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【数学】2019届一轮复习人教A版(理)不等式选讲与极坐标参数方程学案
【数学】2019届一轮复习人教A版(理)不等式选讲与极坐标参数方程学案
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2021-06-16 发布
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【热点知识再梳理——胸有成竹】 热点一:不等式选讲 : xx ] [1] |ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法. ①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c. [2] 解含绝对值不等式的原则是去掉绝对值,转化为有理不等式再求解,一般有以下几种解法: ①公式法:利用|x|>a(或
0)去绝对值; ②零点分段法:利用绝对值定义去绝对值; ③平方法:利用|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x)去绝对值; ④几何法:利用绝对值的几何意义求解. ⑤|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法. 方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想. 方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想. 方法三:通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想. [3](1)证明含有绝对值的不等式,其思路主要有两条:一是恰当地运用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|进行放缩,并注意不等号的传递性及等号成立的条件;二是把含有绝对值的不等式等价转化为不含有绝对值的不等式,再利用比较法、综合法及分析法等进行证明,其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法. (2)含绝对值不等式的证法和技巧: ①含绝对值不等式的证明方法有:综合法、分析法、反证法、放缩法、三角代换法等. ②利用不等式的性质和含绝对值不等式的性质,放缩变换的方法是处理含绝对值不等式的常用方法之一. ③对于一般的含绝对值不等式不好入手,我们可采用分析法. ④对于不等式左右两边形式完全相同的,可联想函数性质,构造函数再用函数的单调性去证明. [4]解决含参数的绝对值不等式问题的两种方法 ①将参数分类讨论,将其转化为分段函数解决. ②借助于绝对值的几何意义,先求出相应式的最值或值域,然后再根据题目要求,求解参数的取值范围. [5]不等式恒成立问题的常见类型及其解法 ①分离参数法 运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a,f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题. ②更换主元法 不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能解决时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法. ③数形结合法 在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势,可直观解决问题. 提醒:不等式的解集为R是指不等式恒成立问题,而不等式的解集为∅的对立面也是不等式恒成立问题,如f(x)>m的解集为∅,则f(x)≤m恒成立. 1.【湖南省株洲市2018届高三年级教 质量统一检测】已知函数 (1)当时,求该函数的最小值; (2) 解不等式:. 【答案】(1)3;(2)答案见解析. 【解析】试题分析:(1)根据绝对值不等式的性质即可求出函数最小值;(2)分区间讨论,去掉绝对值号,即可解出不等式; 2.【2018年衡水金卷调研卷】已知函数的最小值为(,,为正数). (1)求的最小值; (2)求证:. 【答案】(1)36;(2)见解析. 【解析】试题分析:(1) 由题意,得,根据柯西不等式求出结果(2)由基本不等式得,代入证明结果 (2)∵,,, ∴ , ∴. . 3.【湖北省荆州市2018届高三质量检查(III)】设不等式的解集为. (Ⅰ)求集合; (Ⅱ)若,不等式恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) 【解析】试题分析: (Ⅰ)令,由得,解得,从而可得.(Ⅱ)转化变量可得不等式在恒成立,故得,解得,即为所求. 试题解析:[ : , , ] (Ⅰ)令, 由得, 解得. ∴. 点睛: (1)与一元二次不等式有关的恒成立问题,可通过二次函数求最值,也可通过分离参数,再求最值. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数. 4.【广西南宁2017届二模】(1)解不等式; (2)若满足(1)中不等式,求证: . 【答案】(1)(2)见解析 【解析】(1)当时, , 解得,所以. 当时, , 解得 当时, 解得,所以 (2)证明: 5.【安徽省江淮十校2017届三模】已知函数. (1)解不等式; (2)若不等式有解,求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】(1). 则当时,不成立;当时, ,解得; 当时, 成立,故原不等式的解集为. 6.【2017届内蒙古省百校联盟高三3月监测】已知函数. (Ⅰ)记函数,在下列坐标系中作出函数的图象,并根据图象求出函数的最小值; (Ⅱ)记不等式的解集为,若, ,且,求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ).(Ⅱ) 【解析】(Ⅰ)由题意得 , 作出函数的图象如图所示, 观察可知,当时,函数有最小值,最小值为. 7.【吉林省梅河口市第五中 2018届高三下 期第二次模拟考试】已知函数,. (1)求不等式的解集; (2)若存在,使得和互为相反数,求的取值范围. 【答案】(1).(2). 【解析】试题分析:(1)分,,和三种情况去掉绝对值,解不等式即可. (2)由题存在,使得成立,即.又,由(1)可知,所以,可解得的取值范围. (2)因为存在,使得成立, 所以. 又, 由(1)可知,,则 所以,解得. 故的取值范围为. 热点二:极坐标参数方程 [6] 关于极坐标系 (1)极坐标系的四要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,四者缺一不可. (2)由极径的意义知ρ≥0,当极角θ的取值范围是[0,2π]时,平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应关系,约定极点的极坐标是极径ρ=0,极角可取任意角. (3)极坐标与直角坐标的重要区别:多值性. 欲求极坐标方程,一般先求直角坐标方程,再利用x=ρcosθ,y=ρsinθ转化为极坐标方程即可. [5]当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解. [7] 将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数,此时要注意其中的x,y(它们都是参数的函数)的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.参数方程化普通方程常用的消参技巧有:代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等. [8]直线的参数方程在交点问题中的应用 已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为α,点M(x,y)为l上任意一点,则直线l的参数方程(t为参数). (1)若M1,M2是直线l上的两个点,对应的参数分别为t1,t2,则||||=|t1t2|,||=|t2-t1|=. (2)若线段M1M2的中点为M3,点M1,M2,M3对应的参数分别为t1,t2,t3,则t3=. (3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0,y0),则t1+t2=0,t1t2<0. [9]直线与圆锥曲线的参数方程的应用. (1)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义,有如下常用结论: ①直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为t1,t2,则弦长l=|t1-t2|; ②定点M0是弦M1M2的中点⇒t1+t2=0; ③设弦M1M2中点为M,则点M对应的参数值tM=(由此可求|M2M|及中点坐标). (2)圆锥曲线的参数方程主要应用于设圆锥曲线上的点,从而讨论最值或距离等问题. 8.【湖北省荆州市2018届高三质量检查(III)】在极坐标系中,已知圆的圆心为,半径为.以极点为原点,极轴方向为轴正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数,且). (Ⅰ)写出圆的极坐标方程和直线的普通方程; (Ⅱ)若直线与圆交于、两点,求的最小值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) 【解析】试题分析:[ : , , ,X,X, ] (Ⅰ)先求得圆C的直角坐标方程,然后再化成极坐标方程,消去直线参数方程中的参数,可得普通方程.(Ⅱ)求得圆心到直线的距离,根据半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形求解得到,然后再求最小值.也可根据几何法直接求解. 试题解析: (Ⅱ)法一:直线过圆内一定点,当时,有最小值, ∴. 法二:点到直线的距离, ∴ . 当时,有最小值. * 9.【2018年衡水金卷调研卷】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线,的极坐标方程分别为,. (1)将直线的参数方程化为极坐标方程,将的极坐标方程化为参数方程; (2)当时,直线与交于,两点,与交于,两点,求. 【答案】(1)直线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数);(2).[ : 。 。 ] 【解析】试题分析:(1)利用公式将直线的参数方程化为极坐标方程,将的极坐标方程化为参数方程(2)利用参数求解两点之间的距离 解析:(1)由直线的参数方程(为参数), 得直线的极坐标方程为. 由曲线的极坐标方程, 得直角坐标方程为, ∴曲线的参数方程为(为参数). (2)当时,直线的极坐标方程为. 当时,,, ∴. 10.【2017届河北唐山市上期末】在直角坐标系中,曲线,曲线为参数), 以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线的极坐标方程; (2)若射线分别交于两点, 求的最大值. 【答案】(1):,:;(2). 【解析】(1)C1:ρ(cosθ+sinθ)=4, C2的普通方程为(x-1)2+y2=1,所以ρ=2cosθ. …4分 11.【安徽省芜湖市、马鞍山市2017届高三5月模拟】已知直线的参数方程为: ,以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为. (1)求直线和曲线C的普通方程; (2)在直角坐标系中,过点B(0,1)作直线的垂线,垂足为H,试以为参数,求动点H轨迹的参数方程,并指出轨迹表示的曲线. 【答案】(1).(2)圆心在原点,半径为1的圆. (2)∵直线的普通方程: ,又BH⊥, ∴直线BH的方程为, 由上面两个方程解得: , 即动点H的参数方程为: 表示圆心在原点,半径为1的圆. 12.【广西南宁2017届二模】已知圆的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,取相同单位长度(其中, ),若倾斜角为且经过坐标原点的直线与圆相交于点(点不是原点). (1)求点的极坐标; (2)设直线过线段的中点,且直线交圆于两点,求的最大值. 【答案】(1)(2) 【解析】 (1) 直线的倾斜角为,点的极角. 代入圆的极坐标方程得. 点的极坐标. (2)由(1)得线段的中点的极坐标是, 的直角坐标为. 圆的极坐标方程为, 圆的直角坐标方程为. 13.【2017届陕西省咸阳市高三二模】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为: ,直线的参数方程是(为参数, ). (1)求曲线的直角坐标方程; (2)设直线与曲线交于两点,且线段的中点为,求. 【答案】(I) ;(II). 【解析】(I)曲线,即, 于是有, 化为直角坐标方程为: (II)方法1: 即 由的中点为得,有,所以 由 得 方法2:设,则 , ∵,∴,由 得. 方法4:依题意设直线,与联立得, 即 由得 ,因为 ,所以. * 14.【湖南省株洲市2018届高三统一检测(二)】在直角坐标系中,曲线的参数方程为:,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系. (1) 若把曲线上的点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线,求的极坐标方程; (2) 直线的极坐标方程是,与曲线交于两点,求三角形的面积. 【答案】(1);(2). 【解析】试题分析:(1)根据坐标变换得到曲线,利用极坐标转换公式即可写出极坐标方程;(2)转化为直角坐标系方程后,联立方程组,解出点的坐标,计算即可. 试题解析: (1)设曲线上任意一点经过坐标变化后得到,依题意: 所以:故曲线的标准方程为,极坐标方程为: 15.【湖南省益阳市2018届高三4月调研】在平面直角坐标系中,直线的参数方程是(为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆以极坐标系中的点为圆心,为半径. (1)求圆的极坐标方程; (2)判断直线与圆之间的位置关系. 【答案】(1);(2)见解析. 【解析】试题分析:(1)由题意,选将圆的极坐标转化为直角坐标,可得圆的标准方程,再由极坐标与直角坐标的互化公式,将圆的标准方程转化为极坐标方程,从面问题可得解; (2)由可将直线的参数方程转化为一般方程,通计算圆心到直线的距离,将距离与半径进行比较,从而可得直线与圆的位置关系. 试题解析:(1)点化为直角坐标是, 故以点为圆心,为半径的圆的直角坐标方程是, 将,代入上式, 可得圆的极坐标方程是. 点睛:此题主要考查直线的参数方程与直角坐标方程的互化,圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化有关方面的知识与技能,属于中档题型,也是必考点.参数方程与直角坐标方程的互化,只消参即可,而及极坐标方程与直角坐标方程的互化,需要转化换公式来进行换算,从而问题可得解.
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