【数学】2019届一轮复习人教A版（文）11-1概率学案 16页

‎ 11.1 随机事件的概率 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别．‎ ‎2.了解两个互斥事件的概率加法公式.‎ 以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主，常与事件的频率交汇考查．本节内容在高考中三种题型都有可能出现，随机事件的频率与概率的题目往往以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及概率常常以选择、填空题的形式出现.‎ ‎1．概率和频率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．‎ ‎(2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性的大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)．‎ ‎2．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ B⊇A(或A⊆B)‎ 相等关系 若B⊇A且A⊇B A＝B 并事件(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)‎ A∪B(或A＋B)‎ 交事件(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B(或AB)‎ 互斥事件 若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅‎ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅，‎ P(A)＋P(B)＝1‎ ‎3.概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)必然事件的概率P(E)＝1.‎ ‎(3)不可能事件的概率P(F)＝0.‎ ‎(4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．‎ ‎(5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．‎ 知识拓展 互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．‎ 题组一 思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)事件发生的频率与概率是相同的．( × )‎ ‎(2)随机事件和随机试验是一回事．( × )‎ ‎(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ )‎ ‎(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( × )‎ ‎(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( √ )‎ ‎(6)两互斥事件的概率和为1.( × )‎ 题组二 教材改编 ‎2．[P121T5]一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )‎ A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶 答案 D 解析 “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．‎ ‎3．[P82B组T1]有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：‎ ‎[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5]，3.‎ 根据样本的频率分布估计，数据落在[27.5,43.5]内的概率约是________．‎ 答案 解析 由条件可知，落在[27.5,43.5]内的数据有11＋12＋7＋3＝33(个)，‎ 故所求概率约是＝.‎ 题组三 易错自纠 ‎4．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( )‎ A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定 答案 B 解析 抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件．‎ ‎5．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数b，则b>a的概率是( )‎ A.B.C.D. 答案 D 解析 基本事件的个数为5×3＝15，其中满足b>a的有3种，所以b>a的概率为＝.‎ ‎6．(2018·济南模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为______．‎ 答案 0.35‎ 解析 ∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，‎ ‎∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为 P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.‎ 题型一 事件关系的判断 ‎1．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：‎ ‎①至少有1个白球与至少有1个黄球；‎ ‎②至少有1个黄球与都是黄球；‎ ‎③恰有1个白球与恰有1个黄球；‎ ‎④恰有1个白球与都是黄球．‎ 其中互斥而不对立的事件共有( )‎ A．0组B．1组C．2组D．3组 答案 B 解析 ①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰好1个白球和1个黄球，故两个事件不是互斥事件；②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，故两个事件不互斥；③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”都是指有1个白球和1个黄球，故两个事件是同一事件；④中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件，故选B.‎ ‎2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是( )‎ A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡 C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡 答案 A 解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．‎ ‎3．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球中至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为____________．‎ ‎①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．‎ 答案 ①‎ 解析 当取出的两个球中一黄一白时，B与C都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，③不正确；显然A与D是对立事件，①正确；C∪E不一定为必然事件，P(C∪E)≤1，④不正确；P(B)＝，P(C)＝，⑤不正确．‎ 思维升华 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 ‎①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．‎ ‎②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．‎ ‎(2)判断互斥、对立事件的方法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．‎ 题型二 随机事件的频率与概率 典例(2017·全国Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10,15)‎ ‎[15,20)‎ ‎[20,25)‎ ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40]‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．‎ ‎(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．‎ 解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.‎ ‎(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，‎ 若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；‎ 若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；‎ 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，‎ 所以，Y的所有可能值为900,300，－100.‎ Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8.‎ 因此Y大于零的概率的估计值为0.8.‎ 思维升华 (1)概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．‎ ‎(2)随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．‎ 跟踪训练 (2016·全国Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：‎ 出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 频数 ‎60‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；‎ ‎(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160 ”，求P(B)的估计值；‎ ‎(3)求续保人本年度的平均保费的估计值．‎ 解 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.‎ ‎(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.‎ ‎(3)由所给数据，得 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 频率 ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.‎ 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.‎ 题型三 互斥、对立事件的概率 命题点1 互斥事件的概率 典例经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人及5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ 求：(1)至多2人排队等候的概率；‎ ‎(2)至少3人排队等候的概率．‎ 解 记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．‎ ‎(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，‎ 所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)‎ ‎＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.‎ ‎(2)记“至少3人排队等候”为事件H，‎ 则H＝D＋E＋F，‎ 所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.‎ 命题点2 对立事件的概率 典例一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：‎ ‎(1)取出1球是红球或黑球的概率；‎ ‎(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．‎ 解 方法一 (利用互斥事件求概率)‎ 记事件A1＝{任取1球为红球}，‎ A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，‎ 则P(A1)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，‎ P(A4)＝.‎ 根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 ‎(1)取出1球是红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.‎ ‎(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为 P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)‎ ‎＝＋＋＝.‎ 方法二 (利用对立事件求概率)‎ ‎(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝.‎ ‎(2)因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，‎ 所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.‎ 思维升华求复杂事件的概率的两种方法 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法 ‎(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．‎ ‎(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．‎ 跟踪训练某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：‎ 派出人数 ‎≤2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎≥6‎ 概率 ‎0.1‎ ‎0.46‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ ‎(1)求有4人或5人外出家访的概率；‎ ‎(2)求至少有3人外出家访的概率．‎ 解 (1)设派出2人及以下为事件A,3人为事件B,4人为事件C,5人为事件D,6人及以上为事件E，则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D，C，D为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知，‎ P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.‎ ‎(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下，所以由对立事件的概率可知，P＝1－P(A)‎ ‎＝1－0.1＝0.9.‎ 用正难则反思想求对立事件的概率 典例(12分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数(人)‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55 .‎ ‎(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；‎ ‎(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)‎ 思想方法指导若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．‎ 规范解答 解 (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，‎ 所以x＝15，y＝20.[2分]‎ 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，‎ 所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 ＝1.9(分钟)．[6分]‎ ‎(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得 P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.[9分]‎ P(A)＝1－P(A1)－P(A2)‎ ‎＝1－－＝.[11分]‎ 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.[12分]‎ ‎1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”的关系为( )‎ A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．和事件是不可能事件 D．以上都不对 答案 A 解析 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．‎ ‎2．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是( )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 设a，b分别为甲、乙摸出球的编号．由题意，摸球试验共有36种不同的结果，满足a＝b的基本事件共有6种．所以摸出编号不同的概率P＝1－＝.‎ ‎3．(2016·天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为( )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为＋＝.‎ ‎4．(2017·湖南衡阳八中、长郡中学等十三校二模)同学聚会上，某同学从《爱你一万年》、《十年》、《父亲》、《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为( )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 分别记《爱你一万年》、《十年》、《父亲》、《单身情歌》为A1，A2，A3，A4，从这四首歌中选出两首歌进行表演的所有可能的结果为A1A2，A1A3，A1A4，A2A3，A2A4，A3A4，共6个，其中A1未被选取的结果有3个，所以所求概率P＝＝.故选B.‎ ‎5．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．‎ 在上述事件中，是对立事件的为( )‎ A．① B．②‎ C．③ D．④‎ 答案 B 解析 至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生．∴②中两事件是对立事件．‎ ‎6．掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A＋发生的概率为( )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 掷一个骰子的试验有6种可能的结果．‎ 依题意知P(A)＝＝，P(B)＝＝，‎ ‎∴P()＝1－P(B)＝1－＝，‎ ‎∵表示“出现5点或6点”，因此事件A与互斥，‎ 从而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.‎ ‎7．(2017·武汉模拟)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40 ，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：‎ ‎907 966 191 925 271 932 812 458 569 683‎ ‎431 257 393 027 556 488 730 113 537 989‎ 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．‎ 答案 0.25‎ 解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.‎ ‎8．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是________________．‎ 答案 解析 由题意可知即 解得所以