北京市东城区2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题 17页

东城区2018—2019学年度第二学期期末试教学统一检测 高二数学 本试卷共4页，共100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，见本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分(选择题共32分)‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，那么集合=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】∵M＝{0，1，2}，N＝{x|0≤x＜2}；‎ ‎∴M∩N＝{0，1}．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，属于基础题．‎ ‎2.已知曲线在点处的切线方程是，且的导函数为，那么等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出切线的斜率即可 ‎【详解】由题意切线方程是x+y﹣8＝0，‎ 即y＝8﹣x，f'（5）就是切线的斜率，‎ f′（5）＝﹣1，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了某点处的切线斜率的求法，属于基础题．‎ ‎3.已知，那么“”是“且”的 A. 充分而不必要条件 B. 充要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用取特殊值法判断x•y＞0时，x＞0且y＞0不成立，再说明x＞0且y＞0时，x•y＞0成立，即可得到结论．‎ ‎【详解】若x＝﹣1，y＝﹣1，‎ 则x•y＞0，但x＞0且y＞0不成立，‎ 若x＞0且y＞0，则x•y＞0一定成立，‎ 故“x•y＞‎0”‎是“x＞0且y＞‎0”‎的必要不充分条件 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是充要条件的定义，考查了不等式的性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．‎ ‎4.已知随机变量满足条件～，且，那么与的值分别为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项分布的均值与方差公式列方程组解出n与p的值．‎ ‎【详解】∵X～B（n，p）且，‎ ‎∴，‎ 解得n＝15，p 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了二项分布的均值与方差公式的应用，考查了运算能力，属于基础题．‎ ‎5.已知（是实常数）是二项式的展开式中的一项，其中，那么的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式定理展开式的通项公式，求出m，n的值，即可求出k的值．‎ ‎【详解】展开式的通项公式为Tt+1＝x5﹣t（2y）t＝2tx5﹣tyt，‎ ‎∵kxmyn（k是实常数）是二项式（x﹣2y）5的展开式中的一项，‎ ‎∴m+n＝5，‎ 又m＝n+1，‎ ‎∴得m＝3，n＝2，‎ 则t＝n＝2，‎ 则k＝2t224×10＝40，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，结合通项公式建立方程求出m，n的值是解决本题的关键．‎ ‎6.函数在上的最小值和最大值分别是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出f（x）的导数，利用导函数的正负，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．‎ ‎【详解】函数，cosx，‎ 令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x，‎ ‎∴f（x）[0，）递减，在（，]递增，‎ ‎∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1，‎ 故f（x）在区间[0，]上的最小值和最大值分别是：．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查函数值的运算，属于基础题．‎ ‎7.从位男生，位女生中选派位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有位女生的选法共有( )‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意知本题要求至少有两位男生，且至少有1位女生，它包括：两个男生，两个女生；三个男生，一个女生两种情况，写出当选到的是两个男生，两个女生时和当选到的是三个男生，一个女生时的结果数，根据分类计数原理得到结果．‎ 解：∵至少有两位男生，且至少有1位女生包括：两个男生，两个女生；三个男生，一个女生．‎ 当选到的是两个男生，两个女生时共有C‎52C42=60种结果，‎ 当选到的是三个男生，一个女生时共有C‎53C41=40种结果，‎ 根据分类计数原理知共有60+40=100种结果，‎ 故选B．‎ ‎8.在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为至的十个号码球(球的大小、质地完全相同，但编号不同)，里面有个号码为中奖号码，若从中任意取出个小球，其中恰有个中奖号码的概率为，那么这个小球中，中奖号码小球的个数为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用古典概型列出恰有1个中奖号码的概率的方程，解方程即可．‎ ‎【详解】依题意，从10个小球中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为，‎ 所以，‎ 所以n（10﹣n）（9﹣n）（8﹣n）＝480，（n∈N*）‎ 解得n＝4．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型的概率公式的应用，考查了计数原理及组合式公式的运算，属于中档题．‎ 第二部分(非选择题共68分)‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分 ‎9.命题“R”，此命题的否定是___．(用符号表示)‎ ‎【答案】∀x∈R，x2+x≤0．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【详解】因为特称命题的否定是全称命题，‎ 所以∃x0∈R，x02﹣2x0+1＞0的否定是：∀x∈R，x2+x≤0．‎ 故答案为：∀x∈R，x2+x≤0．‎ ‎【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系及否定形式，属于基本知识的考查．‎ ‎10.已知集合，集合，那么集合的子集个数为___个．‎ ‎【答案】8．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可以求出集合M，N，求得并集中元素的个数，从而得出子集个数．‎ ‎【详解】∵M＝{﹣1，1}，N＝{1，2}；‎ ‎∴M∪N＝{﹣1，1，2}；‎ ‎∴M∪N的子集个数为23＝8个．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点睛】本题考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算，子集的定义，以及集合子集个数的求法．‎ ‎11.已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且=0.6826，则p（X>4）= ‎ ‎【答案】0.1587‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎, 观察如图可得, ‎ ‎. 故答案为0.1587.‎ 考点：正态分布 点评：随机变量～中，表示正态曲线的对称轴.‎ ‎12.吃零食是中学生中普遍存在的现象．长期吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表给出性别与吃零食的列联表 男 女 总计 喜欢吃零食 ‎5‎ ‎12‎ ‎17‎ 不喜欢吃零食 ‎40‎ ‎28‎ ‎68‎ 合计 ‎45‎ ‎40‎ ‎85‎ 根据下面的计算结果，试回答，有_____的把握认为“吃零食与性别有关”．‎ 参考数据与参考公式：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】95%．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得出观测值的大小，对照临界值得出结论．‎ ‎【详解】根据题意知K2≈4.722＞3.841，‎ 所以有95%的把握认为“吃零食与性别有关”．‎ 故答案为：95%．‎ ‎【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．‎ ‎13.已知在R上不是单调增函数，那么实数的取值范围是____．‎ ‎【答案】（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数单调性和导数之间的关系，转化为f′（x）≥0不恒成立，即可得到结论．‎ ‎【详解】∵函数yx3+mx2+（m+2）x+3，‎ ‎∴f′（x）＝x2+2mx+m+2，‎ ‎∵函数yx3+mx2+（m+2）x+3在R上不是增函数，‎ ‎∴f′（x）＝x2+2mx+m+2≥0不恒成立，‎ ‎∴判别式△＝‎4m2‎﹣4（m+2）＞0，‎ ‎∴m2﹣m﹣2＞0，‎ 即m＜﹣1或m＞2，‎ 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，考查了转化思想，考查了二次不等式恒成立的问题，属于中档题．‎ ‎14.已知函数，，当时，这两个函数图象的交点个数为____个．（参考数值：）‎ ‎【答案】3．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原问题等价于函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx与函数y＝m，m∈（7，8）的交点个数，作出函数图象观察即可得出答案．‎ ‎【详解】函数f（x）与函数g（x）的交点个数，即为﹣x2+8x＝6lnx+m 的解的个数，亦即函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx与函数y＝m，m∈（7，8）的交点个数，‎ ‎，令y′＝0，解得x＝1或x＝3，‎ 故当x∈（0，1）时，y′＜0，此时函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx单调递减，‎ 当x∈（1，3）时，y′＞0，此时函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx单调递增，‎ 当x∈（3，+∞）时，y′＜0，此时函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx单调递减，‎ 且y|x＝1＝7，y|x＝3＝15﹣6ln3＞8，‎ 作出函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx的草图如下，‎ 由图可知，函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx与函数y＝m，m∈（7，8）有3个交点．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的运用，考查函数交点个数的判断，考查了运算能力及数形结合思想，属于中档题．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15.已知集合，．‎ ‎(Ⅰ)当时，求A∩(∁RB)；‎ ‎(Ⅱ)当时，求实数m的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）{x|3≤x≤5，或x＝﹣1}（Ⅱ）m＝8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出A＝{y|﹣1≤y≤5}，m＝3时，求出B＝{x|﹣1＜x＜3}，然后进行补集、交集的运算即可；‎ ‎（Ⅱ）根据A∪B＝{x|﹣2＜x≤5}即可得出，x＝﹣2是方程x2﹣2x﹣m＝0的实数根，带入方程即可求出m．‎ ‎【详解】（Ⅰ）A＝{y|﹣1≤y≤5}，m＝3时，B＝{x|﹣1＜x＜3}；‎ ‎∴∁RB＝{x|x≤﹣1，或x≥3}；‎ ‎∴A∩（∁RB）＝{x|3≤x≤5，或x＝﹣1}；‎ ‎（Ⅱ）∵A∪B＝{x|﹣2＜x≤5}；‎ ‎∴x＝﹣2是方程x2﹣2x﹣m＝0的一个实根；‎ ‎∴4+4﹣m＝0；‎ ‎∴m＝8．经检验满足题意 ‎【点睛】本题考查交集、补集的运算，涉及不等式的性质，描述法的定义，一元二次不等式的解法的知识方法，属于基础题．‎ ‎16.一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球．如果不放回的依次取出2个球．回答下列问题：‎ ‎(Ⅰ)第一次取出的是黑球的概率；‎ ‎(Ⅱ)第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；‎ ‎(Ⅲ)在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）黑球有3个，球的总数为5个，代入概率公式即可；‎ ‎（Ⅱ）利用独立事件的概率公式直接求解即可；‎ ‎（Ⅲ）直接用条件概率公式求解．‎ ‎【详解】依题意，设事件A表示“第一次取出的是黑球”，设事件B表示“第二次取出的是白球”‎ ‎（Ⅰ）黑球有3个，球的总数为5个，‎ 所以P（A）；‎ ‎（Ⅱ）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为P（AB）；‎ ‎（Ⅲ）在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率为P（B|A）．‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了事件的相互独立性及条件概率，属于基础题．‎ ‎17.已知函数的图象与直线相切于点．‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)求函数的单调区间．‎ ‎【答案】（Ⅰ）a＝3，b＝﹣9（Ⅱ）单调递减区间是（﹣3，1）．单调增区间为：（∞，﹣3），（1，+∞）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求导函数，利用f（x）的图象与直线15x﹣y﹣28＝0相切于点（2，2），建立方程组，即可求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求导函数，利用导数小于0，即可求函数f（x）单调递减区间．‎ ‎【详解】（I）求导函数可得f′（x）＝3x2+2ax+b，‎ ‎∵f（x）的图象与直线15x﹣y﹣28＝0相切于点（2，2），‎ ‎∴f（2）＝2，f′（2）＝﹣15，‎ ‎∴，‎ ‎∴a＝3，b＝﹣9．‎ ‎（II）由（I）得f′（x）＝3x2+6x﹣9，‎ 令f′（x）＜0，可得3x2+6x﹣9＜0，‎ ‎∴﹣3＜x＜1，‎ 函数f（x）的单调递减区间是（﹣3，1）．‎ 令f′（x）＞0，可得3x2+6x﹣9＞0，‎ 单调增区间：（∞，﹣3），（1，+∞）．‎ 综上：函数f（x）的单调递减区间是（﹣3，1）．单调增区间为：（∞，﹣3），（1，+∞）．‎ ‎【点睛】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性及计算能力，属于中档题．‎ ‎18.把6本不同的书，全部分给甲，乙，丙三人，在下列不同情形下，各有多少种分法？（用数字作答）‎ ‎(Ⅰ)甲得2本；‎ ‎(Ⅱ)每人2本；‎ ‎(Ⅲ)有1人4本，其余两人各1本．‎ ‎【答案】（Ⅰ）240种（Ⅱ）90种（Ⅲ）90种 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据题意，分2步进行分析：①，在6本书中任选2本，分给甲，②，将剩下的4本分给乙、丙，由分步计数原理计算可得答案；‎ ‎（Ⅱ）根据题意，分2步进行分析：①，将6本书平均分成3组，②，将分好的3组全排列，分给甲乙丙三人，由分步计数原理计算可得答案；‎ ‎（Ⅲ）根据题意，分2步进行分析：①，在6本书中任选4本，分给三人中1人，②，将剩下的2本全排列，安排给剩下的2人，由分步计数原理计算可得答案；‎ ‎【详解】（Ⅰ）根据题意，分2步进行分析：‎ ‎①，在6本书中任选2本，分给甲，有C62＝15种选法，‎ ‎②，将剩下4本分给乙、丙，每本书都有2种分法，则有2×2×2×2＝16种分法，‎ 则甲得2本分法有15×16＝240种；‎ ‎（Ⅱ）根据题意，分2步进行分析：‎ ‎①，将6本书平均分成3组，有15种分组方法，‎ ‎②，将分好的3组全排列，分给甲乙丙三人，有A33＝6种情况，‎ 则有15×6＝90种分法；‎ ‎（Ⅲ）根据题意，分2步进行分析：‎ ‎①，在6本书中任选4本，分给三人中1人，有C64×C31＝45种分法，‎ ‎②，将剩下的2本全排列，安排给剩下的2人，有A22＝2种情况，‎ 则有45×2＝90种分法．‎ ‎【点睛】本题考查排列、组合的应用，考查了分组分配问题的步骤，涉及分类、分步计数原理的应用，属于中档题．‎ ‎19.甲，乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局比赛甲胜乙的概率是，假设每局比赛结果相互独立.‎ ‎(Ⅰ)比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利的一方为获胜方，这时比赛结束．求在一场比赛中甲获得比赛胜利的概率；‎ ‎(Ⅱ)比赛采用三局两胜制，设随机变量为甲在一场比赛中获胜的局数，求的分布列和均值；‎ ‎(Ⅲ)有以下两种比赛方案：方案一，比赛采用五局三胜制；方案二，比赛采用七局四胜制.问哪个方案对甲更有利.（只要求直接写出结果）‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，E（X）（Ⅲ）方案二对甲更有利 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）甲获得比赛胜利包含二种情况：①甲连胜二局；②前二局甲一胜一负，第三局甲胜．由此能求出甲获得比赛胜利的概率．‎ ‎（Ⅱ）由已知得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎（Ⅲ）方案二对甲更有利．‎ ‎【详解】（Ⅰ）甲获得比赛胜利包含二种情况：①甲连胜二局；②前二局甲一胜一负，第三局甲胜．‎ ‎∴甲获得比赛胜利的概率为：‎ P＝（）2（）．‎ ‎（Ⅱ）由已知得X的可能取值为0，1，2，‎ P（X＝0）＝（）2，‎ P（X＝1），‎ P（X＝2）＝（）2（）．‎ ‎∴随机变量X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴数学期望E（X）．‎ ‎（Ⅲ）方案一，比赛采用五局三胜制；方案二，比赛采用七局四胜制．‎ 方案二对甲更有利．‎ ‎【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力及逻辑推理能力，是中档题．‎ ‎20.已知函数，．‎ ‎(Ⅰ)当时，证明：；‎ ‎(Ⅱ)的图象与的图象是否存在公切线（公切线：同时与两条曲线相切的直线）？如果存在，有几条公切线，请证明你的结论．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数是2条，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）当x＞0时，设h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，设l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，分别求得导数和单调性、最值，即可得证；‎ ‎（Ⅱ）先确定曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数，设出切点坐标并求出两个函数导数，根据导数的几何意义列出方程组，先化简方程得lnm﹣1．分别作出y＝lnx﹣1和y的函数图象，通过图象的交点个数来判断方程的解的个数，即可得到所求结论．‎ ‎【详解】（Ⅰ）当x＞0时，设h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，‎ h′（x）1，当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）递减；0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）递增；‎ 可得h（x）在x＝1处取得最大值﹣1，可得h（x）≤﹣1＜0；‎ 设l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，‎ l′（x）＝ex﹣1，当x＞0时，l′（x）＞0，l（x）递增；‎ 可得l（x）＞l（0）＝1＞0，‎ 综上可得当x＞0时，g（x）＜x＜f（x）；‎ ‎（Ⅱ）曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数是2，证明如下：‎ 设公切线与g（x）＝lnx，f（x）＝ex的切点分别为（m，lnm），（n，en），m≠n，‎ ‎∵g′（x），f′（x）＝ex，‎ 可得，化简得（m﹣1）lnm＝m+1，‎ 当m＝1时，（m﹣1）lnm＝m+1不成立；‎ 当m≠1时，（m﹣1）lnm＝m+1化为lnm，‎ 由lnx1，即lnx﹣1．‎ 分别作出y＝lnx﹣1和y的函数图象，‎ 由图象可知：y＝lnx﹣1和y的函数图象有两个交点，‎ 可得方程lnm有两个实根，‎ 则曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数是2条．‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查方程与构造函数法和数形结合思想，考查化简运算能力，属于较难题．‎