山东省新泰市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 17页

新泰一中高一下学期期中考试 数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四 个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．复数 ，其中 为虚数单位，则 的虚部为（ A ） A． B．1 C． D． 解： 虚部为-1，故选 A. 2．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 （ A ） A． B． C． D． 解：根据向量的运算法则，可得 1 21z i z i= + =， i 1 2 z z 1− i i− 1 1 2 11 , 1 ,z iz i iz i −= − = = − − ABC AD BC E AD EB = 3 1 4 4AB AC−  1 3 4 4AB AC−  3 1 4 4 +AB AC  1 3 4 4 +AB AC  ( )1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 2 4BE BA BD BA BC BA BA AC= + = + = + +        ，所以 ，故选 A. 3．某校共有学生 3 000 名,各年级男、女生人数如表所示,已知高一、高二年级共有男生 1 120 人,现用分层抽样的方法在全校抽取 60 名学生,则应在高三年级抽取的学生人数为 ( C ) 高一年级 高二年级 高三年级 女生 456 424 y 男生 644 x z A．16 B．18 C．20 D．24 解：根据题意得,高一、高二学生总数是 1120+(456+424)=2000,∴高三学生总数是 3000-2000=1000.用分层抽样法在高三年级抽取的学生数为 ×60=20.故选 C. 4．已知 5 件产品中有 2 件次品,其余为合格品,现从这 5 件产品中任取 2 件,恰有一件次 品的概率为(　B　) A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 解： 件产品中有 件次品，记为 ， ，有 件合格品，记为 ， ， ，从这 件产 品中任取 件，有 种，分别是 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，恰有一件次品，有 种，分别是 ， ， ， ， ， ，设事件 “恰有一件次品”，则 ， 故选 B． 5．(2015 新课标全国 I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中 有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在 屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆 的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺， 1 1 1 3 1 2 4 4 4 4BA BA AC BA AC    = + + = + 3 1 4 4EB AB AC= −   1 000 3 000 5 2 a b 3 c d e 5 2 10 ( ),a b ( ),a c ( ),a d ( ),a e ( ),b c ( ),b d ( ),b e ( ),c d ( ),c e ( ),d e 6 ( ),a c ( ),a d ( ),a e ( ),b c ( ),b d ( ),b e Α = ( ) 6 0.610 Ρ Α = = 圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（ B ） A．14 斛 B．22 斛 C．36 斛 D．66 斛 解：试题分析：设圆锥底面半径为 r，则 ，所以 ，所以米堆的体积 为 = ，故堆放的米约为 ÷1.62≈22，故选 B. 6．如图，平行六面体 中， ， ， ，则 （D） A． B． C． D． 解： ， , .故选：D 7．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱） 中， ， ， 分 别为 和 的中点，当 和 所成角的余弦值为 时， 与平面 所成角的正弦值为（ B ） 1 2 3 84 r× × = 16 3r = 21 1 163 ( ) 54 3 3 × × × × 320 9 320 9 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1AB AD AA= = = 1 120BAD BAA∠ = ∠ = ° 1 60DAA∠ = ° 1AC = 1 2 3 2 1 1AC AB AD AA= + +     2 2 2 1 1 1 12 2 2AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA∴ = + + + ⋅ + ⋅ + ⋅          1 1 11 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 22 2 2    = + + + × × × − + × × × − + × × × =       1 2AC∴ = 1 1 1ABC A B C− 2AB = E F 1 1AC 1 1A B AE BF 7 10 AE 1 1BCC B A． B． C． D． 解：设 ，以 为原点，过 作 的垂线为 轴， 为 轴， 为 轴， 建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ， 和 所成角的余弦值为 ， ， 解得 ． ， ， ，平面 的法向量 ， 与平面 所成角 的正弦值为： ． 故选：B． 8．已知圆 的方程为 ，点 在直线 上，线段 为圆 的直径，则 的最小值为（B） A．2 B． C．3 D． 15 5 15 10 5 10 5 5 1AA t= B B BC x BC y 1BB z 3 3 3 1( 3,1,0), , , , (0,0, 0), , ,2 2 2 2A E t B F t               3( 2AE = − 1 2 )t 3( 2BF = 1 2 )t AE∵ BF 7 10 2 2 2 1| || | 72| cos , | 10| | | | 1 1 tAE BFAE BF AE BF t t − ∴ < > = = = + +        2t = ∴ 3( 2AE = − 1 2 2) 1 1BCC B (1,0,0)n = AE∴ 1 1BCC B α 3 | | 152sin 10| | | | 5 AE n AE n α = = =    C 2 2( 1) ( 1) 2x y− + − = P 3y x= + AB C PA PB⋅  5 2 7 2 .故选 B. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有 选错的得 0 分。 9．已知直线 ，则下列结论正确的是（ CD ） A．直线 的倾斜角是 B．若直线 则 C．点 到直线 的距离是 D．过 与直线 平行的直线方程 是 解：对于 A．直线 的斜率 k＝tanθ ，故直线 l 的倾斜角是 ，故 A 错误； 对于 B．因为直线 的斜率 k′ ，kk′＝1≠﹣1，故直线 l 与直线 m 不垂直，故 B 错误； 对于 C．点 到直线 l 的距离 d 2，故 C 正确； 对于 D．过 与直线 l 平行的直线方程是 y﹣2 （x﹣2 ），整理得： ，故 D 正确．综上所述，正确的选项为 CD．故选：CD． 10．在某次高中学科知识竞赛中，对 4000 名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所 示的频率分布直方图，其中分组的区间为 ， ， ， ， ， ，60 分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表 值，则下列说法中正确的是（ABC） ( ) ( ) ( ) ( )PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA⋅ = + ⋅ + = + ⋅ −          2 2 2 2 3| | | | | | 2 2 2 PC CA PC  = − = − ≥ −      5 2 = : 3 1 0l x y− + = l 6 π : 3 1 0,m x y− + = l m⊥ ( 3,0) l 2 (2 3,2) l 3 4 0x y− − = 3 1 0l x y− + =： 3= 3 π 3 1 0m x y− + =： 3 3 = ( )3 0， ( ) ( )2 2 3 3 0 1 3 1 ⋅ − + = = + − ( )2 3 2， 3= 3 3 4 0x y− − = )[40 50， )[50 60， )[60 70， )[70 80， )[80 90， [90 ]100， A．成绩在 的考生人数最多 B．不及格的考生人数为 1000 C．考生竞赛成绩的平均分约为 70.5 分 D．考生竞赛成绩的中位数为 75 分 解：由频率分布直方图可得，成绩在 的频率最高，因此考生人数最多，故 A 正 确；成绩在 的频率为 ，因此，不及格的人数为 ，故 B 正确； 考生竞赛成绩的平均分约为 ，故 C 正确； 因为成绩在 的频率为 0.45，在 的频率为 0.3， 所以中位数为 ，故 D 错误.故选：ABC. 11．如图,在棱长均相等的四棱锥 中, 为底面正方形的中心, , 分别 为侧棱 , 的中点,有下列结论正确的有：( ABD ) A． ∥平面 B．平面 ∥平面 C．直线 与直线 所成角的大小为 D． 解：选项 A,连接 BD，显然 O 为 BD 的中点，又 N 为 PB 的中点，所以 ∥ON,由线面 平行的判定定理可得， ∥平面 ；选项 B, 由 , 分别为侧棱 , 的中点, )[70 80， [70 80， ） [40 60， ） 0.01 10 0.015 10 0.25× + × = 4000 0.25 1000× = 45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3 85 0.15 95 0.1 70.5× + × + × + × + × + × = [40 70， ） [70 80， ） 0.0570 10 71.670.3 + × ≈ P ABCD− O M N PA PB PD OMN PCD OMN PD MN 90 ON PB⊥ PD PD OMN M N PA PB 得 MN∥AB,又底面为正方形，所以 MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面 OMN, 又选项 A 得 ∥平面 ，由面面平行的判定定理可得，平面 ∥平面 ； 选项 C,因为 MN∥CD，所以∠ PDC 为直线 与直线 所成的角，又因为所有棱长都 相等，所以∠ PDC= ，故直线 与直线 所成角的大小为 ；选项 D，因底面 为正方形，所以 ,又所有棱长都相等，所以 ,故 ,又 ∥ON，所以 ，故 ABD 均正确. 12．设点 是 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ACD ） A．若 ，则点 是边 的中点 B． 若，则点 在边 的延长线上 C．若 ，则点 是 的重心 D．若 ，且 ，则 的面积是的 面积的 解：A 中： , 即： ,则点 是边 的中点 B. , 则点 在边 的延长 线上，所以 B 错误. C. PD OMN PCD OMN PD MN 60 PD MN 60 2 2 2AB AD BD+ = 2 2 2PB PD BD+ = PB PD⊥ PD ON PB⊥ M ABC 1 1 2 2AM AB AC= +   M BC 2AM AB AC= −   M BC AM BM CM= − −   M ABC AM xAB yAC= +   1 2x y+ = MBC△ ABC 1 2 1 1 2 2AM AB AC= +   1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2AM AB AC AM AB AC AM⇒ = + ⇒ − = −       BM MC=  M BC 2AM AB AC= −   AM AB AB AC BM CB⇒ − = − ∴ =      M CB 设 中点 D,则 , ，由重 心性质可知 C 成立. D． 且 设 ，所以 ，可知 三点共线，所以 的面积是 面积的 ，故选择 ACD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．如图，在 中， ， ，D 为 BC 边上的点，且 ， ，则 _1_____． 解：∵ ∴ ，且 为 的中点， ∴在直角三角形 中可求得 ， BC AM BM CM= − −   2AM BM CM MB MC MD= − − = + =      AM xAB yAC= +   1 2x y+ = 2 2 2 ,2 2 1AM xAB yAC x y⇒ = + + =   2AD AM=  2 2 ,2 2 1AD xAB yAC x y= + + =   , ,B C D MBC△ ABC 1 2 ABC BAC 120∠ =  AB AC 2= = AD BC 0⋅ =  CE 2EB=  AD AE⋅ =  0AD BC⋅ =  AD BC⊥  D BC 30B C∠ = ∠ = ° ADB 1AD = 0AD DE⋅ =  ∵ ∴ ，故答案为 1. 14．已知点 ，直线 与线段 相交，则实数 的取值范围是 解:由直线 ，即 ，此时直线恒过点 ， 则直线 的斜率 ，直线 的斜率 ， 若直线 与线段 相交，则 ，即 ， 所以实数 的取值范围是 ． 15．在空间直角坐标系中，点 为平面 ABC 外一点，其中 若 平面 的一个法向量为 ，则点 到平面 的距离为 解:在空间直角坐标系中， 所以 ，而平面 的一个法向量为 ， 所以 ，即 ，解得 ， 所以 ，点 ，则 ， 则由点到平面距离公式可得 ，故答案为： . 16．已知空间四边形 中， ， ， ，若平面 平面 ，则该几何体的外接球表面积为__ ________． 解: 2( ) ( )AD AE AD AD DE AD AD DE⋅ = ⋅ + = + ⋅        1AD AE⋅ =  (0,0,1)P 11 0( ) 2 3, )0(A B，， ，，， ABC (1, ),1m P ABC 6 3 11 0( ) 2 3, )0(A B，， ，，， ( )1,1,3AB = − ABC (1, ,1)n m= 0AB n⋅ =  1 3 0m− + + = 2m = − (1, 2,1)n = − (0,0,1)P ( )1, 1,1AP = − − 2 6 36 AP n d n ⋅ = = =    6 3 ABCD 2AB BD AD= = = 1BC = 3CD = ABD ⊥ BCD 16 3 π 如图：由于 是等边三角形，所以到 A,B,D 三点距离相等的点在重心 O 且垂直是 平面 ABD 的直线上，又因为 ，所以到 B,C,D 三点距离相等的点在过 BD 中点 E 且与平面 BCD 垂直的直线上，两直线的交点是 O,所以球心为 O.半径 R= ， ．填 ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤。 17．（本小题 10 分）已知直线 恒过定点 . （1）若直线 经过点 且与直线 垂直，求直线 的方程； （2）若直线 经过点 且坐标原点到直线 的距离等于 3，求直线 的方程. 解:直线 可化为 ， 由 可得 ，所以点 A 的坐标为 . （1）设直线 的方程为 ， 将点 A 代入方程可得 ，所以直线 的方程为 , （2）①当直线 斜率不存在时，因为直线过点 A，所以直线方程为 ， 符合原点到直线 的距离等于 3. ABD△ Rt BCD 2 3 3 16 3S π= 16π 3 3 1 0mx y m+ − − = A l A 2 5 0x y+ − = l l A l l 3 1 0mx y m+ − − = ( )3 1 0m x y− + − = 3 0 1 0 x y − =  − = 3 1 x y =  = ( )3,1 l 2 0x y n− + = ( )3,1 1n = − l 2 1 0x y− − = l 3x = l ②当直线 斜率不存在时，设直线 方程为 ，即 因为原点到直线的距离为 3，所以 ，解得 所以直线 的方程为 综上所以直线 的方程为 或 . 18．（本小题 12 分）如图，在 中，已知 为线段 上的一点， . （1）若 ，求 ， 的值； （2）若 ， ， ，且 与 的夹角为 时，求 的值. 解:(1)∵ ,∴ ,即 2 , ∴ ,即 x= ,y= . (2)∵ =3 ,∴ =3 +3 ,即 4 +3 , ∴ .∴x= ,y= . ·( ) = = ×22- ×42+ ×4×2× =-9. 19．（本小题 12 分）如图，在△ABC 中，A（5，–2），B（7，4），且 AC 边的中点 M 在 y 轴上，BC 的中点 N 在 x 轴上． l l 3 1y kx k= − + 3 1 0kx y k− − + = 2 3 1 3 1 k k - + = + 4 3k = − l 4 3 15 0x y+ − = l 3x = 4 3 15 0x y+ − = OAB∆ P AB OP x OA y OB= ⋅ + ⋅   BP PA=  x y 3BP PA=  4OA = 2OB = OA OB 60° OP AB⋅  BP PA=  BO OP PO OA+ = +    OP OB OA= +   1 1OP OA OB2 2 = +   1 2 1 2 BP PA BO OP+  PO OA OP OB=  OA 3 1OP OA OB4 4 = +   3 4 1 4 3 1OP·AB OA OB4 4  = +       OB OA−  1 3 1OB·OB OA·OA OA·OB4 4 2 − +      1 4 3 4 1 2 1 2 （1）求点 C 的坐标；（2）求△ABC 的面积． 解:（1）由题意，设点 ， 根据 AC 边的中点 M 在 y 轴上，BC 的中点 N 在 x 轴上， 根据中点公式，可得 ，解得 ，所以点 的坐标是 ． （2）因为 ， 得 ． ， 所以直线 的方程为 ，即 ， 故点 到直线 的距离 ， 所以 的面积 ． 20．（本小题 12 分）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，若 为 的中点. ( ),C x y 5 02 4 02 x y + = + = 5 4 x y = −  = − C ( )5, 4− − ( )5, 2A − ( )7,4B AB 2 2(7 5) (4 2) 2 10= − + + = 4 2 37 5ABk += =− AB 2 3( 5)y x+ = − 3 17 0x y− − = C AB 15 4 17 28 10 10 d − + −= = ABC∆ 1 1 282 10 282 2 10 S AB d= ⋅ = × × = S ABC− SBC ⊥ ABC 2SB SC AB AC= = = = 2BC = O BC （1）证明： 平面 ； （2）求异面直线 和 所成角； （3）设线段 上有一点 ，当 与平面 所成角的正弦值为 时，求 的长. 解:（1）∵ ， ，∴ ， ∵平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ，∴ 平面 . （2）∵ ， ， ∴ ， ， 如图，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴的非负半轴，建立空间直角坐标系, ∵ ， ， ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴异面直线 和 所成角为 . SO ⊥ ABC AB SC SO M AM SAB 30 15 OM SB SC= BO OC= SO BC⊥ SBC ⊥ ABC SBC  ABC BC= SO ⊂ SBC SO ⊥ SBC 2SB SC AB AC= = = = 2BC = BS CS⊥ BA CA⊥ OB OA OC x y z ( )0,1,0A ( )1,0,0B ( )0,0,1S ( )1,0,0C − ( )1, 1,0AB = − ( )1,0, 1SC = − − 1 1cos , 22 2 AB SC AB SC AB SC ⋅ = = = ⋅⋅       AB SC 3 π （3）设 为平面 的法向量， ∵ ， ， ∴ ，即 ，设 ， ， ∴ ， 设 与平面 所成角为 ， ∵ ，∴ ， ， ， ， （舍）， ，∴ 的长为 . 21．（本小题 12 分）某校两个班级 100 名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方 图如图所示，其中成绩分组区如下表： 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 ( ), ,m a b c= SBA ( )1, 1,0AB = − ( )1,0, 1SB = − 0 0 a b a c − =  − = ( )1,1,1m = ( )0,0,M t [ ]( )0,1t ∈ ( )0, 1,AM t= − AM SAB θ sin cos , m AM m AM m AM θ ⋅ = = ⋅       2 130 15 3 1 t t −= ⋅ + ( )2 26 6 15 2 1t t t+ = − + 23 10 3 0t t− + = ( )( )3 3 1 0t t− − = 3t = 1 3t = OM 1 3 [ )50,60 [ )60,70 [ )70,80 [ )80,90 [ ]90,100 （1）求频率表分布直方图中 的值； （2）根据频率表分布直方图，估计这 100 名学生这次考试成绩的平均分； （3）现用分层抽样的方法从第三、四、五组中随机抽取 6 名学生，将该样本看成一个 总体，从中随机抽取 2 名，求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率. 解：（1）由题意得 10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以 a=0.005． （2）由直方图分数在[50，60]的频率为 0.05，[60，70]的频率为 0.35，[70，80]的频率 为 0.30，[80，90]的频率为 0.20，[90，100]的频率为 0.10，所以这 100 名学生期中考试 数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5 （3）由直方图，得： 第 3 组人数为 0.3×100=30，第 4 组人数为 0.2×100=20 人， 第 5 组人数为 0.1×100=10 人． 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生， 每组分别为：第 3 组： 人，第 4 组： 人，第 5 组： =1 人．所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人． 设第 3 组的 3 位同学为 A1，A2，A3，第 4 组的 2 位同学为 B1，B2，第 5 组的 1 位同 学为 C1，则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下： （A1，A2），（A1，A3），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（（A1，B2），（A2， a 30 6 360 × = 20 6 260 × = 10 6 160 × = B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1， C1），（B2，C1）， 其中恰有 1 人的分数不低于 9（0 分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1）， （B1，C1），（B2，C1），共 5 种．所以其中第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的概 率为 . 22．（本小题 12 分）如图所示的几何体中， 平面 ABCD，四边形 ABCD 为菱 形， ，点 M，N 分别在棱 FD，ED 上. （1）若 平面 MAC，设 ，求 的值； （2）若 ，平面 AEN 平面 EDC 所成的锐二面角为 ，求 BE 的长. 解:（1）解：连接 ， ，设 ， 因为四边形 为菱形，所以 为 与 的中点， 连接 ，因为 ∥平面 ，且平面 平面 ， 所以 ∥ ，因为 为 的中点，所以 为 的中点， 即 ； （2） ，又四边形 ABCD 为菱形， 则四边形 ABCD 为正方形， ，又因为 平面 ，可如图建立空间直角坐标系， 5 1 15 3 = BE⊥ 2= =AB AF //BF FM FD λ= λ 1, 2 ENAB AD ND ⊥ = 60° AC BD AC BD P= ABCD P AC BD MP BF MAC BFD ∩ MAC MP= BF MP P BD M FD 1 2 FM FD λ = = AB AD⊥ AB BC∴ ⊥ BE⊥ ABCD 则 ， ， ， 设 ，则 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，设平面 的法向量为 ， 又 ， 由 即 ，取 ， 设平面 的法向量为 ， 又 由 得 ，取 ， 因为平面 与平面 所成的锐二面角为 ， 所以 ， 解得 ，即 的长为 . (2,0,0)C (2,2,0)D (0,2,0)A BE a= )(0,0,E a 1 2 EN ND = 1 3EN ED=  2 2 2 2 2( , , )3 3 3 aN AEN ( )1 1 1 1, ,n x y z= ( ) ( )0, 2, , 2,2,a EE aA D= − = − 1 1 0 0 n AE n ED  ⋅ = ⋅ =     1 1 1 1 1 2 0 2 2 0 y az x y az − + =  + − = ( )1 0, ,2n a= ECD ( )2 2 2 2, ,n x y z= ( ) ( )0, 2,0 , 2,2,DC ED a= − = − 2 2 0 0 n DC n ED  ⋅ = ⋅ =     2 2 2 2 2 0 2 2 0 y x y az − =  + − = ( )2 ,0,2n a= AEN EDC 60 1 2 2 1 2 2 1c 4os60 24 4 n n n n a a ⋅ = = = + ⋅ +      2a = BE 2