个正方形不是矩形(真命题);‎ ‎(3):(真命题); ‎ ‎(4):(真命题).‎ ‎【高清课堂:全称量词与存在量词395491 例5】‎ ‎【变式2】 “a和b都不是偶数”的否定形式是( ) ‎ ‎(A) a和b至少有一个是偶数 ‎ ‎(B) a和b至多有一个是偶数 ‎ ‎(C) a是偶数,b不是偶数 ‎ ‎(D)a和b都是偶数 ‎ ‎.【答案】A ‎【变式3】(2015 湖北文)命题“”的否定是 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为,故选C.‎ 类型四:含有量词的命题的应用 例4.已知,,若是的必要不充分条件,求实数m的取值范围. ‎ ‎【解析】‎ ‎ q:x2-2x+1-m2≤0Þ[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0‎ ‎ 又∵m>0‎ ‎ ∴不等式的解为1-m≤x≤1+m ‎ ∵是的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p是q 的充分不必要条件”‎ ‎ ∴不等式的解集是x2-2x+1-m2≤0(m>0)的解集的子集.‎ ‎ ‎ ‎ ∴实数m的取值范围是 ‎【总结升华】本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象,同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用,强调了知识点的灵活性,使用的技巧与方法是利用等价命题先进行命题的等价转化,搞清晰命题中条件与结论的关系,再去解不等式,找解集间的包含关系,进而使问题解决.‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】(2015 山东)若“,”是真命题,则实数m的最小值为 。‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】若“,”是真命题 ‎ 则,其中 ‎ ‎ 函数 的最大值为1‎ ‎ ‎ ‎ 即的最小值为1,所以答案应填1.‎ ‎【变式2】(2019 江苏模拟)若函数,g(x)=a(x-a+3)同时满足以下两条件:‎ ‎①,f(x)<0或g(x)<0;‎ ‎②,f(x)g(x)<0。‎ 则实数a的取值范围为________。‎ ‎【答案】‎ ‎∵已知函数,g(x)=a(x-a+3),‎ 根据①,f(x)<0,或g(x)<0,‎ 即函数f(x)和函数g(x)不能同时取非负值,‎ 由f(x)≥0,求得x≤-1,‎ 即当x≤-1时,g(x)<0恒成立,‎ 故,解得:a>2;‎ 根据②,使f(x)·g(x)<0成立,‎ ‎∴g(1)=a(1-a+3)>0,‎ 解得:0<a<4,‎ 综上可得:a∈(2,4),‎ 故答案为:(2,4)‎ ‎【变式3】已知c>0,设命题p:函数y=cx为减函数.命题q:当时,函数恒成立.如果p或q为真命题,p且q为假命题.求c的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由命题p知:0<c<1.‎ 由命题q知:,‎ 要使此式恒成立,则,即.‎ 又由p或q为真,p且q为假知,‎ p、q必有一真一假,‎ 当p为真,q为假时,c的取值范围为.‎ 当p为假,q为真时,c≥1.‎ 综上,c的取值范围为.‎

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