【数学】2019届一轮复习人教A版（文）13-1-1系列4选讲学案 14页

‎ 13.1 坐标系与参数方程 第1课时 坐标系 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．‎ ‎2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.‎ 会求伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，难度中档.‎ ‎1．平面直角坐标系 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．‎ ‎2．极坐标系 ‎ (1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．‎ ‎(2)极坐标与直角坐标的互化 设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：‎ 或，这就是极坐标与直角坐标的互化公式．‎ ‎3．常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π)‎ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcosθ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsinθ(0≤θ<π)‎ 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)‎ 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcosθ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsinθ＝a(0<θ<π)‎ 题组一 思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( × )‎ ‎(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.( √ )‎ ‎(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( √ )‎ ‎(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( × )‎ 题组二 教材改编 ‎2．[P15T3]若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )‎ A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤ D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤ 答案 A 解析 ∵y＝1－x(0≤x≤1)，‎ ‎∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)；‎ ‎∴ρ＝.‎ ‎3．[P15T4]在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是( )‎ A. B. C．(1,0) D．(1，π)‎ 答案 B 解析 方法一 由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.‎ 方法二 由ρ＝－2sinθ＝2cos，知圆心的极坐标为，故选B.‎ 题组三 易错自纠 ‎4．在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是( )‎ A．ρsinθ＝1 B．ρsinθ＝ C．ρcosθ＝1 D．ρcosθ＝ 答案 A 解析 先将极坐标化成直角坐标表示，P转化为直角坐标为x＝ρcosθ＝2cos＝，y＝ρ sinθ＝2sin＝1，即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsinθ＝1.‎ ‎5．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为．‎ 答案 x2＋y2－2y＝0‎ 解析 由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.‎ ‎6．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．当△AOB是等边三角形时，求a的值．‎ 解 由ρ＝4sinθ可得圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，‎ 即x2＋(y－2)2＝4.‎ 由ρsinθ＝a可得直线的直角坐标方程为y＝a(a>0)．‎ 设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示．‎ 由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.‎ 在Rt△DOB中，易求DB＝a，‎ ‎∴B点的坐标为.‎ 又∵B在x2＋y2－4y＝0上，∴2＋a2－4a＝0，‎ 即a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3.‎ 题型一 极坐标与直角坐标的互化 ‎1．(2016·北京改编)在极坐标系中，已知曲线C1：ρcosθ－ρsinθ－1＝0，C2：ρ＝2cosθ.‎ ‎(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；‎ ‎(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．‎ 解 (1)∵C1：ρcosθ－ρsinθ－1＝0，‎ ‎∴x－y－1＝0，表示一条直线．‎ 由C2：ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，‎ ‎∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎∴C2是圆心为(1,0)，半径为1的圆．‎ ‎(2)由(1)知，点(1,0)在直线x－y－1＝0上，‎ ‎∴直线C1过圆C2的圆心．‎ 因此两交点A，B的连线是圆C2的直径．‎ ‎∴两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.‎ ‎2．(1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程．‎ ‎(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标．‎ 解 (1)∵ ‎∴y＝1－x化成极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，‎ 即ρ＝.‎ ‎∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤.‎ ‎(2)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρsin2θ＝cosθ，‎ 得ρ2sin2θ＝ρcosθ，‎ ‎∴曲线C1的直角坐标方程为y2＝x.‎ 由ρsinθ＝1，得曲线C2的直角坐标方程为y＝1.‎ 由得 故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1)．‎ 思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．‎ ‎(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．‎ 题型二 求曲线的极坐标方程 典例将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的标准方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程．‎ 解 (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得 由x＋y＝1，得x2＋2＝1，‎ 即曲线C的标准方程为x2＋＝1.‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率为k＝，‎ 于是所求直线方程为y－1＝，‎ 化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，‎ 故所求直线的极坐标方程为ρ＝.‎ 思维升华求曲线的极坐标方程的步骤 ‎(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．‎ ‎(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．‎ ‎(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．‎ 跟踪训练已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，直线l的参数方程为(t为参数)，射线OM的极坐标方程为θ＝.‎ ‎(1)求圆C和直线l的极坐标方程；‎ ‎(2)已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．‎ 解 (1)∵ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，‎ 圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，‎ ‎∴ρ2＋2ρcosθ－2ρsinθ＝0，‎ ‎∴圆C的极坐标方程为ρ＝2sin.‎ 又直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 消去t后得y＝x＋1，‎ ‎∴直线l的极坐标方程为sinθ－cosθ＝.‎ ‎(2)当θ＝时，|OP|＝2sin＝2，‎ ‎∴点P的极坐标为，|OQ|＝＝，‎ ‎∴点Q的极坐标为，故线段PQ的长为.‎ 题型三 极坐标方程的应用 典例 (2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ 解 (1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题意知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ>0)．‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，‎ 于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB ‎＝4cosα· ‎＝2≤2＋.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ 思维升华极坐标应用中的注意事项 ‎(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正半轴重合；③取相同的长度单位．‎ ‎(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．‎ ‎(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．‎ 跟踪训练(2017·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长．‎ 解 由ρsin＝2，得(ρsinθ＋ρcosθ)＝2，‎ 可化为x＋y－2＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，‎ 圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝2，‎ 由圆中的弦长公式，得弦长 l＝2＝2＝4.‎ 故所求弦长为4.‎ ‎1．(2018·武汉模拟)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin＝.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．‎ 解 (1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，‎ 圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，‎ 即x2＋y2－x－y＝0，‎ 直线l：ρsin＝，‎ 即ρsinθ－ρcosθ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，‎ 即x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由得 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.‎ ‎2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标．‎ 解 曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sinθ－cosθ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.‎ 联立方程组得 则交点为(0,1)，对应的极坐标为.‎ ‎3．在极坐标系中，求曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程．‎ 解 以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cosθ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且圆心为(1,0)．‎ 直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，‎ 因为圆心(1,0)关于y＝x的对称点为(0,1)，‎ 所以圆(x－1)2＋y2＝1关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1.‎ 所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ.‎ ‎4．(2017·贵阳调研)在以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程．‎ 解 (1)∵ρ＝，ρsinθ＝y，‎ ‎∴ρ＝化为ρ－ρsinθ＝2，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.‎ ‎(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，‎ 根据题意＝3·，‎ 解得θ0＝或θ0＝，‎ ‎∴直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R)．‎ ‎5．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．‎ 解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.‎ 圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，‎ 化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.‎ 则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，‎ 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.‎ ‎6．在极坐标系中，P是曲线C1：ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线C2：ρ＝12cos上的动点，求|PQ|的最大值．‎ 解 对曲线C1的极坐标方程进行转化，‎ ‎∵ρ＝12sinθ，∴ρ2＝12ρsinθ，∴x2＋y2－12y＝0，‎ 即x2＋(y－6)2＝36.‎ 对曲线C2的极坐标方程进行转化，‎ ‎∵ρ＝12cos，‎ ‎∴ρ2＝12ρ，‎ ‎∴x2＋y2－6x－6y＝0，∴(x－3)2＋(y－3)2＝36，‎ ‎∴|PQ|max＝6＋6＋＝18.‎ ‎7．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为ρsin＝－，⊙C的极坐标方程为ρ＝4cosθ＋2sinθ.‎ ‎(1)求直线l和⊙C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．‎ 解 (1)直线l：ρsin＝－，‎ ‎∴ρ＝－，‎ ‎∴y·－x·＝－，即y＝－x＋2.‎ ‎⊙C：ρ＝4cosθ＋2sinθ，ρ2＝4ρcosθ＋2ρsinθ，‎ ‎∴x2＋y2＝4x＋2y，即x2＋y2－4x－2y＝0.‎ ‎(2)⊙C：x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ ‎∴圆心C(2,1)，半径R＝，‎ ‎∴⊙C的圆心C到直线l的距离 d＝＝，‎ ‎∴|AB|＝2＝2＝.‎ ‎∴弦AB的长为.‎ ‎8．(2016·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ 解 (1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的直角坐标方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，‎ 由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.‎ 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．‎ 所以a＝1.‎ ‎9．在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r＝3.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且＝2，求动点P的轨迹方程．‎ 解 (1)设M(ρ，θ)是圆C上除极点外的任意一点．‎ 在△OCM中，∠COM＝，由余弦定理，得 ‎|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|cos，‎ 化简得ρ＝6cos.‎ ‎∵极点也适合上式，‎ ‎∴圆C的极坐标方程为ρ＝6cos.‎ ‎(2)设点Q(ρ1，θ1)，P(ρ，θ)，‎ 由＝2，得＝，‎ ‎∴ρ1＝ρ，θ1＝θ，‎ 代入圆C的方程，得 ρ＝6cos，即ρ＝9cos.‎ ‎10．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ 解 (1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，‎ 所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，‎ C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，‎ 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，‎ 所以△C2MN的面积为.‎ ‎11．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρ2－4ρcosθ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C2：ρ＝，θ∈[0,2π]．‎ ‎(1)求曲线C1的一个参数方程；‎ ‎(2)若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值．‎ 解 (1)由ρ2－4ρcosθ＋3＝0，‎ 可得x2＋y2－4x＋3＝0.‎ ‎∴(x－2)2＋y2＝1.‎ 令x－2＝cosα，y＝sinα，‎ ‎∴C1的一个参数方程为(α为参数，α∈R)．‎ ‎(2)C2：4ρ＝3，‎ ‎∴4＝3，即2x－2y－3＝0.‎ ‎∵直线2x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋y2＝1相交于A，B两点，且圆心到直线的距离d＝，‎ ‎∴|AB|＝2×＝2×＝.‎ ‎12．已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线l的极坐标方程为ρ(sinθ＋cosθ)＝1，求直线l被曲线C截得的弦长．‎ 解 (1)曲线C的参数方程为 (α为参数)，‎ ‎∴曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ 将代入并化简得ρ＝4cosθ＋2sinθ，‎ 即曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ＋2sinθ.‎ ‎(2)∵l的直角坐标方程为x＋y－1＝0，‎ ‎∴圆心C(2,1)到直线l的距离d＝＝，‎ ‎∴弦长为2＝2.‎ ‎13．在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，l：ρcos＝，C与l有且仅有一个公共点．‎ ‎(1)求a；‎ ‎(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值．‎ 解 (1)曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，变形为ρ2＝2aρcosθ，‎ 化为x2＋y2＝2ax，即(x－a)2＋y2＝a2，‎ ‎∴曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆．‎ 由l：ρcos＝，‎ 展开为ρcosθ＋ρsinθ＝，‎ ‎∴l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.‎ 由题意可知直线l与圆C相切，‎ 即＝a，解得a＝1.‎ ‎(2)由(1)知，曲线C：ρ＝2cosθ.‎ 不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，‎ 则|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos＝3cosθ－sinθ＝2cos，当θ＝时，|OA|＋|OB|取得最大值2.‎ ‎14．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ 解 (1)由ρcos＝1，‎ 得ρ＝1.‎ 从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，‎ 即x＋y－2＝0.‎ 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．‎ 当θ＝时，ρ＝，‎ 所以N.‎ ‎(2)M点的直角坐标为(2,0)，‎ N点的直角坐标为，‎ 所以P点的直角坐标为，‎ 则P点的极坐标为，‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎