陕西省西安市西安中学2019-2020学年高二第二学期期中考试数学（理）试卷 7页

陕西省西安市西安中学2019-2020学年 高二第二学期期中考试数学（理）试卷 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．复平面内表示复数i(1－2i)对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．关于综合法和分析法的说法错误的是(　　)‎ A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法 B．综合法又叫顺推证法或由因导果法 C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法 D．分析法又叫逆推证法或执果索因法 ‎3．下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适的是(　　)‎ A．三角形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形 ‎4．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步应验证n等于(　　)‎ ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．已知P(A)＝，P(AB)＝，则P(B|A)等于(　　)‎ A.　　　 B.　　　C.　　　　 D. ‎6.函数导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是      A. 函数在上单调递增 B. 函数的递减区间为 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 ‎7.设函数则定积分等于      A. B. 2 C. D. ‎8.已知，则 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎9.若，则 A. 8 B. 7 C. 6 D. 4‎ ‎10.函数在区间上的最小值为      A. 72 B. 36 C. 12 D. 0‎ ‎11.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 ‎12.若函数在上是单调函数，则a的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）‎ ‎13. (x－y)10展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于________．‎ ‎14.若，则______．‎ ‎15.定积分________．‎ ‎16. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为______ 用数字回答 ‎17.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是______．‎ 三、解答题（本大题共4小题，共44分）‎ ‎18.（10分）用数学归纳法证明：‎ ‎1＋5＋9＋13＋…＋(4n－3)＝2n2－n(n∈N＋)．‎ ‎19. （10分）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．‎ ‎(1)求得分X的分布列；‎ ‎(2)求得分大于6分的概率．‎ ‎20.（12分） 已知函数，a，若在处与直线相切． 求a，b的值； 求在上的极值．‎ ‎21.（12分） 已知函数． 讨论的单调性； 当时，证明．‎ 高二数学试题(理) 参考答案 一、选择题（本题共12道小题，每小题3分，共36分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C C C B D C A A D D B 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）‎ ‎13. －240 14. 121 15. 16. 72 17. 三、解答题（本大题共4小题，共44分）‎ ‎18. 证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＝2k2－k.‎ 则当n＝k＋1时，1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＋(4k＋1)‎ ‎＝2k2－k＋(4k＋1)‎ ‎＝2k2＋3k＋1＝2(k＋1)2－(k＋1)．‎ 所以当n＝k＋1时，命题成立．‎ 综合(1)(2)可知，原命题成立．‎ ‎19. 　(1)从袋中随机摸4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分．故X的取值为5,6,7,8.‎ P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，‎ P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝.‎ 故所求分布列为 X ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎(2)根据随机变量的分布列，可以得到得分大于6分的概率为 P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.‎ ‎20. 解：， 函数在处与直线相切， ，即，解得； 由得：，定义域为． ， 令，解得， 令，得． 在上单调递增，在上单调递减， ‎ 在上的极大值为，无极小值．‎ ‎21. 解：因为，且的定义域为， 所以， 当时，恒成立，此时在上单调递增； 当，由于，所以恒成立，此时在上单调递增； 当时，令，解得：， 因为当时；当时，， 所以在上单调递增、在上单调递减； 综上可知：当时在上单调递增， 当时，在上单调递增、在上单调递减； 证明：由可知：当时在上单调递增、在上单调递减， 所以当时函数取最大值， 从而要证，即证， 即证，即证 ‎ 令，则，问题转化为证明：， 令，则， 令可知，则当时，当时， 所以在上单调递增、在上单调递减， 即，即式成立， 所以当时，成立．‎